Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 45
Текст из файла (страница 45)
в дугу Р плоскости я', хорда которой вмещает со стороны, противоположной центру, угол 0'=20 и опирается, следовательно, на центральный угол 2 (л — 0') = 2р. обтвклнце пиоФплкп жуковского 283 131 где д — комплексное число плоскости ь', изображающее вектор ОСп Вводя в рассмотрение угол — наклона радиуса ВС основной окруж2 ности к отрицательному направлению вещественной оси $', мы имеем: ос, = ос+сс, и, значит, Зт, з д = М+ ее~ ' г = И вЂ” ве где л 2 с (13.
10) Таким образом, з я ь'=(э+М вЂ” ае (13. 11) Пусть теперь окружность К, обтекается в плоскости (ч поступательным потоком с циркуляцией Г; пусть при этом скорость в бесконечности и этого потока образует угол и с положительным направлением вещественной оси, так что и =)и )ес Комплексный потенциал такого изученного нами течения выражается формулой те=~к ~~е ыс -+.(к'+~1 е"~~ ~ !п Г ° (13 12) Выразив здесь ь, сначала через "' на основании (13.9) Установив это, рассмотрим наряду с окружностью К, которую будем называть основною, некоторую соседнюю окружность К, радиуса гге+е, центр которой поместим на продолжении радиуса Вс' основной окружности так, чтобы она касалась основной окружности в точке В (рис.
106). Так как окружность К, охватывает полностью окружность К, то после применения преобразование (13.4) она перейдет в некоторую замкнутую кривую Ри охватывающую дугу Р. В точке В' (2с, О) кривая Р, будет касаться дуги Р, подходя к ней с обеих сторон, т. е.
образуя острие. Если через центр С, окружности К, провести координатные оси 1,С1т1, параллельно осям Вой', то точки комплексной плоскости ь, относительно новых осей будут связаны с соответствующими точками плоскости Ч при помощи преобразования параллельного переноса ч =ьг+в (13.9) 1гл.
ш плоская злдюга о лвнжвнин тела 284 зг где д=М вЂ” ае ', а затем (.' — через г' на основании формулы (13.4), которая дает: ь'= — ( '+~ ' — 4 ), (13. 13) мы получим комплексный потенциал течения при обтекании профиля Р, в плоскости г'. — — г 1 г 1 тг ж 3 (~Оч+') 12 2 )'1, 1зу,г — а' — а+ — и а" — 4с' 2 2 — 1п(2 г' — д+ 2 г г' — 4с~). (13.14) Вычисляя комплексную скорость в бесконечности для течения в плоскости г', имеем: и = ~ а 1е-"', и, значит, тг = и Скорость потока в плоскости а' у задней точки В' контура Р, может оказаться бесконечной, как это видно из выражения для комплексной скорости ~г' Й~; е(г Ы ' (13. 15) в котором н" 1 1 = со 1 —— гГь' Г,г при "=с. Лля того чтобы задача обтекания профиля Р, могла иметь физический смысл, скорость потока на профиле и вне его должна оставаться конечной.
Подберем поэтому интенсивность циркуляции Г, оставшуюся неопределенной, так, чтобы удовлетворить требованию о конечности скорости. Для этого достаточно выбрать Г так, чтобы з гЫ/пчг=О в точке В плоскости (и, т. е. при (ч=(йе+а)е Производя вычисления, найдем: Л' ее 0=(п 1(а-ы — ем+и ') —— откуда — (Р+ (. ('"->'-.~'"->')= — ~()Зете) ып (х+ ), (13,1б) ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО 285 4 1з1 или Г= — 4я ( о 1(~' се+ да+ е) з(п (п+ — ), (13.17) где а д 13 — ' 2 с Гтля расчета главного вектора гидродинамических реакций (на единицу длины цилиндра), приложенных к профилю Р, со стороны потока, воспользуемся формулой Кутта — Жуковского Подставляя сюда выражение для Г (13.17), имеем: )с = 4птр1о )з е»' ()Гст+ йт+ е) а(п (а+ — ) = 2) /» =4-р,'о 1зе»г ) (1/сз+.7гз+е) з(п ~а+ — ). (13.18) Вектор )с, направленный перпендикулярно вектору скорости п , называют поддерживающей силой; для величины )7 имеем: ! )т ! = 4пр ( о (а (»г' с + йя -+ е) Б1п ~а+ — ) = = 4»гр1О,'()се+ а) ейп (з+ — ) .
