Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 59
Текст из файла (страница 59)
е. направленной внутрь жидкости. Условие, что жидкость на бесконечности покоится, приводит к граничным условиям ь а движение тяеРдОГО тела в еезгяаничион жидкосГи 371 ТΠ— 4яА — ~м — ля ) ) Ул(0, ))г(Е=О. та+1 1 / л=! я откуда А = О. Итак, вблизи бесконечно удаленной точки мы имеем разложение вида )л(а 1) л ! откуда н вытекает, в частности, что при г-+ОО э стремится к нулю как ))г', а Ол, От, О, как 1(гз. Для определейия функции э нам нужно знать величины и„, т.
е. нормальные к поверхности 8 составляющие скоростей точек этой поверхности. Но известно, что распределение скоростей твердого тела вполне определяется заданием скорости одной точки этого тела н заданием угловой скорости вращения тела. Выбирая за эту точку начало координат О и обозначая через У вектор скорости этой точки, считаемой неподвижно связанной с телом, а через ю вектор угловой скорости вращения тела, для скорости и произвольной точки Л тела будем иметь формулу где г есть радиус-вектор точки М относительно точки О. В проекциях на оси координат будем иметь: и,= ил+а л — ы,у, и„= и„+ ы,х — ы и,=и,+ш у — ах.
Введем для краткости обозначения соя (п, х) = а, сов (п, у) = р, соз(п, е) = т для косинусов углов, составляемых нормалью к поверхности 5 с осями координат. В точках поверхности 5 и, = и„а+ и 3+ илт = (ил + ля ллу)а+(и +ллхылх)р+(ил+ Илу ах)т Поэтому условие (6.3) принимает вид дв —,;, = и„.+ и,6+ и,т+ .(ут+еИ+ +м (еа — хт)+ш (хлр — уа). (6.5) 378 пгостзлнствзииля злдлчл о движсиии твлл [гл ги Из него видно.
что функция а7 должна представляться в следующем виде: т = и ~~+ У~Уз+ УР~+ оа Ра+ зато + и а)о, (6 6) пРичем все функции 9н та тз уа ро ~7з должны удовлетворять уравнению (6.2) и условиям (6.4). На поверхности 5 эти фун должны удовлетворять условиям дтз дта дл т~ — =л, дл (6.7) — =ха — х7, дт дл дт, — '=УТ вЂ” Ф дл так как тогда, очевидно, удовлетворится и условие (6.6), Условия (6.7) уже не зависят от векторов У и ы. так что все шесть функций о» определяются формой поверхности 5 и выбором системы координат Охи.
Сравнение условий (6.7) с общим условием (6.6) показывает, что функция о, соответствует тому случаю движения тела, когда ха уа ха — „+ — +-,— =1, а' Зз оа (6.8) причем а ) д) с. В Э 2 было найдено решение задачи об обтекании вллипсоида (6.8) потоком, скорость которого на бесконечности направлена параллельно положительной оси Ох и равна У.
Принимая в формуле (2.12) У= — 1, мы получаем решение хА (х, у, х) и= — х— 2 — Ао Налагая на течение, представляемое этим решением, течение ~о = х, соответствующее равномерному движению параллельно оси Ох со скоростью, равной единице. мы и получим потенциал скорости хА(х, у, х) 1 д)го 2 — Ао 2л(2 — Ао) дх ' (6. 9) и,=1, и,=О, и,=О, ы„=О, ы,=О...=О, т.
е. когда тело движется параллельно оси Ох с единичной скоростью. Аналогичное значение имеют функции аоа и аоз. Точно так же функция ва соответствует случаю, когда их= У = У,=О, ых=1, аа =оа,=О, т. е, когда тело вращается около осн Ох с угловой скоростью вращения, равной единице. Определим в виде примера этн функции для того случая, когда тело есть трехосный эллипсоид ао1 движения твввдого талл в везгелничнон жидкости соответствующий движению эллипсоида параллельно оси Ох со скоростью единица в жидкости, покоящейся на бесконечности.
Точно так же получим: УВ(х, у, а) 1 дУ 2 — В, 2, (2 — В,) хС(х у г) 1 дУ 2 Со 2е (2 Со) да (6.10) Заметим, что на поверхности 5 мы имеем очевидные равенства Ао Во Со оо1= 2 Ао» 9о= 2 рг,у тз= 2 С ~ (б ) о удовлетворяет, как легко проверить, уравнению Лапласа. На бесконечности эта функция стремится к нулю, как величина порядка 1/гз. Наконец, на поверхности 8 эта функция удовлетворяет условию = (2 Сю) уз+ (2 — Со) У вЂ” — (2 — В ) — ~оз— дэ ду дто дг дл дл дл дл — (2 — Вю) г т' = — (2 Со) ~ + дл 2 — Со + (2 — Со) УТ + (2 — Ва) Т 2 ' — (2 — Вю) ЯР = 2 — Во =(2 — Со+Во)УТ вЂ” (2 Во+Со)»й( но на поверхности 8 имеют место равенства поэтому ут ао Зо юо Следовательно, можно также написать дл =(2 — Со+Во+ Зо) УТ вЂ” (2 — Во+Со+ юо) хР1 подберем К так, чтобы 2 — Со+Во+ зо =2 — Во+Со+ о Функцию во можно получить из следующих соображений.
