Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Обозначим, как всегда, ю(я)=чв(у(!))=Ф'(!) и будем рассматривать %'(!) как комплексный потенциал некоторого фиктнвкого течения внутри нашей полуокружности плоскости !. По особенностям в плоскости ! легко определить вид функции г(!г'/Л. Действительно, в нашем фиктивном течении мы должны расположить особенность типа стока в точке гу, особенность типа дублета в точке С', вихрь в точке г)', точки К' и А' этого течения, так же как и Вь Вг, должны быть критическими точками. Таким образом, ФР'/Л имеет полюс первого порядка в точке ! = 1, полюс второго порядка ') Эта схема была предложена в работе Э ф р о с Д, А,, Гидродннамнчесхвя теория плоско-параллельного кваэвстациоиарного течения, ДАН СССР 51, йй 14, 1946.
') Задача эта была решена Гуре в и чем М. И. в работе «Об одной схеме струйного обтекания плоской пластинки». Труды ЦАГИ, )чь 512, 1947, 356 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВПЖЕНПН ТЕЛА ил. и! в точке ! = гс, нули первого порядка в точках ! = О, ! = И, ! = 1, ! =- — !. Так как на полукруге и на диаметре ф = сопз!., мы можем продолжить 1)т(!) на всю плоскость, используя отражение от диаметра и инверсию по отношению к единичному кругу.
Тогда прибавягся еще полюс 1-го порядка в точке (= — 1, полюса второго ! !' порядка з точках ! = — !с, ! = — †, 8 = + †, нули первого нос' с' ! ! рядка в точках ! = — И, ! = — †, Р = + — . функция ЕИК/г(! Гг' ' А' будет, таким образом, рациональной функцией на всей плоскости, и для нее можно сразу написатьс г (г — и) (г+ и) ~г — — ') (г+ — ') (1+ !) (1 — г) (г — !) (г+!) (Ф вЂ” !'с)'(!+ !с)! ~г+ — )! ! г — — ~ с)1 с) Г (1 — Г ) (г + Ат) (Г + 1 ) =А (2!.1) ( + ) ( + ) ( + — '1' с! ) где А — постоянная.
Обозначим теперь через и! постоянную величину скорости на 1 ч'ы границе каверны. Легко найти выражение — — в функциях от !. и! л'г Действительно, заметим прежде всего, что внутри верхнего полу- 1 чю крута функция —. имеет нули в точках !=О и (=И. и! 1 Лм Далее, ) — — ~ =- ! Ва струе, т.
е. на верхнем полукруге; аргун, лг 1 гГю мент — — будет постоянным, равныи п)2 на отрезке ~оризонтальи! Ез ного диаметра АВ! и равным —,)2 на отрезке ВЕА. Отсюда при 1 !Гы зеркальном отображении — — через окружность нули переходят и! ла в полюсы, а при отображеннк через действительный диаметр нули 1 Ны переходят в нули. Строя — — по нулям и полюсам, получим: и! 1 Лю Г(Š— И)(1+!1) В Г(! +Ф) (2! 2) (! ! ) (г ! ~ ) г! + где  — постоянная, которую мы сразу же найдем из условия, что 1 Л!а нри ! ==! будет — - — =- — !е "=- — 1 (скорость, по нашему прели, лз и, положению, направлена в точке О в сторону, противоположную направлению обтекания).
Таким образом, — ! =-- В = — ВИЗ. с (лт — 1) 1 — — 1 а! ОвтекАпие с кАВитАциеи ф г!1 1 ага /(/г+ /!г) — — = — / о! дс Лг/г+! (2!.3) Из (21.1) и (21.3) сразу следует, что с/а А а! ) ( Аг) (2 !.4) л/ (1 ! /г)(/!+ с!)г(/г+ ) (21.5) г ! 1 — Лгсг Второму условию мы удовлетворим, если потребуем равенства нулю вычета с/г7/// в точке /=/с. Это может быть, очевидно, сведено к равенству 1 с", !п~ ~ (/ — /с)гй =О, так что по (21.4) = О. (21.
6) /=!с (/г+ 1)(Г+;с) (Г +,) 1! Произведя несложные выкладки, мы получим из (21.6): г 5сг 1 с' (3 + с') (21.7) Уравнения (2!.5) и (21.7) определяют /г н с через о,„/о! !(ля опреде.гения А надо использовать условие, дающее ширин! пластинки: !'! = — г//, ,/ л/ -! (21,8) Интегрирование в (21.8) выполняется, если разложить (21.4) на элементарные дроби. Если использовать еще (21.5) и (21.7), Для определения значений трех постоянных с, /с и А будут служить три условия: 1. Условие для скорости набегающего потока. 2, Условие однозначности соответствия л (/) в точке / =- !с и в точке е= ОО.
3. Уравнение, дающее ширину 1 пластинки. Первое условие приведет по (21,3) к равенству (при Г = !с г/ю/'с/з = о ) е с (Лг — с') плоскля злдлчл о движении твлл [гл.ш получим: 2 ~ о 1бс" г о~ ~ 1 и+ 4 — атс1д с+, ( 1 — — 1 А о,(5сг — 1)(3+се) 1 о, (1 — с') (1-1- сг) ' (21.9) Наконец, мы можем найти и силу Х, действующую на пластинку. Не останавливаясь на расчетах, приведем из статьи М. И.