(13.19) При малых е можно приближенно положить: ! ТТ1= 4 р1о ! )с п ~п+ — ) или вследствие (13.8) 1~) = 4КР ( о )Яг а(п — ' а(п ~а+ — ') . (13.20) (13. 21) где аз= ед, указанное С. А. Чаплыгиным и не отличающееся по существу от преобразования (13.1) или (13.4), примененного в ыше. Профили, получаемые применением того или другого нз указанных преобразований к некоторой окружности, соприкасающейся с основной окружностью в особой точке преобразования и заключающей внутри себя вторую особую точку, получили общее название К тем же формулам приходит Н. Е.
Жуковский, применяя, преобразование Р„С+С (13.22) а с+А' плоскАя зАЛАЯА О движении телА 288 !Гл. ш лрофилеа 2Кукозгкого, впервые указавшего на их применение в качестве профилей крыла аэроплана. Профили Жуковского при заданном расстоянии 4с в плоскости профиля между особыми точками преобразования характеризуются двумя параметрами л и е, из которых первый характеризует изгиб нли кривизну крыла. а второй — его толщину.
При малом изгибе можно приближенно принять 4г з!и -'- = 2г~ = !.2 А'0'В' = Р, 2 где Р— площадь единицы длины крыла, и тогда для поддерживаю- щей силы получаем простое выражение 1й'! =:гр ) О !2 Р з1п (е+ — ~~. 2)' (13.23) при условии, что величина циркуляции подобрана так, чтобы у заднего края пластинки скорость течения оставалась конечной. Этот результат был уже получен выше в В 11 [формула П!.7)).
Формула (13.18) показывает, что полдерживающая сила обращается в нуль и меняет свое направление, если угол п, называемый также углом а!лаки, принимает значение 3 а= — —, 2 ' максимальной же величины поддерживающая сила достигает при и=— 2 2' Заметим еще, что при я=О формула 113.21) дает: ()С! = 4пр~п !2г з)п' — или ! г! ( = 2прГ1О !2, (13.23) где г=2Г5!и 2 2 есть так называемая стрела л)тогиба кривой луги А'1)'В'. Формула 113.25) выражает взоре иу Чаплыгина: поддерживающая сила при обтекании без срыва струй круговой дуги потоком, скорость которого в бесконечности параллельна хорде, стягивающей дугу, не зависит при ланной стреле прогиба от длины дуги или ее радиуса.
При р = О отсюда получается выражение для поддерживающей силы при косом обтекании с циркуляцией плоской пластинки ширины Р 1)2 ~ = пр ~ О Р Р з1п е (13.24) ОБТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕП ЖУКОВСКОГО Для вычерчивания профилей Жуковского при заданных параметрах можно применить простой прием, указанный Треффтцем. Построив в плоскости ч' соприкасающуюся окружность К, рздиуса Ч'М Рнс. 107.
)с,—.)св+е (рис. 101), из которой получается профиль Жуковского после применения преобразования с' а/ ГГ Г' ' строим вспомогательную окружность Кз, получаемую из К, путем преобразования инверсии н симметрии Так как при этом преобразовзнии окружность переходит в окружность, причем вещественная ось переходит сама в себя, то по свойству конформности окружность К, будет пересекать вещественную ось под тем же углом, что и окружность Кн — иначе говоря, Ка и К, будут касаться друг друга в точке ч' †.
— ч" = с, через котоРУю пРоходнт Кб следовательно, центР С, окРУжности Кз Расположится на прямой ВСР С другой стороны, центр См который, заметим, не является соответственной точкой для центра С, окружности Кн булет лежать на луче (2), являющемся отражением луча (1) от мнимой осн. В самом деле, так как точки А, и Аз пересечения окружностей К, и К, с вещественной осью являются соответственными, то вследствие (! 3,24) ~ОА,.
