Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Таким образом, мы приходим к первой формуле Ьлазпуся — Чаплыгина: 2 '~' !З.1) с Вычисляя главный момент !, сил гидродннамических давлений относительно оси, перпендикулярной плоскости течения и проходящей через начало координат, имеем: ! = — — г~ р)хсоз!и, )) — -у соя(л, .т)] г)з = = ~> р(хсоь О-г-уз1п 0) г)з =- ~ р(хьгх+уг)у), 254 плоская злдА'!л О движении талл 1гл.
у! Воспользовавшись снова интегралом Бернулли и замечав, что с ~ х и'х + у !г'у = -- с у и! 1хе+ у') = О, 1 с мы приходим к выражению = — — Х оз (х г1х + у !1у) = Ке !у — —, в ~; о'-'л л!а 2 Т 2 ' с с так как х ггх = !х + гу) !а!х — !' ггу) =.
х с!х+ у г1у .+ ! г!у ггх — х !1у) г)о, как было отмечено выше: оз л., г,! и, таким образом, мы приходим ко второй формуле Блазнуса — Чап- лыгина: 1, = гте р у озх гг„! . 2 с (5.2) Если теперь считать поток, обтекаюший тело, потенциальным н сели известно аналитическое выражение для комплексного потенциала течения и = се + гф = г !г), то формулы Блазиуса — Чаплыгина, прниимаюшне в этом случае вид )С=Х вЂ” гг = 2 ф ~( Л ) г!а, с !'5. 3) (5 А) дают возможность просто найти гндродинамическне реакции потока на тело. ф 6. Эффективное вычисление гидродинамических реакций при установившемся течении. Формула Кутта — Жуковского.
Допустим, что течение, получаемое при внесении тела в поступательный поток, потенциально везде вне тела и может быть осу!цествлено путем замены тела известным нам наперед расположением особых точек течения — вихревых, источников н дублетов, лежашпх внутоц контура С, ограничивакицего тело; кроме того, будем с штать. что алгебраическая сумма обильностей всех источников равна нулю, что соогветствует тому факту, что поток скорости через контур тела должен равняться нулю.
Ограничиваясь для простоты выкладок дискретным расположением особых точек, будем считать, что расчатриваемое течение определяется заданием: и простых источников, лежащих в точках ан аю ..., а„, с обильи ностямц дн д,, ., д„, причем .~~д,=-О; а- ! т вихрей, .тежащих в точках Ьн (!е, ..., (л, с циркуляциями Гг, г, ..., г„! р гг!б!легов. лежащих в точках сн га ..., сл с моментами Л„е'е! ((е = — 1, 2, ..., р), Тогда коиплексный потенциал течения представится в виде И Р 1 ъз 1 ъп М„е" Р тл.=- и г -) —,.— ~ д, 1п (а — а ) — — ~и 2я Л! " 2в .!ЬИ е.:! е=! а комплексная скорость ~1 Р л! л Так как г(те(г(г регулярно во всей внешней по отношению к контуру С части плоскости д, включая и точку а=.л, то вычисление контурных интегралов (5.3) и (5А) сводится к нахождению вычетов подынтегральных функций для точки г= ос. В окрестности же нос.зедней точки комплексная скорость представится, очевидно, разло>кением Нн — А, А! не =-о + — '+ — '- + (6.3) Следовательно, степенные оазложения подынтегральных функций в окрестности бесконечно удаленной точки будут иметь вид Аг+ 2Азо, а! + ° ° Аз!+ 2А, н ' Ню,-' — ) г = о' з + 2А!о.
+ в!! нжи ктив!!он вы'н!г,!и!нн' г!!ДР.!д!н!лм~Р!гск!!х Рглк!Ин! 25г! плоскчя зхдА'1А О дена!енин телА !гл ч! и по известной теореме о вычетах мы будем иметь: — ) г(з = 4Л1А!о,д с Г~ ( — ) зг(з=-2..1(А1+ 2АЕО.,). С (6 г4) (6.5) Для вычисления коэффипиентое А, и Аз разло!кения (6.3) достаточно разложить в окрестности бесконечно удаленной точки каждое слагаемое в (6.2), на ример: ) ! а„а,, т а — аа л + ад + а' + ' ' тогда найдем без труда: где выражение и Р М = аа 1!„аа+ .~~! М и""' !! моакет быть названо суммарным моментом источников и лублстов, заключенных внузри тела.
Таким образом, выражения (6.4) и (6.5) получают вид ) г(г=2ГО„, с 1 а) ггд=-2 УГ ба+((2М „— — ) С а=! Вставляя этп выражения в формулы (5.3) и (5.4), получаем: й=Х вЂ” ГУ=грго„; (6. 6) 5 = )7е — ро У, ГА(гл — ГЯМО А-1 (6. 7) Первая из этих формул носит название формулы Кутта — Жуковского; она показывает, что вектор тс' (сопряженный с главньы| и аг гг 1 А=! а Р га Аз= 2 ~~~ г),а, + т Мее'!1 — Г т А=1 А=! А=! га где Г= ~~1'„, А=1 га,) =- —,', (й! — З',г,ь), пиимаианиа метода конеовмиого отогялжиния 257 % и вектором реакций Й) повернут относительно вектора комплексной скорости о (сопряженного с вектором скорости о„) на прямой угол в направлении, знак которого одинаков со знаком циркуляции Г.
