Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 36
Текст из файла (страница 36)
(21.29) 222 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЪНОИ ЖИДКОСТИ [ГЛ. т/ Вернемся теперь н системе (21.26). Мы имеем для нее первый инте. грал (21.21): 1 4 1 з Р = — 2Г4гз соз (Р! + Рз) + — Г! — — Г,гт сов (Зе4 — Рз)— 6 6 з 1 22 1 22 — — г,гт сов (Рт + Рз) — — г,гт — — г,гт сов 2 (Ев — тз) + + — г,гз сов (372 — Р!)+ — г,гз сов (т[+72)+ 6 гз-[-... (21.30) Заметим теперь, что вследствие уравнений (21.26) мы имеем для произвольного полинома Ф„степени и от пь и,, би 62 равенство дФп дФп дг~ дФ дгв дФп дт~ дФп т/тв дт дг, дт дг, дт де, дт др, дт = 2 ( — п — — и + 0(и+2) (21 31) / дФп дФп т дг,) где символом О (и) мы обозначаем совокупность членов степени ие ниже и отг, игв.
Напишем теперь первое из равенств (21.26) в виде 2 з 2 2 — = — 2г[гз яп (Р[+ ез)+Г4гт яп (2е[+ 272)+ + г,гз яп (74+ и ) — — г! в!и 4е! — г,гз Ип (Зт, — т ) + з . 4 3 + г~вг~~ яп (27, — 2Е )+ 0(б). (2! 32) Первые три члена справа являются отмеченными в (2!.29) интегралами системы (2!.27). Подберем теперь полипом Ф, так, чтобы было 4 з 2 2 дт / ' = 3 гз Яп 474+ гзгтып (Зтз — ет) — Г4Г2 Яп (2Е4 — 2ез)+0(б); (21,33) для этого достаточно, вследствие (21 31), удовлетворить уравнению /дФ4 дФ41 1 4 ., з . 2 2 ~ — — — /1 = — г! 2[п 4е + г',гз яп (Зе, — от) — гтгз в[п (2о, — 272); ~дрв др,) 3 решение этого последнего уравнения нзхотитсн без труда; им являетсн, например: Ф, = — г! сов 47[+ — гзгз сов (Зт! — Рз) — — гвгв сов (2е! — 2тз) = 4 22 4 ! 3 2 2.
3 = 24 (",-6.А+6,)+ 3 !.["2 3.!.ВЗ-,+3.42432 2462) — — !!а~! — 22!) (п~~ — 3~~) -' 4п424а2621. (21.34) Складывая равенства (21.32) и (21.33), получим; д(~+Ф) дт = — 2гз[гя яп (Р! —,' Ез)+гз[г2 2в!п (274+ 222)+г[гз зв!и (е[+ 72)+ 0(б) (2135) 223 ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 4 26 Точно так же мо4кно найти такой полинам $4, что окажется тт'(гз ~'; Ч' ) 22.. — = 2г4гз з!и (Т~ + 72) + гтгз з|п (274 + 272)— — г,гз э!и (у, + уз)+ 0 (6), (21.36) например, можно взять 94 = — 2- (аз — - 6«2~ 2+ (42) — 8 !«2«4 — 3«4«222+ 24 + 3«261~32 — 84~82) — 8 (а4 — 84) (ат — (тй) — -2- «4«28482. (21.37) Заметим теперь, что г,г« з!и (у, + 22) = «««2+ «28, и что вследствие (21.23) мы имеем: и («,8« + «2)!) 1 4 4 з 4 3 1 4 2 2 2 4 3 ! 3 4 2 2 2 = — — а + — а«2+ — аа -(- — а — ай + 2.2 1,4 4 т 4 з 1.4 1 4 ат)2 — —,'тт — — Р'8 — — у 6 +.
2 й + 0(6) = — — г + 2' 3 42 3 42 2 2 2 з з 1 + — г,гт соз (Зу, — ут) + г,г, соз (у, + 22) + — г,гз соз (Зуз — у,)+ з + г,гз соэ (у, + 72) + — гз+ 0 (6). Нетрудно найти полипом йм удовлетворяющий условию 4294 1 з ' = — — г',г соз (3«4 — у ) — — г,гз соя (372 — у,)+ 0(6)! таким полиномом является, например: 94 — — — гтгт э!и («ут — 72) — — г, гз Яп (372 — 24) = = ((42 — а,) ( —, «432 — — «284 + (84 — «2) ( — «182 — — «284), (21.38) поэтому ( ~ «+а«3~+144) ! 4 3 = — — г4 + г4гз соэ (е + «2) + + г4гзз соя (у, +у)+ — г42+ 0(6).
(21.39) Пусть теперь начальныс значения аь аь Зь 82 обращают функцию Р в нуль; так как эта функция есть интеграл сйстемы (21.26), то во все время лвижения мы будем иметь равенство Р=О (21АО) и, следователы4о, в силу (21.30) г,гз соя (е, + у«) = 0 (4). Поэтому равенство (21.39) может быть упрощено; Вычтем равенство (21.36) из (21.35). 3 (г, — гт+ Фч — % 4) = — гтгт яв (Е2 + уа) — г,гт а(и (ут + уа) + О (б).
Положим, наконец: У (гт га + Ф4 р4) (е232 г е231 + 04) (21 41) тогда вследствие двух предыдущих равенств окажется — = — (г, + гт) г2гч ашт (у2 + 22) + — (г1 — т'2) (гт — г2) + О (8). 2 -' 22. 2, 1 2 2 4 4 Г1рибавив к правой части функцию — (г~~+ гт) гтг22 соз' (у + у ) = О (1О), получим окончательно; — = — 2 (г, + гт)(гт+ гт)+ О (3). т(У 1 2 ~ 2 4 4 (21.42) Отсюда ясно, что мы будем иметь неравенство 4 ('~ '2) ('1+ га) 31' 1 2 2 4 4 (21.43) при всех достаточно малых значениях г, н г,, например, в некоторой области гт+ гала. (21.44) Покан:ем теперь, что можно выбрать сколь угодно малые начальные значения аь з„~т, '"., так, что в дальнейщем днижении величина а,+42+3,+р =г, +г 2 превзойдет нонечнос значение л'.