Функция 1 / д1е дУет Ф= 2 (У д — » д')=Уз( — С)= — (2 — Во)яро+(2 — Со)У9з 2л ~ де ду ) зво пяостРлнственнля злдлчл О движении тела (гл. щг откуда 2 (Во — Со) Ь'со Ь' — со тогда будем иметь на поверхности 5: (Ьо — с') Ф (Ь вЂ” с') уа ( — С) 2 (Ь' — с') +(Во Со) (Ьо+ с) 2 (Ьо — с) + (Во — С) (Ьо+ со) (с' — ао) ах (С вЂ” А) 2 (со — ао) + (Со — Ао) (со + ао) ' 2(а' — Ьо)+(Ао Во)(ао+ Ьо) ' (6.12) й 7.
Расчет гидродииамических реакций при движении тела. Перейден теперь к вопросу о силах, которые действуют на твердое тело при его движении в безграничной жидкости, Этн силы приводятся к силам давления, приложенным к элементам поверхности 5. Если и есть орт внешней нормзли к поверхности 5, то на элемент а5 поверхности 5 будет действовать сила давления — ри ао5. Для главного вектора )с этих сил и для главного момента их относительно начала координат мы получаем выраженооя )с= — ~~ Рис(5; л.= — ~ ( Р(еХп)415, (7.1) где г есть рвдиус-вектор точки М поверхности 5 относительно начала координат.
В предположении отсутствия массовых сил давление Р определяется по формуле Бернулли Ьт оса Р=Ро Г (7.2) Подставляя это значение Р в предыдущие формулы, мы и определим )7 и 7.. Удобнее, однако, поступить иначе, а именно исходить из закона количеств движения и закона моментов количеств движения. Проведем произвольную неподвижную в пространстве поверхность В, охватывающую поверхность 5.
Количество движения К окидкостн, заксноченной в обьеме 1г ме.кду поверхностями 5 и В, есть Сравнивая это условие с условием для функции о74, приходим к выводу, что ялсчкт гидгодннлмн ~вских гклкцнп п~ и движении тклл Зй) Но по теореме Гаусса О1"" "=.Ц ""-Л'"" У 5 )Г = ~ ~ ~ р уп Л вЂ” '~ ~ Лп но+ ~ ~ р Приравгшвая это изменение количества движения импульсу сил (тс' — гг)Л, получаем равенство Поверхность Е мы считаем неподвижной в пространстве, поэтому Я/ г Ю=~'~' — 'тп'ж т (7А) Воспользовавтвсь (7.2) и Г Гр,„7~ р„~~ в=О, Изменение за время гй количества двигкения частиц жидкости, заключенных в момент г между поверхностями 8 и Е, равно импульсу сил давления, действовавших на поверхности 5 и Е за промежуток времени Ш. Обозначим через )с' главный вектор сил давления, приложенных к поверхности Е, тогда нипульс сил давления, приложенных к поверхностям Я и Е за время Ж, будет равен (й' — И) Л.
Чтобы подсчитать изменение ковнества движения частиц жидкости, заключенных в момент времени а между поверхностями 5 и Е, нужно учесть то обстоятельство, что за время Ж часть этих частиц выйдет через поверхность 1', другие же частицы за то же время Л войдут через поверхность Е и окажутся к моменту 1+И внутри объема И. Количество движения частиц жидкости, вышедших за время Ж через поверхность Е, нужно, очевидно, прибавить к количеству движения жидкости, заключенной в обьеме И в момент г+лг; количество же движения частиц жидкости, вошедших через поверхность Е, нужно будет вычесть. Так кзк через элемент пЯ поверхности Е за время Ж проходит масса жидкости роя ЙЯ Н, несущая количество движения рпп„ггпу Ж, то полное изменение количества движения рассматриваемых частиц жидкости равно 382 пгоствлнствяннля злдлчл о движении талл 1гл.чы имеем равенство И' = — ~ / рп Ы8 = р ~ ~ -д1 и И5+ р / ~ — н НЮ.
(7.3) Подставляя выражения (7.4) и (7.5) в (7.3), получим основную формулу Ю = — „г ~ / р~л д5+ ~ ~ р ( — и — оо„) Ы. (7.б) Здесь Е есть произвольная поверхность, охватывающая поверхность 5. Если принять за Е сферу очень большого радиуса а, то на этой сфере скорость о будет величиной порядка 1/аз, поэтому величина ьл — и — оо 2 и (7 7) Совершенно аналогично мы найдем формулу для момента 7., применяя закон моментов количеств движения. Момент количеств движения 1 жидкости.
заключенной в объеме У, есть 1= р ~ ~ ~ (г Х о) ае = р / ~ ~ (г Х раб ~р) лт и легко проверить, применяя формулу Гаусса, что у=р~~р( Ха) (З вЂ”, ~~Иг Хн)(З. Вместо (7.3) мы будем иметь: ь' —.б =- — ( ) рр(г Х ммг — — ( / рр(»Х л)лг-+ и Р/' и — л1,/,l и,/, 5 + / / р (г Х о) о„с(5. х будет порядка 1/аа, а то второй интеграл в стремиться к нулю при из (?.б) окончательную так как поверхность сферы Е равна 4пат, формуле (7.б) будет порядка 1/а4 и будет а-ьоэ. Поэтому, устремляя а к со, получим формулу з 11 ВАСЧЕТ ГИДРОДИНАМНЧЕСКНХ РЕАКПИП ПРИ ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 333 П о этому в место (7. 6) получим: 1= — / / ве(»Хи)Ю+/ /р~»Х( — и — оо„)/Ж а вместо (7.7) 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
