Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 51
Текст из файла (страница 51)
116). Из предыдущих указаний на поведение функций о и ф при следовании в плоскости л вдоль линий тока и вдоль эквипотенциальных линий явствует, что каждой точке плоскости з, взятой в области течения У, соответствует определенная точка пло(в) скости то (хотя бы еще и не разре- занной), и обратно: каждой точке гг — — — — р разрезанной плоскости я соответствует определенная точка плоскости а в области У; при этом точки Е=-О, то=О, а также а=-сэ, Рис. 116. то = со являются соответствующими. Задача обтекания тела безграничным потоком будет решена, если удастся найти аналитическую функцию ОБТЕКАНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ.
МЕТОД КИРХГОФФА 325 з и! Рис. 118. Рис. 117. этой оси от со до точки Вн Таким образом области ! на плоскости г соответствует в плоскости 1/о область !', представляющая правую полуплоскость за вычетом полукруга. Если бы удалось найти аналитическую зависимость ла 1 — = — = =у(' )* ЛФ Р !17.8) отобраокающую конформно разрезанную плоскость тв на область !' плоскости 1/о, то интегрированием (17.5) е =- /;! (ю) ~!Те о (1 7.6) мы получили бы искомую зависимость между тв и л, и задача обтекания была бы решена. и рассматриваемом примере эту зависимость нетрудно найти.
и самом деле, совершая конформное преобразование при помощи формулы 1 и ==, 1' ге мы видим, что при прямом обтекании, например пластинки В,ВТ (рис, 117), границам области ! плоскости а, состоящим из линий тока В,С, и ВТСз, где )о(=(о ), и отрезков прямой АВи где !) = к/2, и АВ,, где 8 = — к/2, будут в плоскости 1/о соответствовать (рис. 118) дуга окружности В1С1 с центром в начале координат радиуса 1/(о~, дуга той же окружности ВТСз, отрезок нижней половины мнимой оси от со до точки Вз и отрезок верхней половины 1гл. и зйб плоская алдлчл о движении тела мы увидим (рис.
119), что разрезанной плоскости ю будет соответствовать нижняя полуплоскость и; при этом точка А переходит, очевидно, на бесконечность, точка С переходит в начало координат; точки В, и Вм которые в плоскости и имели одну и ту же координату с, где с — некоторое положительное вещественное число, Рис. 119. Р подлежащее дальнейшему определению, перейдут в точки В1 и Вз. 1 1 имеющие координаты += и — —. ге 7с Если и=и,+сиз рассматривать как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения, происходящего на плоскости у = 11о, то в этом фиктивном течении на линии А ВтС'В,А функция тока из все время равна нулю, а потенциал и, меняется от — со до +со. Следовательно, рассмзтриваемое фиктивное течение сводится к обтеканию полукруга ВзС Вн Если мы дополним полуокружность ВзС В~ до полной окружности и рассмотрим бесциркуляционное обтекание этой окружности потоком, имеющим на бесконечности скорость Г, парзллельную осн Оу, то, в частности, получим в качестве одной 1 из линий тока линию А ВзС В,А .
Применяя общую формулу (3.13) к частному случаю бесциркуля- ционного обтекания круга потоком, параллечьныи на бесконечности оси Оу. получим: тв= — Л'~л — — ). В нашем случае роль комплексного потенциала играет и, роль з играет у, радиус круга а равен 1/о, поэтому получаем: Лля точки В, имеем: 1 1 у= — ' и==' е рс ОБТЕКАНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУЙ МЕТОД КИРХГОФФА 327 подставляя эти значения в предыдущую формулу, находим: 2 г'с и. следовательно, Решаем это уравнение относительно у: ю, о, ~~а 1 1,,/ с, 1'с ~ 1 г'в — с+гг'с или Лс ~' г' с — в+)гс . (17.8) антегрирование последнего равенства дает окончательную зависимость (в точке А при я=О имеем в=О): л = — / — о'в= г р р'с — в+)гс ,/ ь— ~о с = — ~'~гв(с — в) + — атосов + 2 ~/св]. Г с с — 2в — "1 Р ( 2 с Значению в.=с должно отвечать значение «=И(12, где И вЂ” ширина пластинки, поэтому И г ~~~ 2) ( +4)И откуда найдется постоянная с: Ле с=— СО и+4 (1 7.9) В точке С имеем и = О, у = 1/о , следовательно, надо взять знак плюс.
Возвращаясь к прежним обозначениям, получим требуемое выражение метод жукОВскОГΠ— митчвля З м1 и выражение для силы Р может быть преобразовано к виду л Р о/ 1О2 ( т) ~с(у — р о ~" ( !' с — т+ У с ! ( Ус — у+3~с + УУ 1( З оу сгт) о У~:в — асс 1 л Ус:т -) с(со = 2рп ! Гйр. рт У Интегрируя, находим: с Р = 2ро ( У (с — 1) р 1о+ 2 с агс з(п Подставляя сюда значение с из (17.9), ноиу выражению: ~ ) =пСРО . приходим к окончатель- и заметив, что Г о г 1п е -«+о =1п — +( +0)!' — ! ! „,, ~"-4 = !,—;)= 1. мы Видим, что, следуя по пограничной линии тока ф= О плоскости я ~доль плоской стенки, мы будем иметь у = ( — и + 9)= сопя!., а следуя вдоль свободной пограничной струи, где !п~ ~ !О~1, мы получим Х =« 1и 1 = О.
