Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Приводя импульсы, распределенные по контуру С, к этой точке и беря затем момент относительно начала неподвижной системы координат. получим: У+ — "„,'а=У+ —,", П+1УДГ В,— 1'Д1 В.. откуда и вытекает нскомзя формула + ив„)В„, (16. 29) Д Дк ДТ Д ДУ ДТ Х= — — — +м —; 1'= — — — — щ —. 1 дг дгг+ дь — дг д)/ я/ ду д ду ду ду, 1 (16.30) Л= — — — 1/В -1- 1гВ = — — — — 1к' — +И вЂ” ° ~ ДГ У " ДГ Дкк ДЬк дУ В качестве примера рассмотрим движение эллипса с полуосями а и Ь. Направим оси подвижной системы координат по осям эллипса.
Воспользуемся конформпым отображением а+а а — д 3= — *+ 2 2' (! 6.31) внешности эллипса на внешность круга К единичного радиуса. Комплексный потенциал ш, должен определиться из граничного условия 'т1 =у (16.32) Итак, при введении подвижной системы координат, твердо связанной с контуром, силы, действующие нз контур со стороны жидкости, могут быть определены формулами и1 ив становившиеся движннив плоского конть на 319 ипн (вы, =!вг на К. (16. 33) Так как на круге К 1 — .
1 — = — е-'", '.= е-" = —. 7 = — е", то мы можем написать, что на круге К (~пг=1гп~ 2 (.-(- а+б — а — б а+б а--б — Ь = — 1в 2 Г+1в,. = — !в —,- —.+!в —,— б=(в— 2: 9' 2У 11озтому условие (16.33) может быть записано так: — б ! в те, = 1гп — на К. Но тогда ясно, что функция Ь ев 1 (16,34) ~оломорфная вие круга К и удовлетворяющая граничному условию (16.33), и представляет искомый комплексный потегпгпал ген Точно так же граничное условие для комплексного потенциала тля есть фя — — — х или 1пгв,=!в ( — !г) =1~и ~ — г .а+Ь „ 2 24 = 1п!1— 1(а+Ь) — .
а — Ь 1, ~ Г(а+ б) г'(а — б) 1 2 2' 1 ~ 2' 2: =1п1~ — —, откуда вытекает, что ба тюя — —— (16,35) Наконец, для определения комплексного потенциала тез имеем условие фз — — — — (хе+ уя) на К. 2 (16.36) 320 Г!лоскАЯ 3АЛАчА О движении телА !Гл т! Но на круге К хт+ ут =. гг =- — !( (а + Ь) С+ — !1! (и + Ь) Г, .+ - = — ~ = 4 ( — — (а-+Ь)~чч-+(ат — Ь') ~ — + =)+ 4 ~ =- — ~~ (а + Ь) +(а — Ь ) ! — + =..— ~~+ (а — Ь! ~ = , 12 22 42 Поэтому условие (!6.36) можно написать так: !гп ж = !Гп) — — ~ = — — !!и ~(2ат+2Ь2) ! +1 (ат — Ь2) ~ †.+ =Д= 2 ~ 8 1 = — — !Гп ° (2а1-(-2Ь2)!'+1(ая — Ь2)(- — — , '=!), =- 8 42 ))' .
а' — Ь' 4 = — — ! Гн ) ! (а! -!- Ь-) + !' —; — - ~, (22 откуда вг!текает, что 2.(а2 + Ь2) ! (а2 — Ьв) тгс '3 =- '4 ,! 2 пли, отбрасывая несу2цесгвепную постою!ную: г (а' — ае) Ю з= 4 2 (16.37) Полный комплексный потенциал лается формулой (Га ГГга 2а (а' — а2) Г 4 2 2п2' (16. 39) Для определенна снл надо вычислят!, коэффициенты присоеди- ненных масс. Напрнмер, г'н =- "' ) '221'261 с но на круге К 12 та!= — —, = — Ье-"! 221= — Ьсоа8; ф =Ьсйп8, '!— Наконец, цнркуляцнонное обтекание эллнпса определяется фор- мулой и,=- —, (пч, 1 (!6.38) ОВТЕКАНИР.
