Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 60
Текст из файла (страница 60)
=- — / / ь7 (» Х и) 6$. (7,8) Полученным формулам можно дать следующее истолкование. Сила И и пара Е определяют воздействие со стороны жидкости на твердое тело. Бслн тело находится под действием внешних сил, пряводящихся к силе Р, приложенной в начале координат, и к паре М, то его движение будет определяться формулами — „-= — / / втаб+р; —,= — / / р7(»Хп)йВ+М, иа и (т(;> и р (В иг,/ / и = иг,/,/ где б есть количество движения твердого тела, Д есть главный момент количеств движения тела относительно начала координат.
Написав предыдущие формулы в виде —,((( — ( ((( Ж) Р; ( ~ч — //((( Х ((Б~=М. (79( В= — р / ~ рпа(5; 1= — р ~ ~ ~(»Х и) й5. (7ПО) Вектор О+ В называется импульсивной силой, а вектор (1+1— импульсивной парой. уравнения (7,9) принимают теперь очень простой внд и(О+В) р.
йрР+1) ((г ' (гг мы можем истолковать их следующим образом: при движении твердого тела в жидкости внешние силы должны изменять не только количество движения твердого тела, но еще и систему количеств движения, распределенных вдоль поверхности Б, причем на каждую единицу поверхности приходится количество движения — (7п. Величина — р(7 представляет, как было выяснено в Э 7 главы четвертой, тот мгновенный импульс давлений, который, будучи применен к покоящейся жидкости, мог бы вызвать рассматриваемое безвнхревое движение. Величины — рч(л, распределенные вдоль поверхности Б, образуют систему таких импульсов. Обозначим через В главный вектор этих импульсов, а через 1— главный момент их относительно начала координат 384 пгостганствгнная чллл'ча о Лвч!чкяшп! тгла !Гп !'!1 !р =- (7,.уч+ (7грз+ (/ура + <нчоь+ ы рз+ ьчььа, (7.12) Преиму!цество полвижной системы коорлинат заключается в том, что в ней фУнкции !Рч, ьРа, ьра, ьРч.
оь, уа не зависЯт от вРемени, так как пограничные условия (6.7), очевнлно, в этом случае не зависят от времени. В формуле (7.12) зависят от времени только состав.чяющие векторов (7 и ьч, определяющих лвижение твердого тела, причем эти составляющие берутся на оси подвижных координат. Составим теперь векторы В и /. Мы имеем: В„= — р ~ ~ ель(В, В,= — р ~~;6! 7В, В.= — р) ) р)ФВ. (7.1 6) ух== — р Г 3'ср(у7 — ай) НЯ. 7,= — рУУ р( ..— Х7)7В, 5 , ~' ~',р(хР— уз) 7В.
5 Ввелем следующие обознзчения: (7.14) то"да вместо (7.!2) можем написать: ь р=Х()ь7; ! =! а вместо (7.13), воспользовавшись (6.7), можем написать: (7.16) (7.16) Уравнешщ лвнжения твердого тела удобно записывать в системе коораннат, неполвижно связанной с телол!. Поступим и мы таким же образом. Пусть оси координат Охуз будут неподвижно связаны с твердым телом, а оси координат Очхчугз! пусть будут неподвижны в пространстве. Предположим еще, что в рассматриваемый момент времени 1 обе системы осей совпалают.
Вспомним, что 4 г! РАс'1РТ ГидРодинлми'!Гскпх РГАкиип пРи дВижении тГЛА 885 Введем еше обозначения Л!е= — р / / — !среао (1, й=1, 2, 3, 4, 5, 6), (7.17) тогда мы получим из (7.15) и (7.16) следующие основные формулы: (7.18) Лен!о показать, что (7,1 9) л, =л„!. В самом деле, применим к области аг, заключенной между поверхностями 5 и Е, формулу Грина ~ / '/ (Р!б'Р— 'Ре/Зч/!М(г= ./,/ (т! дп Ре дп ) „I,/ ('Р! дп Ре дп) Левая часть равна нулю, ибо б:р, = й7„= О. / / ~ар! д чае — ) г(5 О, что равносильно (7.19) Таким образом, из 36 коэффициентов ),! независимых будет только 21; эти коэффициенты называются присоединенными .вассал!и !пела.
Чтобы более точно выяснить нх значение, вычислим еше кинетическую энергию жидкости т= —" // / д, (7.20) где интеграл берется по всему объему жидкости. Рассмотрим сначала интеграл по области (г, заключенной между поверхностямн 8 и т. ' в этом случае по формуле (8.4) главы четвертой имеем: / / е/ озаат / ~ ар в ~.,1Я+ ~ / !р т г(о Г 5 2 25 зак. Иаа Если Е есть сфера с центром в начале координат большого радиуса а, то подыптегральная функция в первом интеграле правой части будет порядка 1/аз (ибо ар! и ре порядка 1/а', а дча!/дп и дар /дп порядка 1/аз); поэтому интеграл будет порядка 1/аз и обрашается в нуль при а -ьоо, следовательно, Зйб пиостзднствеииля зАЛАИА о движении телА 1гл.