Гуревича ') рисунок, представляющий отношение сопротивления Х к сопроти- гВ е(тот Р влению Р= —. отвечающему струйному 4+я' б обтеканию без кавитации [ср, (17.11) 2 17 этой С главы1 (рис. 145). Ло оси абсцисс отложено так называемое число кавитации о. Последнее г выражается по формуле Р, — Рс о=— 1 г 2~ Л 3 С во В Рис. 145. Применив уравнение Бернулли, получим без труда, что отношение о /ои входящее в наши формулы, просто выражается через число кавнтации.
Именно: г — = 1+о. 1 Ю ') См. сноску на стр, 355. ГЛАВА СЕДЬМАЯ ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА В ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ В 1. Безвихревое движение. Движение шара. Перейдем теперь к рассмотрению пространственных течений идеальной несжимаемой жидкости. Считая движение безвихревым, вводим потенциал скорости о(х, у, х, р), так что проекции скорости будут: дт дт дт дх ' У Ду ' * дх ' (1.1) Уравнение неразрывности Дох деу до, иЧто= — + — «+ — = О Дх ду дз показывает, что функция у должна удовлетворять уравнению Лапласа А'р=- д -+ д + д =О. дтт Д'т ДЯ р (1.2) Давление р определяется формулой Лагранжа — Коши р= — р — — — — И+Лрр), дт роя Д 2 <1.3) 1 Др 1 Др о Нг дадут ' з Нз Дтр где Ъ' — потенциал внешних снл.
Часто удобно пользоваться не декартовыми координатами х, у, г, а какими-либо криволинейными ортоганальными координатамн дп грз, дз. Последние выбираются в соответствии с рассматриваемой задачей. Выведенное в первой главе уравнение неразрывности в криволи- нейных ортогональных координатах (13.3) для случая несжимаемой жидкости имеет вид д Вин,н,) дсо,н,н,) д1 и и'1 Де, + Дд, + Дд, где Нн Нз, Нз — паРаметРы Лцмз.
ПРоекции скоРости на осн кРи- волинейных координат выражаются формулами (глава первая, й 20, задача 5) дт. =н,дд,' (1.4) дбо ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВНЖЕННН ТЕЛА !ГЛ,ШГ Н 1, Нг г, Нь г51п0, и уравнение Лапласа имеет вид — !тгг — )+ — !тз(п 0 — ) + — — = О.
(1 6) д! дтт 1 д Г. дтт 1 дгт дг Л дг) мпз да Л' да) мага дьч Граничное условие на поверхности О' шара должно иметь вид — э=и дл где и„есть проекция на направление нормали скорости У точки поверхности О, направленной параллельно оси Ое; поэтому ггп — — Е7 со5 О, н мы получаем граничное условие де — е ==УСО50 при г=а. дг (1.7) Итак, в области вне сферы 8 надо найти решение уравнения (1.6), удовлетворяющее граничному условию (1.7); кроме того, долгино выполняться условие„что на бесконечности скорость обращается в нуль.
Из соображений симметрии ясно, что чг не будет зависеть от Л. На основании вида граничного условия (1.7) можно попытаться искать потенциал в виде произведения Р =- Р (г) соя 0. В самом деле, уравнение (1.6) обращается в этом случае в обыкно- венное дифференциальное уравнение а' / аРт (гг ) 2Р О (1.8) аг (, дг ) принадлежащее к типу уравнений Эйлера.
Полагая Р= га, найдем для определения )г уравнение л (7з + 1) — 2 = О, Поэтому уравнение Лапласа в криволинейных ортогональных координатах имеет вид д (НгНг ду ) д (Н,Н, дч ) д ( Н,Нг дт ) В качестве простейшего примера рассмотрим задачу о поступательном движении шара радиуса а вдоль оси Ое с постоянной скоростью У. Вводя сферические координаты г, 0, Л, связанные с декартовыми координатами при помоши соотношений х=гз1ПОСОЕЛ, у=г51п051ВЛ, е=гсо50, будем иметь: ВЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ.
ДВИЖЕНИЕ ШАРА 36! 0 и откуда й, = 1, ав = — 2. Отсюда следует, что общим решением уравнения (1.8) является Р(г) = Аг+ —,. В Постоянную А нужно приравнять нулю, так как иначе не получится нулевой скорости на бесконечности. Итак, нужно принять, В сов 0 зу = Остается использовать граничное условие (1.7) для определения постоянной В: 2В сов 0 = У сов 0; В = — —. (7аз аз Итак, искомое течение определяется потенциалом скорости Раз сов 0 2 ' (1 9) 2г' Иа.тягая на это течение поступательное течение со скоростью У в направлении отрицательной оси Ов, для которого потенциалом скорости является 9 с7е = — (7Г сов О, получим потенциат обтекания шара таким поступательным потоком ,зз л 0= — (7( + —, Это течение имеет уже установившийся характер, поэтому давление будет определяться интегралом Бернулли — Коши Ро' р= +ро 2 (!.11) если внешние си,ты отсутствуют.
Проекции скорости определяются формулами дт ! ал Ог = — = — (7 (1 — — з 1СО5 0; дг яь = — — - = У (! + —,) 5!п 0; 1 дт г д0 йг' 1 дт ~л= г вша дд Б частности, на поверхности шара будем иметь: о,=О; о,= — У51~0; ол=О; 3 для аав,тения получим формулу 9 р р — об~ 51п 0; о 362 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1ГЛ ЩГ (2.1) поступательным потенциальным потоком несжимаемой жидкости, скорость которой в бесконечности У направлена по оси Ох. Попытаемся найти потенциал течения я, как решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее пограничным уравнениям: для бесконечно далеких точек, Ф =-б (2. 3) ('2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