'=-= —. 10, ) плоскля ВАЛАчА о дВижении телл 288 ~гл, чг Но если Ог есть проекция центра С, на ось Г, то (ОАг)=~ООг(+~ОгАг~=асов| +с+асов — '=с+2зсоз —, и, значит, с2 ~ОА2,= с+ 22 соз— 2 В таком случае (3 (А~В! — с+ с+22 соз — ' с+22 соз — ' 2 2 С другой стороны, если 02 есть проекция С на ось 2, то С' С2 Сзз— ~ Р В1= —,~ А В!= 2 с+22 соз -'— 2 Таким образом, абсцисса центра Сз(ОО2~ будет равна С +22 СОЗ 2 2 ~ ОО )=-!ОВ~ — ~ОЗВ', с+22 саз— 2 С2 СОЗ вЂ”, 1 2 Й2 Сез— 2 Лс СОЗ— 2 с+22 сов ~ А+22 — соз — ' А+22 Мя ~ 2 с 2 2 В+2 з~л 2 2 22 2 СОЗ— 2 с прямой ВОН уравнение которой — + — =!.
Р в Построив таким образом окружность Кз, мы можем для каждой точки ~'=-(Г.'(ет' окружности К, найти соответственную точку чл= с' = — е-т' на окружности Кз, пересекая последнюю лучом, проведенным под углом — у к вещественной осп. Ту же самую збсциссу будет иметь точка пересечения луча (2), уравнение которого 289 ОБтекАние НРОФилегт жукОВскОГО а 22! Построив после этого геометрическую сумму векторов "' н Г г'=ч'+Г, мы, вследствие (13.4), получим соответственную точку профиля 11(уковского. Чтобы дать полную характеристику сил гидромеханических реакций, приложенных к профилю Жуковского при его обтекании, воспол~ зуемся результатами Д 8.
Конформпос преобразование плоскости ч на плоскость е представляется в нашем случае равенством са с' пса я=~+а'+ С+ =-'-+К+ ~ — ~, + так что прн сравнении с (7.2) получаем: 3 до =-- ~ = М вЂ” ее 72, = с'и Й.= 77а+ е. Для острой кромки профиля Жуковского 1аа 1=(Ка+е) е и, следовательно, ба= — — ° 2' Конформный центр тяжести профили имеет, очевидно, координзту 7за, а е. совпадает с точкой Си Проводя через него прямую 7, составляющую угол — р/2 с осью Ох, получим критическую ось профиля (рис. 108). Фокус профиля определится по формуле (9.9): да и са 2 е,— 72 ае-ма — а7 е 2 отсюда видно, что направление С,гт симметрично с направлением критической оси относительно оси С,.
"и что расстояние между точкамн С, и Р определяется по формуле С,Р'= —. ааа+ = Зная фокус Г параболы устойчивости и ее директрису — критическую ось профиля, без труда построим эту параболу, Ее параащтр р =- 2а имеет значение д, 2 1 1са 2,1 тампа р = 28 = — Ке, — ' е-2" 1 = — Ке ) ... е" '.= — --'.— ° 19 заа. Паз ПЛОСКАЯ ЗАДА'!А О ДЗИНСЕППП ТЕЛА пл и! Момент реакций относительно фокуса Р имеет, как мы знаем, постоянное значение: $.„= — 2пгй/о (РЮ!!!не-'и'1= — 2пр !о.
!ейе (!степ) = = 2пр (о !Р раз!и ~. Подсчитаем еще момент реакций относительно конформиого центра 4 и Рнс. 208. тяжести Сп для чего воспользуемся формулой (8.9), в которой надо положить ьр = О' 1-с, = Ке ~ — 2прИ!ор 1) = Ке ( — 2к, с'(о (те-р!"! или 1.с, = — 2трр (о (т са цп 2а. Ясно, что этот момент обращается в нуль, если а = О или а = и/2.
Таким образом, если поток на бесконечности параллелен оси Ох или Оу, то сила реакции будет проходить через точку С, и, следовательно, будет направлена по оси Сгр) нли С!с. Таким образом парабола устойчивости касается как прямой С!Е, так и прямой С!тр В частном случае, когда 8 =- О, мы получаем симметричный проРис. 109. филь. носящий название руля Жуковского (рис. 109).
В этом случае ье — — О и парабола устойчивости вырождается в точку Г, лежашуго на оси симметрии профиля; совокупность реакций приводится 291 овтвклнив Решетки В ы1 к одной равнодействующей Р, приложенной при всяком угле атаки к точке р, которая является постоянным центром давлений. ф 14. Обтекание решетки. В качестве первого обобщения задачи о движении одного профиля рассмотрим решетку, т. е. систему, состоящую из бесконечного числа профилей (рис. 1! 0), которая может быть образована смещением одного профиля на одно и то же о расстояние 1. Это расстояние называется шаго>н решетки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