ми 7= — —,," О д;, дВ. (7.21) Воспользовавшись теперь представлением (7.15) и определением (7.17) коэффициентов )га, найдем: б б т= —, ' ~,,")',)г,(/,.и,. с Выражения (7.18) могут теперь быть представлены в очень простом виде: д7 в,= —. ди,' (7.23) Вернемся теперь к вопросу о вычислении сил, действующих на твердое тело со стороны жидкости. Мы нашли для главного вектора и главного момента этих сил выражения (7.7) и (7.8), которые, польвуясь обозначениями (7.10), можно ааписать в виде дВ дт В= — —, С= —— дГ ' дГ (7.24) Нужно, однако, иметь в виду, что в этих формулах производные по времени берутся в предположении, что векторы В и 7 вычисляются для неподвижной системы координат.
Если же мы берем производные по времени для величин, вычисляемых в подвижной системе координат, то мы будем пользоваться знаком частной производной д/д/. Вектор В представляет главный вектор системы мгновенных импульсов давлений; будем откладывать его от начала О, неподвижной системы координат, тогда дВ/дГ представляет скорость конца вектора В, а дВ/д/ представляет, очевидно, относительную скорость конца етого вектора, рассматриваемого по отношению к системе координат с началом в точке Ои оси которой параллельны осям подвижной системы.
Но абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной скорости и переносной скорости, а последней является в данном случае аг )( В, ибо под переносным движением мы должны понимать вращение системы координат с угловой скоростью ьг.
Поэтому мы получаем основную формулу дВ д — = — +ю ХВ. дг дг (7.25) Как и выше, легко убедиться, что последний инте~рад стремится к нулю при возрастании радиуса а сферы Х до бесконечности, поэтому для живой силы всей безграничной жидкости, находящейся вне поверхности 3, получаем конечное значение ЗВ7 пгнмгсиы — +юхг д7 дГ еще добавочным членом, а именно скоростью изменения момента 1, взятого около перемещающегося начала координат. Как известно, главный момент системы сил относительно одной точки равен главному моменту той же системы сил относительно другой точки плюс момент главного вектора системы сил, прилоягенного во второй точке относительно первой точки. Так как радиус-вектор положения начала координат подвижной системы в момент т +ггг относительно положеигщ того же начала в момент 1 есть иЖ, то добавочное изменение моменга будет [игггХВ), а скорость его изменения будет и Х В.
Поэтому мы получаем вторую основную формулу: — „, = — „, + ю Х 7+ и Х В. ау д7 (7.26) Итак. сялы воздействия со стороны потока на тело определяются следующими формулами: дВ В= — — — юхв; д2 Е= — — — юХ7 — иХВ, ~ д7 дт (7.27) а именно эти силы приводятся к силе Ю, приложенной в начале координат подвижной системы, и к паре А. % 8. Примеры. Рассмотрим теперь два частных примера. Прежде всего заметим, что формулы сильно упрощаются в том частном слу"ае, когда поверхность Ю имеет три взаимно перпендикулярные оси с~гмметрии (например, есть поверхность эллипсоида). Направляя оси "одвижной системы координат по осям симметрии поверхности я, "етрудно Убедитьси, что все коэффициенты )ч с Разными индексами обрац~аются в этом случае в нуль, и выражение для кинетической энергии принимает простой внд 1 2 . 2 ° 2, 2 2 2 т= ( ни„+)22и, +)ззи,+), м„+)ззм;+) м,).
(8П) При вычислении Н(г)г дело обстоит несколько сложнее. Вектор 1 есть главный момент системы мгновенных импульсов давлений отно;пгельпо начала Ог неподвижной системы координат. Но когдз мы вьпщсляем д))д2, то мы сравниваем знаюния в два последовательных момента времени 1 и г+дт главных моментов системы мгновенных импульсов давлений относительно двух различных точек, а именно относительно начала координат подвижной системы в эти два последовательных момента времени, Поэтому Л/Ж будет отличаться от 7в = Аззвзл-: 7т = Л зз'в ' и выражения 1'7.27) для сил запишутся в В,-ьыз„~ 7в 6661г' 18.2) простом виде; ли„ )7 = — л — — Л„и+Л„ы,и,, х Н дз ди, 77, = — ˄— „,' — Лиы,и, + Л„,и„ (8.3) Лвз дт + (Лзз Лвз) ы~~ +Аз — Лзз) и и,.
ли„ Ег = 155 +'(Лвв Лзз) 61 ". +(Лзз- 611)иви ' В качестве первого примера рассмотрим движение шара радиуса д, В случае движения шара в направлении осп Ох с единичной скоростью мы имеем; Ь' сез П где г, 3, Л вЂ” сферические координаты с центром в начале шара и полярной осью, направленной по оси Ох.
Так как на сфере Ю вЂ” =а=СОЕО, де, дл то Ли — — — р/ / и, деивго= 2 1' ~соз Пгзо= Пз Г' Р 2яаел 2 ,/ ./ — / / 60513 ' 51пдпйззл= 3 6 6 точно так же будем иметь: 2 Лз, = Л =- —, пвдз, Очевидно, далее, что врапзение шара около какого-либо диаметра не вызывас1 движения жидкости, поэтому 'тв = тз = 96 = б 338 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАЗ1АЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1ГЛ ЧН Формулы (7.18) примут вид: ПРИМЕРЫ з 8) 389 (8.4) В данном случае удобнее применять неподвижную систему координат, ибо выражение для живой силы (8.4) годится в данном случае для любой системы координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