Если мы от векторов тс н о иерейдем к их зеркальным отражениям от осн Олк тс н о , то последние будут также перпендикулярны, причем изменится лщнь направление поворота от о к )с. Таким образом, (6.8) Рнс. 95. плоскости и через )т — радиус этой окружности. Область плоскости ч, расположенную вне К и содержащую бесконечно удаленную точку, обозначим через Ь (рис. 95). Между областями О и Ь можно установить взаимно однозначное конформное соответствие при помощи однозначных аналитических функций г= г(5), 1=5'(л).
(у.() Это соответствие устанавливается единственным образом, если потребовать, чтобы точки з = оз и ч = о соответствовалн друг другу и чтобы значение производной Нз/д" в точке ч = оо было положительным. )с = — (рГо, и направление вектора тс опреде.антса поворотом вектора о на прямой угол н а в с т р е ч у циркуляции, т. е. знак поворота будет обратен знаку циркуляции. р 7. Применение метода конформного отображения. Полученное выше общее решение задачи об обтекании поступательным потоком крутово~о цилиндра позволяет решить задачу об обтекании произвольного контура, если только известно конформное. отображение внешности этого контура на внешность круга. Обозначям через О область плоскости г, расположенную вне рассматриваемого контура С и содержащую внутри себя бесконечно удаленную точку плоскости г.
Введем в рассмотрение вспомогательную плоскость 5=:.+Гт) и обозначим через К окружность с центром в начале координат этой ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл. Тч где л) О, согласно принятому выше условию о значении производной дз/с1ч в бесконечно удаленной точке. Предыдущий ряд сходится в любой конечной точке области Ь.
Если в плоскости г провести окружность 7. с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур С, то в области, расположенной вне 7., функция Р(л) тоже должна разлагаться в ряд Лорана: ~=1л+10+ —,+Ф+ гя (7.3) Этот ряд является, очевидно, обращением предыдущего ряда, и его коэффициенты легко могут быть выражены через л, ле, 7ен ..., нзпример: (7.4) Заметим, что радиус )с круга К можно брать произвольно, н тогла определится значение действительной постоянной и.
Можно было бы принять 7с = — 1; можно, наоборот, принять, что й = 1, и тогда значение Р полностью определится. Рассмотрим теперь задачу о безотрывном обтекании контура С потенциальным потоком, имеющим на бесконечности скорость и = У+гь' =1о 1е'". (7.5) Соответствующий комплексный потенциал обозначим, как обычно, через (з)=~+Ф Подставив сюда вместо л его выражение через ч л =У(~) мы получим функцию Ж' (ч) = ю У б)) = Ф+ Л'. Рассмотрим свойства этой функции. Она является очевидно аналитической функцией от ч в области Ь, поэтому ее можно рассматривать как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения, происходящего в плоскости " в области Ь, т.
е. вне круга К. Комплексная скорость в этом течении определяется формулой лге Ме чь ле ~МГ Аналитическая функция у(~) голоморфна в области Ь„за исключением точки ". = Оо, в которой она имеет, очевидно, полюс первого порядка. Поэтому эта функция должна раз влагаться в ряд Лорана следующего вида: з=7е" +7еа+ + я + гя ай ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДЛ КОНФОРМНОГО ОТОВРЛЖЕНИЯ 259 В бесконечно удаленной точке 1=ПО мы имеем д =Оо и следовательно, значит, в бесконечно удаленных частях плоскости 1 мы имеем посту- пательный поток со скоростью 7го = 7г (и+ гг') = й, ~е'". С другой стороны, очевидно, что в соответствующих точках плоскостей а и 1 имеют место равенства щ (а) — — гг' ('.); ~7.= Ф; ф = %', и так как на контуре С функция ф имеет постоянное значение (условие обтекания), то значит на контуре К функция Ф' будет иметь тоже постоянное значение, и, следовательно, контур К является линией тока для течения, определяемого комплексным потенциалом В'(ь).
Из сказанного ясно, что Ж'(7) определяет обтекание круга К потенциальным потоком, имеющим на бесконечности скорость 7еп,, Эта задача была решена в 9 3; следовательно, (Р'(ч) должна иметь следующий вид: (Р'Д=й~ г.+ + —.!~'. лв 7г' Г Подставляя сюда ч= Р(я), (7.6) мы получаем комплексный потенциал в(е) =/го Г(я)+ + —,.
(и Р(а), (7.7) 17" дающий общее решение задачи об обтекании контура С. В решение вошла произвольная постоянная 1', определяюгцая циркуляцию по контуру С. Для случая гладкого контура, пе имеющего угловых точек, значение циркуляции должно быть задано; как раз такой случай мы имеем в задаче обтекания круга. Профили крыльев, употребляющихся в авиации, имеют обычно острую кромку (рис. 95).
В этом случае при произвольно выбранном значении циркуляции Г скорость в острой кромке получится бесконечной н только при одном совершенно определенном значении Г скорость в острой кромке останется конечной. Н. Е. Жуковский предложил так именно и определять значение циркуляции Г, чтобы 260 плОскАя 3АдАЯА О движении телА <гл, ш скорость в острой кромке оставалась конечной. Физический смысл этой гипотезы Н. Е. Жуковского можно пояснить следующим образом: Пусть контур С, находившийся сначала в покое, начинает двигаться поступательно и равномерно в жидкости, покоящейся на бесконечности.
По теореме Томсона, циркуляция скорости по жидкому контуру 7., охватывающему контур С, должна сохранять свое значение с течением времени и, следовательно, должна все время иметь значение, равное нулю. Вообще говоря, нулевое значение циркуляции не уловлстворяет условию конечности скорости з острой кромке А контура, так что скорость вблизи точки А будет иметь очень большое значение. Заметим теперь, что действительные жидкости всегда обладают вязкостью.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