1(ля етого достаточно взять сколь угодно малые начальные значениЯ аь ат, 3ь и„ УДовлетвоРЯюЩие УРавненвю (2!.40) и неравенству У<0, что, очевидно, всегда можно сделать. Начальное значение функции У обо- значим через Уч. Покажем теперь, что предполотксиие о том, что величина (21.45) никогда не превзойдет значения аа, приводит к противоречию. В самом деле, пусть во все время движения выполняется неравенство (21.44), тогда имеет место (21.43) и, в частности: — <О, Ет функция У убывает и, следовзтельно, во все время движения У< Уа.
Но тогда во все время движения будет г,"+ г22 )~ Ьт, где 6 — некоторое положительное число, и так как 224 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЕ ЖИДКОСТИ (гл. в СХЕМА КАРМАНА ДВН'КЕН11Я ТЕЛА 225 4 эя ш нз (21АЗ) выводим: ар 1 — < — — Ьэ т.
е. )г < Рэ — — Ьэт, 1 Д; 8 ' ' ' э 8 тзк что И неограниченно растет по модулю. Но это противоречит тану, что поливом Тг должен оставаться в области (21,44) ограниченным по модулю. Итак, можно задать такие сколь угодно малые смещения вихрей, что в дальнейшем движении вихри разойдутся на конечную величину. Это доказывает неустойчивость вихревых цепочек Кармана н в исключительном случае выполнения условия (2!.9). Это последнее условие сохраняет, однако, до некоторой степени свое значение, так как оно характеризует те расположения вихрей, которые обладаю~ панменьп1ей неустойчнвостью по сравнению со всеми другими расположениями вихрей.
й 22, Схема Кйрмана движения тела в жидкости с образованием вихрей. Пусть тело, имеюшее форму бесконечного цилиндра с образуюшими, перпендикулярными плоскости Оху, л д' 11 ю' движется в плоскопараллельном потоке жидкости парад- )а, р лельно оси Ох з огрица- 1и ! 0 ) х тельном направлении со ско- , '.г -Ч ростью )г. Контур сечении цилиндра плоскостью Оху обозначим через С (рис. 85). Проведем еше плоскость, па- рне. 85. раллельную плоскости Оху, на расстоянии единицы длины от нее. В дальнейшем лэы будем рассматривать движение жидкости между этими двумя плоскос1ячи. Лопустим теперь, что при движении тела за ним образуется пара цепочек вихрей, расположенных в шахматном 1 порядке, и допустим, что на больших расстояниях от тела за ним течение жидкости такое, ка- А~~~ ц 1ф1 кое происходило бы от двух бесконечно длннньэх цепочек вихрей, рассмотренных в пре- 1 дыдушнх параграфах (рис.
86); на больших же расстояниях от Рнс. 86, тела перед ними мы предположим жидкость покоящейся. При таких условиях можно вычислить сопротивление, испытываемое телом при его движении. Обозначим через и скорость, с которой будут перемешатьсн расположенные в шахматгюм порядке вихри. В 8 20 мы виделн 15 заэ. 11вэ Бпхн<.ныи двн кшн<я н<п л'<шик< ж<<дк<'еж< <<л ч [формула <20А)), что эта скорость равна Г -,.Д и= — -И<— 2Г (22А<) где à — абсолютная величина интенсивности вихрей (остальные обозначения — -прежние).
Мы примем, как показано на рнс. 86, циркуляцию верхних вихрей отрицательной, т. е. равной — Г, циркуляцию нижних — положителы<ой, т. е, оавной + Г. Тогда вихри будут перемещаться со скоростью и в направлении отрицательной оси Ох. Введем в рассмотрение подвил<ную систему координат Охуч перемещающуюся вместе с вихрями со скоростью и, так что вихри относительно этой системы остаются неподви<кными. Цили«др в системе Оху будет перемещаться со скоростью ~' — и параллельно оси Ок в отрицательном направлении. Легко определить тот промежуток времени Т, за который тело передвинется относительно осей Оху на отрезок Е очевидно, (22.2) Отметим, что в два момента времени т и; + Т картина движения жидкости будет совершенно одинаковой; единственная разница будет состоять в том, что в момент т + Т между те.зол< и началом координат подвижной системы Оху будет на одну пару вихрей больше, чем в момент т.
При движении тела в жидкости оно будет испытывать сопротивление со стороны последнеИ. Нас будет интересовать только лобовое сопротивление, т. е, составляющая силы сопротивления по оси Ох. Обозначим величину лобового сопротивления через )Уг и поставим себе задачу вычислить среднее значение лобового сопротивления за период Т. В основу вычисления положим закон количеств движения: приращение за некоторый промежуток времени проекции количества движения системы точек на какую-либо ось равно сумме проекций на ту же ось импульсов всех внешних сил, действовавших па систему, за тот же промежуток времени. За рассматриваемую систему точек мы возьмем обьем жидкости, ограниченный в момент т контуром АВСО и контуром тела. При этом уравнения прямых АО и ВС суть у=- '- 'д, где 4 мы считаем очень большим (в дальнейшем мы устремим 4 к бесконечностк); уравнения прямых АВ и СО суть х=- — ге и х = 1н причем опять-таки ~< и ч, считаются очень большими.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
