Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Лйы имеем, очевидно: — -„еба(У 2 3 (8лб) 1=0, и следовательно, по формулам (7.24) видно, что силы воздействия потока на шар приводятся к одной силе, приложенной в центре шара н равной з лгг )з, прьз 3" Л)' (8, 6) )йы видим, что поступательное движение шара в жидкости происходит так, как оно происходило бы в пустоте, если бы масса шара т увешшилась па присоединенную массу — яро, з 3 "' последняя равна половине массы жидкости, вытесняемой шаром.
Рассмотрим теперь движение трехосного эллипсоида с полуосями а, Ь, с. Функция хА(х, у, а) 2 — Аа принимает на поверхности эллипсоида Б значение АО. х 2 — А, )(Роме того, она удовлетворяет граничному условию ду, — =а=сиз(л, х); дп поэтому сразу находим, что — р / ) - '18)5=( — ' / / хсоз(л х)ао; ,/ ' дл 2 — Аа,/,/ а а и следовательно, )(зак, для шара Вели масса шара ная в центре шара, ;шгься уравнением ЛУ лы--- = гт— )из Лзз Лав О ~ =--43 ~и„:+ С~, + и,). есть ш и на него действует сила гт, приложенто движение шара в жидкости будет опреде- т / 2,,1аи -- -„Из — или (и+ — прбз1 — = Р.
(8.?) 391 ПРИМЕРЫ видели, формулами (2.8) при Л = О. Легко видеть, что Аз, Вз, Сз зависят лишь от отношений а/Ь и с/Ь. В самом деле, вводя вместо и величину Р из равенства и = Ьзб, получим: 9У <р3+1))'<р +г1(р +1) <1+1) Се = /3Ч (ч'+ О где а с — — (а > Ь> с). 91.
И. Гуревич и И. С. Риман произвели расчеты этих величин в функциях от р и 3/ и дали графики, на основании которых легко подсчитываются коэффициенты присоединенных масс для произвольного эллипсоида. На рнс. 149 †1 даны примеры этих графиков. Именно рис. 149 отвечает вытянутому эллипсоиду вращения (Ь = с). Здесь нанесены величины ц ~х — краб3 3 Л 33 Л 33 4,' (рх 4 — краб' 3 — краб' (а'+ б3) 15 (Лзз = Хж )ы= О, Лез = Лаз) в функциях от отношения Ь/а=1/р. Случай шара получим, когда Ь/а = 1; при этом в согласии с результатами, полученными выше, будет: Рисунки 150 — 155 отвечают трехосному эллипсоиду.
Коэффициенты Л„ <Р 4 — крабе 3 33 л <33 4 — крабе 3 ч! 1 4 — крабе 3 изображены соответственно на рис. 150 — 152 в виде семейств кривь'х. зависящих от параметра р (по оси абсцисс отложены всюду 354 пРОстРАнстВеннАя ВАПАчА о движении телА [Гл. тц! величины д). Коэффициенты 5$ б ба Р* 15 — «рабс (б'+ с'1 — арабе (а'+с') —,ерабс (а'+а~1 15 ' изображены соответственно на рис. !53 — 155. Предположим, что центр эллипсоида описывает горизонтальную окружность радиуса 1 со скоростью У, и пусть оси эллипсоида Ох l 0 Рнс.
153. и Оу все время горизонтальны и ось Ох составляет с направлением движения центра эллипсонда постоянный угол Ь. Мы имеем в этом случае очевидные формулы: Ул= Усов 5; Уа= — У з1Е,Ь; У,=О; и —— му — — (1; 396 пяостялнственнля злдлчл о движении талл !гл.ни Поэтому формулы (8.3) дают: 17 91П 0 с)2 соз В йл 22 ' й )'Н й.=01 Е„=О; Е,=О; Т.,=(Л22 — Лн)?/25!пОсо50. Образуем касательную и нормальную проекции й, п й„силы й й,= й„соз Π— й 5!и О=(Лы — Л22) 179 йл =йл5!пО+ й сов О= — — (Лнсоз20+)225!и'О). !8.!2) Таким образом, нормагшная составляющая дает добавочную центробежную силу, причем кажущееся увеличение массы эллппсоида равно ) н со5 О 1- Лз„з!и О, Кроме того, па тело действует пара с моментом !Л22 — Ли) Т)2 5!и 0 сов О.
Эта пара пропадает только прн 0=0 и О=п/2, т. е. когда центр эллипсоида движется в направлении одной из осей Ох нли Оу. С наличием этой пары тесно связано и наличие касательной силы йп В самом деле, очевидно, что энергия жидкости при рассматриваемом равномерном движении эллипсоида остается все время одной и той же. Сила й„, очевидно, никакой работы не пронзг1ОДИт. ?1аоборот, пара Х производит работу, если только она не равна пулю, но тогла сила й, должна тоже производить работу так, чтобы общая работа силы й, и пары Е равнялась нулю.
Я 9. Движение тела по инерции. Вернемся теперь к общему случаю, когда живая сила жидкости определяется формулой !7.22). Поставим вопрос о движении твердого тела в жидкости по инерции, когда на тело не действуют никакие внешние силы. Возьмем для простоты за начало подвижной системы координат центр инерции твердого тела и направим оси координат по главным осям инерции этого тела, тогда для живой силы твердого тела ыы будем иметь выражение !9), + ?)т + ?7,)+ — (А190 + Выз+ С91;-), дт, т дУ„' дТ, У днт' где лг — масса тела, А, В, С вЂ” главные центральные моменты инерции. Главный вектор количеств движения твердого тела 6 и главный момент количеств движения относительно выбранного гпшала !'.) опре- деляются формулами: дТ, дт,.1 1 О = — '; д~~к дУ., ', (9.2) дТ, дТ, к дч а,= —.'- ~ дн двиькение тела по инеРции и Тля живой силы полной системы, состоящей из твердого тела н жидкости, мы введем обозначение Т =Т+Тб (9.