С ОТРЫВОМ СТРКИ МЕТОД КИРХГОФФА 321 з 1и поэтому Лп = рЬ2 / созз 6 е(6 = ирЬ2. о Точно так же без труда найдем: ~Р а' — З')' )эз =яра ' Лзз= 6 ' Лм= — Лез= Л22=0" В случае бесциркуляционного течения живая сила 2Т= Л, (72+ Аз(ее+ Л ыз = ке ~ Ьз(/2+ аз)'2+ мз~. атг — рЬ ФУ; 2 Х= — пРЬ2 +кразы)е. У аз а'Š— — — ир(а — Ь ) Ие Р(а' — Ь) и 8 и'Е (16. 40) В случае наличия циркуляции Г, нужно прибавить еще силу Жуковского, приложенную в центре эллипса (так как Ьз = О) и соответствующую скорости этой точки У+Е(е, т.
е. силу ЕрГ (У + Е)г) = — рГ)е+ ЕрГК поэтому выражение для момента останется без изменения, а выраже- ния для снл примут вид Х = — ярЬ2 — „+ краза ге — рГ)'; ЖУ аЕ *г' = — краз — — крЬ2~ У+ рГУ. аЕ (16.41) В 17. Обтекание с отрывом струй. Метод Кирхгоффа. Разобранные нами выше с.чучаи обтекания цилиндрических тел плоско- параллельным потоком жидкости предполагали непрерывность скорости течения во всех точках потока. Прн этом было показано, что при отсутствии циркуляции чисто поступательный потенциальный поток не оказывает результирующего давления на обтекаемое тело. В попытках найти объяснение этому парадоксу Гельмгольц и Кирх- гофф ввели в рассмотрение, как возможную форму движения жидкости, обтекание с образованием поверхностей разрыва непрерывности скорости.
При таком обтекании некоторая линия тока, приходя из бесконечности н встречая нормально контур обтекаемого тела, разделяется на две ветви, которые следуют вдоль контура тела до некоторых точек В, и Вз (рис. 115), после чего обе линии тока В,С и В2С отрываются от контура и уходят в бесконечность, отделяя область течения У от области покоя ЕЕ.
21 звк ~по Пользуясь формулалщ (16.30), получим следующие выражения для сил: 1гл в( 322 ПЛОСКАЯ ЗАДА'>А О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА Казалось естествепньы| решать задачу в предположении, что область покоя // заполнена жидкостью той же плотности, что и жидкость в области потока /. Такая схема вызывала возражения, главное из которых заключалось в том, что поверхность разрыва, представляющая собой тонкий вихревой слой, неустойчива. Распадаясь на отдельные вихри, поверхность разрыва быстро заполняет зону // вихревыми движениями.
Мпогочисленнь>е наблюдения подтверждали наличие такой картины явления н в, привели к созданию теории вихре- вых дорожек Кармана. /' Однако на самом деле сущес л ' й ствуют различные режимы обтекания тел. При достаточно больших скоростях ') поток жидкости полностью (>а С отрывается от тела у кромок В, и Вг, и тогда за телом образуется Рис. 115. зона постоянного давления, заполненная парами жидкости и выделившимися из жидкости газами. При этом плотность среды р' в области // будет значительно меньше плотности р жидкости в основном потоке. При малых р'/р поверхности раздела В,С и В,С оказываются практически устойчивыми и теоретические расчеты дают хороц>ее совпадение с опытом. К задачам, решения которых методами теории струй удачно совпадают с опытом, относятся в первую очередь задачи о глиссированин, о кавитацнониом обтекании тел и об истечении струй жидкости из отверстий.
Перейдем теперь к изложению метода Кирхгоффа. Становясь на точку зрения теории обтекания с отрывом струй, мы будем считать поле скоростей непрерывным и потенциальным в области течения /. Точка разветвления А линии тока, прилегающей к передней части обтекаемого контура, должна тогда быть критической точкой, в которой скорость о=О, иначе бы вектор скорости терпел раарыв непрерывности по направлению. В зоне застоя //, протягивающейся в бесконечность, скорость везде равна нулю и, следовательно, давление постоянно, если отсутствуют мзссовые силы, что мы и будем предползгать з дальнейшем.