4 (17.11) $18. Метод Жуковского — Митчеля. Истечение из отверстия. Улар струи в пластинку. Глиссирующая пластинка. По идее Планка Н. Е. Жуковским, а также Мнтчелем было предложено видоизменение метода Кнрхгоффа, состоящее в замене функции 1 ле ГГ о -= = — через Функцию с.=1п~=( и в разыскании затем конс ссю и формного отобрзжения разрезанной плоскости и на ту часть плоскости У-, которая соответствует области течения 1 в плоскости е. Если обтекаемый контур составлен из прямолинейных отрезков, то разыскзние упомянутого отображения может быть достигнуто при помощи известной формулы Шварца — Кристоффеля, потому что в этом случае границам области течения ! плоскости е будут соответствовать в плоскости л = Х+ у! прямые Х = сопз!. и У = соне!. В самом деле, написав: О=(О~ЕОг П =~О ~Е" плОскАя ЗАдАИА О движении телА П'л.
ш В качестве первого примера рассмотрим задачу об истечении жидкости из сосуда, ограниченного двумя бесконечными симметричными стенками. Выберем оси Ох и Оу в плоскости я, как указано на рис. 120. Обозначим через и угол, под Ф' (з.) Г которым наклонены стенки сосуда к отрицательной оси Ох, и через 20 ширину отверстия ВВ' сосуда, наконец через О обозначим расход.
Если ширину струи на бесконечности 8 обозначить через 20', а скорость струи на у бесконечности обозначить через с, то мы будем иметь очевидное соотношение 2с0'= О. Чтобы полностью определить Ь' и с, нам надо будет найти еще одно соотношение С' С между неизвестными величинами 0' и с и дан- ными О, а, О. Рис. 120.
Принимая, что на линии тока АВС функ- ция тока ф = О, мы должны иметь на линии тока А'В'С' соотношение ф = — О, чтобы получить заданный расход О. Потенциал ф меняется как на линии АВС, так и на линии А'В'С' от — со до + сО; мы примем, что значение ф з точках В и В' равно 0; тогда в плоскости комплексного потенциала тв = т + (ф области течения будет соответствовать полоса (рис. !21) ширины О. Рнс. 122, Ряс. 121 Рассмотрим теперь, во что перейдет область течения на плоскости переменного Жуковского Е=1п==Х+!У, Х=!п, У=0, е ' ~о~ где 0 — угол вектора скорости с осью Ох. Очевидно, что 0 = — в на АВ, 0 = я на А'В', 1о~ = с на ВС и В'С', следовательно, в плоскости л мы получаем область в виде полуполосы (рнс, 122), распо- мвтод жэковского — мнтчвля а !м ложенной справа от оси Оу, так как очевидно, что )и( Сс.
Чтобы получить конформное отображение этой полуполосы на полосу в плоскости тп, введем еще одну вспомогательную плоскость 1 и примем, что области течения соответствует на этой плоскости верхняя полу- плоскость (рис. 123). Как известно, такое конформное отображение полностью определяется, если задано соответствие трех контурных точек. Примем поэтому, что точка С переходит в точку 8 = О, точка В в точку ! = 1 н точка А в точку 1 = оо, при этом по сим- о~ метрии точка В' перейдет в точку 1 =- — 1. ./ l Нетрудно теперь определить зависимость ш и Е от 8, Найдем сначала функцию тв(1).
Если на Рнс. 123. время рассматривать плоскость 8 кзк плоскость некоторого фиктивного течения, а тв — как соответствующий комплексный потенциал, то очевидно, что все линии тока должны идти из точки А в точку С, причем количество поступающей в точку С из верхней полуплоскости жидкости равно сг. Но как раз такое течение мы лолжны получить, если представим себе, что в точке С находится сток интенсивности 2Я и что никаких других особенностей больше нет. Значит, можно принять, что те= — — !и 8 = — — !Пг 2~3 2ч и (произвольная постоянная пропадет, ибо прн 1 = 1 должно быть яд=О).
Можно, впрочем, непосредственно проверить, что эта функция отображает верхнюю полуплоскость 1 на полосу АС' плоскости тв. Чтобы найти функцию Е(1), надо найти конформное отображение полуполосы плоскости л на верхнюю полуплоскость г. рассматривая эту полосу как треугольник, одна из вершин которого удалена в бесконечность, отобразим его на верхнюю полуплоскость вспомогательной комплексной переменной 8 = ч + !т! по формуле Шварца — Кристоффеля. Последняя формула, как известно, имеет вид а "л (1 3 ) (1 $ ) и служит для конформного отображения внутренности некоторого л-угольника плоскости д с внутренними углами пп аз, ..., и„ на верхнюю половину плоскости 1; периметру многоугольника будет соответствовать вся вещественная ось ч, точки которой (о (з, ..., 1„ отвечают вершинам многоугольника; постоянные А и В зависят от поюжения и ориентировки многоугольника на плоскости д.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