3) ясно, что Т, имеет вид (7,22), только с заменой коэффициентов )ть на другие коэффициенты, которые мы обозначим через а1„. Назовем, далее, вектор О+В=К (9. 4) илтульсивной силой, а вектор (9. 5) и.кпульсивной парой. Вследствие (7.23) и (9.2) мы имеем формулы: (9.6) Уравнения движеш1я (7.(!) запишутся теперь в простом виде (9,7) В случае отсутствия внешних сил мы будем иметь: (9. 8) В подвижных осях координат, повторяя наши прежние рассуждения, мы получим следующие уравнения: дК дс +ьь Х К=О; ас +са ХМ+ЕТХ К=О. (9.9) ддс Легко указать три интеграла втой системы, Умножая первое уравнение скалярно на К найден: К ° — =О, дК аг отсюда К' =- К + КУ + К, '= сопя!. (9ЛО) Э1от интеграл выражает, очевидно, постоянство величины импульсивной силы; он сразу вытекает из первого уравнения (9.8), которое показывает, что вектор К имеет в неподвижной системе координат постоянную величину и постоянное направление. Точно так же, умножая первое уравнение системы (9.9) скалярно У, а последнее на К и складывая оба полученных уравнения, ь дТ а('х дТ, М = — ' дих дТ, ИУ М =- — '; дТ, т дю К = —; ат, д(тх ' ат, Лг, = — '.
х ди, 398 НРостРАнственнАЕ зАдАчА О двнженнн телА 1гл е!1 найдем: М вЂ” +К.— =0, дк дМ д1 д1 откуда (9.! !) М К вЂ” КхМх+КРМ,+ К,М,=сопз1. Этот интеграл в связи с (9.10) выражает постоянство проекции момента импульсивной пары на направление импульсивной силы.
Наконец, третий очевидный интеграл системы (9.9) есть Т, = — сопз1. (9. 12) В самом деле, умножая первое уравнение системы (9.9) скалярно на и, второе на со и складывая оба полученных уравнения, найдем, что (9.13) с дРУгой стоРоны, Т, есть квадРатичнаЯ фоРма от и„, и, иы ых, ыу, еы поэтому по теореме Эйлера об однородных функциях дТ, оТ, дТ, дТ, оТ, дТя 2Т и У+и У +и У+ У+ы 2+, Я хди, Удйу ° дй, - д,„тд, =и.К+ю М; дифференцируя это равенство по 1 и пользуясь (9.!3), получим: дТ, ди ды 2 — '=К ° — +М ° —.
д1 д1 д1 ' Наконец, вследствие (9,6) мы имеем тождественное дТу дТу дих дТу диу дТу ди» дТя д"х да дих д1 + диу дг дух дг + дух дг + д Тя дьяку дТ, д~>у д11 дм + — — У+ — — =К вЂ” +М. —. де д1 дшх дг д1 д1 Итак, дТу дТу 2 — = —, дт дг откуда дТ, — ' =0 н Тз —— сопз1. д1 Разберем теперь вопрос о так называемых установивпшхся движениях твердого тела в жидкости по инерции, т. е. о движениях, в которых и и ю имеют постоянные значения во все время движения. Уравнения (9.9) приводятся в этом случзе к следующим: ыХК=0, юХМ+иХК=0. (9.
14) 399 движение телА по инеРции Но из этих шести уравнений только четыре независимы. В самон деле, первое уравнение, равносильное а = ЛК, (9.15) показывает, что мгновенная ось вращения направлена по импульсив- ной силе К. Из последнего уравнения (9.14) найдем: Прн данных Л и р мы получим шесть линейных однородных уравнений в У„У„, У, а„, а, а; и, ЛМ,-РК,=О; и, — Л̄— РК„= О; 19.17) и, ЛМ,-РК,=О, а„— ЛК =0; — ),КР—— О т Р а — ЛК, = О; г гак как К, К, К,, М, М, М, суть линейные функции У„, У, У„ а, а„, а, с постоянными коэффициентами.
Чтобы предылущая система имела решение, определитель ее должен равняться нулю. Этот определитель есть полипом третьей степени от р. Задавая по произволу Л, мы определим из равенства указанного определителя нулю величину р, а затем из системы (9.17) найдем все шесть величин У„, и, У„а„, а, а, с точностью до постоянного множителя. Разберем, в частности, случай, когда Л=О, и слеловательно, а„а а О.
(9.18) Ыы имеем дело с поступательным движением твердого тела. Систеча 19.17) приводится в этом случае к простому виду и„— РК,=О; и,— рК,=О; и,— РК,=О. <9И9) Но прн условии (9.18) будет: К„=анУ„+апУ + аыУ„ к,= у+ и+ К,= ами,+ аззи + аззиг. Введем в рассмотрение поверхность уг 1 ~, = 2 (пихт + а,зу'+ аюз'+ 2аг,ху + 2агзхв + 2аазув) = 1. (921) Отнесем ее к главным осям х', у', в' г",=(а',х' + азу' +азз' 7'=1. (9.22) 1и — лм) Х к=о, откуда следует, что У=ЛМ+рк. (9.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