В таком случае линии тока В,С и В,С можно рассматривать как свободные границы жидкости, и величина скорости течения на этих линиях должна в силу интеграла Бернулли— Коши оставаться постоянной и равной величине скорости потока в бесконечности о В области течения / предполагается существование комплексного потенциала еа = (/+ 1((П при этом, так как комплексный потенциал определяется до аддитивной постоянной вида с = с, + /га, то постоян- ') Точнее, при достаточно малых числах кавнтацви, см, э 21, ОБТЕКАНИЕ С ОТРЫВОМ СТРУП. МЕТОД КИРХГОФФА зад ные с, и сз всегда можно считать выбранными так, чтобы потенциал скорости ф обращался в нуль в точке разветвления А критической линии тока и чтобы вдоль этой линии ф = О. Так как вдоль линии тока ф = 0 скорость не имеет, кроме точки А, других критических точек и, значит, = — >О, дт дз причем !!щ О, = ~ О ~ при удалении в бесконечность как по линии АС, так и по ветвям В,С и ВТС, то очевидно, что потенциал скорости Ф изменяется монотонно вдоль линни ф = 0 и притом от — ОО до 0 прн следовании в безграничном потоке по линии СА пз бесконечности до точки А н от 0 до + СО при следовании нз точки А а бесконе~шость по каждой ветви АВ,С и АВТС.
Предполагая, что течение з области ! Бне контура тела и, значит, вие линии тока ф = О нигде не имеет критических точек и что !!ю О = О при удаленин в бесконечность по любому направлению в области 1, мы прихолим к аналогичному заключению, что при следовании по течению вдоль всякой линии тока ф = с чь 0 потенциал скорости изменяется монотонно от — со ло +ОС, Обращаясь к изменению функции тока ф при следовании вдоль эквипотенциальной линии ф = сопз!. и вспоминая, что дф — =О ду дх имеем; дф = — О„ах+ О„ду = О( — з!и 6 г!х+- соз д ау) = = — о ! соз (8+ — ) дх + з!и (8+ -,'-'-) гну~ =- О сЬ, где да — элемент эквипотенциальной линии, причелю из двух возмоигных направлений г!а взято то, которое получается при помощи поло,угительного поворота против часовой стрелки вектора в на х/2.
Так как эквипотенциальные линии, служа ортогональными траекториями линий тока, имеют либо оба конца в бесконечности, либо олин конец в бесконечности, а другой иа линии тока ф = О, то очезилно, что, следуя вдоль эквипотенциальной линии по указанному направлению г!с, мы будем иметь монотонное возрастание функции тока ф либо от — сО ло + -", либо от — Оо до О, либо от 0 до + Ос. Таким образом в безграничном потоке линия тока ф = 0 разделит область течения У на две частные области: В, внутри которой ф Р О, и l", где ф(0. Взяв плоскость течения за плоскость комплексного переменного е=-х+гу, примем за начало координат критическую точку А и сопоставим с этой плоскостью плоскость комплексного потенциала "' = ф+ гф, разрезанную вдоль вещественной оси от ф = 0 до е!.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА ггл. ш 324 (1 7.1) конформно отображающую область ! на разрезанную плоскость я, или же, наоборот, если удастся найти обратную функцию г = г". (то), (1 7.2) отображающую разрезанную плоскость то на область 7 плоскости г. Заметим, что вследствие указанного вааимно однозначного соответствия функция Р должна также быть регулярна и однозначна на разрезанной плоскости ш. Производная втой аналитической функции 1 = = — = гч'(то), о йго (1 7.3) как известно, также является аналитической функцией на разрезанной плоскости то.
Кирхгофф поставил задачу о разыскании аналитической зависимости между ал!ато и ю вместо отыскания зависимости (17.2), иначе говоря, задачу о конформном отображении разрезанной плоскости ш на ту часть плоскости переменной ох+ гоз о !о!ч (1 7.4) которая соответствует области течения 7 плоскости е. Разыскание границ упомянутой части плоскости 1/о не представляет труда в том случае, когда обтекаемый контур в плоскости л состоит из прямолинейных отрезков, В самом деле, положив о=)о(еа' и заметив, что 1 е' о !о! <р=+со (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
