Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 39
Текст из файла (страница 39)
вид которых варьирует в зависимости от условий осуществленвя плоского потока. 'гте задаваясь целью дать исчерпывающую классификацию различных типов граничных условий, укажем наиболее простые случаи. Если рассматривается плоское течение в безграничной жидкости, покоящейся в бесконечности, возникающее при движении цилиндрического тела, то граничными условиями для функции тока очевидно, будут: а) — =.-О, — =О (2Л) дф дф дх ' ' ду ,.гля бесконечно далеких точек по!ока, так как в этих точках скорость должна быть равной нулю; д х б) в каждой точке контура двиРнс. 88. жущегося тела должны совпадать нормальные проекции скоростей и„ вЂ” самого контура и пк — прилегающей частицы жидкости (рис.
88); замечая, чго ОА ПгСО5(П Х)+ ну СОВ(Л' л!) Пг 5!П 8 му СО5 8 ду Лх дЬ ду ду! дх !ГР = и — — и — - = — '- — -+ — — =- —, (2.2) * ла У Ла дУ глз дх да да ' где 8 есть угол между элементом ага линии тока и осью Ох, мы можем рассматриваемое условие выразить соотношением — ==и = — и згп0 — и созп г Л Х (2.3) Если при этом в жидкости имеются еще и неподвижные тела, !о очевидно, что на их контурах нормальная составляющая скорости прилегающих частиц жидкости должна равняться пулю, иначе говоря, сам неподвижный контур должен быть в соприкосновении с .линией тока (одной или несколькими), В этом случае к предыдущим условиям мы должны присоединить пограничное условие да — ~ =О; г!у = сопВЕ (2.4) в) — '. = (у 5!и 8 = (у —— дф .
ду дх лз для точек неподвижного контура. Если тело движется поступагельно со скоростью (у', направленной вдоль осн Ох, то условие (2.3) принимает вид г!лоскля 3АдАчА о движении талл [гл ш и.ш пос.!с интегрировашш вдоль контура прп с» =- сопз1. для всех точек контура ф=. !»'у + с. (2.5) Если шшиндрическое тело соверпшет произвольное дви кение, то л == à — е уп и, = тг+ ах, х ' т где !»' и к' — проекции на оси Ох и Оу скорости точки О, неподвижно связанной с телом, а ы есть угловая скорость врапгения тела, по- этому г!» ау, ггх — '.= ~и —,.у) — — ~г + ) —, дв ла ' г!з ' откуда 1 ф == с»'у — 1'х — — ы (ха+ уз)+ с 2 г2.6) для бссконс шо капских точек и — = О, ф = соп51.
л» с!а !2.8) для точек контура. Заметим, что хотя указанные нами граничные условия находят свое главное применение прн изучении установившегося движения, но онн остаются в силе и для иеустановившегося потенциального течения. В этом случае в предыдушие формулы лишь войдет как параметр время !, от которого будут зависеть К )Г, ы, с. Задача об определении в некоторой области .О функции ф, удовлетворяющей уравнению Лапласа. по известным значениям функции ф на контуре области Р носит название задачи Ли)тихлв.
Мы видим таким образом, что определение плоского безвихревого движения несжимаемой жидкости, вызываемого движением ограничивающих область течения контуров, сводится к решению некоторой задачи Дирихле. При решении нашей гидродинамической задачи можно также отыскивать в первую очередь потенциал скорости ~р.
Он также должен удовлетворять в области течения уравнению Лапласа Ьт=б. Однако граничные условия на контуре примут для функции т другой вкд. По самому определению потенциала скорости нормальная проекшш пл скорости пр!шагающей к контуру частицы жидкости есть дт дл ' пз контуре тела. Если поступательный поток, скорость которого в бесконечно улалснных точках равна У и направлена вдоль оси Ох, обтекает неподвижное тело, то граничными условиями будут, очевидно: ф= — Оу -) с (2?) гялигпп|ые услощ|я.
злил'п! днпихле и нгпмлпл 241 и поэтому пограничное условие для функции у принимает вид д' —:=- сс, т дп (2,91 |де и„есть нормальная проекция скорости точки контура. В частное|и, в точках неподвижной грашщы мы получаем условие дт ~~ =О. (2.10) Задача об определении в некоторой области О функции у, удовлет,|оряющей уравнению Лапласа, по известным значениям нормальной производной фуш|ции ь на контуре области О, носит название задачи 11ейчана.
Таким образом наша гидромеханическая задача сводится к решению некоторой задачи Неймана. По функции,р можно определить функцию ф и обратно. Ясно поэтому, что задачу Неймана можно свести к задаче Дирихле н обратно. В самом деле, вспомнив условия Коши — Рвмана и приняв на время, в соответствии с рис. 88. направление нормали за направлеяне осп Ох, а направление касательной за направление оси Оу, сразу получим соотношения ду д~ ду дф дп дз ' дз дп Задание функции ф на контуре сразу определит нам значение нормальной производной потенциала скорости ду дэ дп дз и позволит перейти от задачи Дирихле к аадаче Неймана.
Обратно, имея задачу Неймана, т. е. зная на контуре значение д|у(дп, легко получим: |' д; ф = 1 — '- гй + сонэ!. дп 18 з к, |ые для любого контура, ограничивающего область течения, и перейдем таким образом к задаче Дирнхле.
В случае яшогосвязпой области, ограниченной й контурами, в прелыду|цей формуле появится свое значение аддитивной постоянной для каждого контура; по значение одной из этих аддитивных постоянных может бьыь выбрано произвольно, так как движение определяется величинами производных от функции ф. Таким образом появятся (е — 1 произвольных постоянных. Для определения последних должны быть заданы циркуляции скорости по Й вЂ” ! контурам, несводимьы| друг к лр|ту. Это вполне согласус|ся с высказанным в конце 8 18 главы 242 плоскля злдл ~л о движении гглл 1гл Ш первой замечанием о том, что безвихревое движение полностью определяется заданием дс(ди на контурах только при условии задания всех циклических постоянных, В качестве просчейшего примера рассмотрим задачу о безвихревом движении несжимаемой жидкости, заключенной в эллшпичсском цилиндре.
Пусть уравнение эллипса есть хг уг — + — =- 1, а' Ь' (2.1!) пусть его движение характеризуется проекциями (/ и И на оси координат скорости его центра и угловой скоростью вращения м. Тогда функция тока ф должна удовлетворять уравнению де д дед ,,'-', + — „, = о (2. 12) внутри эллипса (2.11) и граничному- условию ф= (гу — Их — — (хе+у )+сопя(. 2 (2.1 3) на самом эллипсе.
Ищем функцию ф в виде полинома второй степени ф = — Ах' (- Вху+ Суе+ Вх+ Еу+ Е. (А+ —",) з=( — А+-',,-":) Ь', А= — —, ", Таким образом искомое течение определяется функцией и ае — де ф = — ' (у' — ха)+ (ту — Их. — ч а2+ Ье (2.14) Для проекций скорости находим значения дф ат — Ьт ду а'+Ь' У+ до аг — Ьг дх аз -(- Ье и Ог= 1- (2.15) т дт Уравнение (2.12) приводит к соотношению А+С=О.
Из условия (2.13) мы получаем, что уравнение А (хз — у ) + Вху+ Вх+ Еу — (ту+ гх.+ — (хе+ уе) =- сопя(. 2 должно являться следствием (2.11). Отсюда вытекают соотношения двпжшпп. кгшового цнлипд> л ь з> откуда без труда получим, что а> — Ь> э= (гх+ Ггу+ м, +, ху. (2.1 6) В простейшем случае чисто поступательного движения цилиндра, когда м =(>, получим: (2.1 7) т. е. жидкость движется вместе с цилиндром как одно целое, В случае чистого вращения, когда (У.=Ъ'=О, имеем: гь а' — Ь' (т г) „2+ Ь> (2.
18) о = (У вЂ” ь>у; о = — 1" + е>х; в результате для проекц>гй относительной скорости получим: 2на'у 2эЬ'х гх а> + Ь> ' гу а> + Ь> (2.19) Траектории относительного движения могут быть получены путем интегрирования уравнений Лх 2на> Лу 2юЬ' ЛГ а' + Ь' У ' >П а> + Ь> и представляют эллипсы х> уг -„— + — — = сопз1., а' ьг подобные граничному эллипсу. Относительное движение не будет уже беввихревым. ф 3. Движение кругового цилиндра. Одним нз простейших случаев плоской залачи является задача о дан>кении кругового цилиндра в безграничной жидкости.
Берем плоскость Оху, перпендикулярную к образующим цилиндра, и помещаем начало координат в центр круга С, по которому плоскость Оху пересекает поверхность цилиндра. Радиус круга пусть равняется а. Мы приходим, очевидно, к плоской задаче определения бсзвихревого дан>кения вне круга С, возникающего при движении этого круга. Пусть цилиндр совершает поступательное движение, Лпн>ш тока абсолютного лвпжения суть гиперболы.
Подчеркнем, что полученные нами формулы опрелеляют абсолютное движение жидкости, но отнесенное к подвижным осям коорлпнат Оху Движение жидкости относительно этих полвижных осей координат определится, если мы из проскцнй абсолютной скорости (2.15) вычтем проекции переносной скорости: плоская задюы о движвнип талл 1гл, щ характеризуюшесся проекциями (I и Г скорости эгона движения на оси координат.
Тогда мнплгая часть комплексного погеициала чв = — и + Гф, являющегося аналитической функцией от г, лолжна удовлетворять, как было установлено в предыдущем пункте, на круге С услоюио ф '=- Уу — (гх + сопв1. (3.11 Проек|пш скорости о„ и о являются олнозначнылш функциямн от х и у, причем онп стремятся к нулю, когда точка Р уходит иа бесконечность, так как на бесконечности жидкость, по предположению, покоится.
Поэтому комплексная скорость аю -„-.— = пх — Гв является однозначной аналитической ф)нкцией от -. вне круга С, обращающейся в нуль в бесконечно удаленной топ и, Но тогда эта функция разлагаегся в ряд Лорана вида а' С Св С, —,-= — ' — + — в+ — + Ла а в (3.2) интегрируя это равенство и отбрасыяая несущественную аддитнвную постоянную, получим; и =С,!пз — — — — — -+ Сз 2а' Для определения коэффициентов С» нала отделить мнимую часть ф и сравнить ее значение на кру~е С с выражением (3,1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
