Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. В ту, откуда направление обхода по вихревой нити Е кажетса совергцаюшимся против часовой стрелки (система координат правая). Чгобы найти выражение для потенциала Ф. преобразуем формулу 112.2), Прежде всего мы имеем формулы !90 ВихРеВые дВи'кения иделльной жидкоснг 1гл. Хг В нашем случае следовательно, При преобразованиях мы воспользовались ~ождеством —,, ( —,)+ —,"„, ( —,')+ —,'„( —,) =о и первой пз формул (1'2.5). Итак, вынося еше за знак интеграла дифференцирование по х полечим: о = — — — / ! — Х( — )сов(л,;)+ и -+ д ( — )сов(л, тг)+ д, ( — )сов(л, ")|гЮ пли '(-,') о = — — — — ! — <Ю.
вк дх,/ дл Выражение д( — ) l д Рис. 68 в имеет очень простой геометрический смысл. В самом деле, из рис. 68 видно, что д (-) 1) г'/ 1 дг 1 " сова г дл если вектор г направлен от точки М поверхности о' к точке Лг(х, у, «), дг . Дг пбо — =1ип — — = — сова. Но если обозна игть через ду телесный дл ' ал угол, под которым видна плошадка с(Я из точки г'г, то будем имет~: 45 сов в г'у .г (1'2.
6) случаи одной вихиезои ннтн В самом деле, проведем из точки И, как из центра, сферу радиуса г (рнс. 69). Подобно тому, как угол измеряется в радианах огношеннем длины дуги к радиусу, телесный угол г(у измеряется отношением площади элемента сферы г(5, ь квадрату радиуса г', т. е. л5, г)/ = — а-.. га По очевидно, что г)5, =-.
г)5 соь я, поэтому лг и получается формула (12.6). Отметим, что если угол и тупой, то г(у получается отрицагельньш; по ясно, что угол и оудет острым, и. слсдовагельно, г)Е положительным в том с ~учае, когда нз точки Л видна ноложитель- Рис. 69 н,,я сгорона элемента И5; в том же случае, когда из точки И анапа огрццательная сторона этого элемента. угол а б) ает туным, а элемент г!у отрицательным. Следовательно, знак г)у ноказываст, шщца лн из точки И положительная алн о~ршгательная счооонз элемента г)5.
Итак, г ] л ! --, .)5 = — — ~ --'-'-. -':. =- / «'," ==. у, Р бл 4-,. д.г ' щылог» щые фоччулы пол)чзются для ж, и о: р )х гй, ж ж Х 4е дх' ' 4в дг' Мы нолучаем окончательно следующий результат: р / Г о=- — — таг) й = .шд ! — — ~, (! 2.7) гак что, действительно, мы имеем потенциал скорости ф— 1'Х 4в ' (1 2.8) Этот потенциал многозначен; если мы заставим точку И обойти вокруг вихревой нити, то он изменится на Г.
В этом нетрудно убетнться. прослеживая изменение у при указанном обходе точки И. ыщ 2 есть телесный угол, нод когорым годна нз точки И поверх.,осы, 5, натянутая на контур Е, иными слозамн, телесный )тол, нод ко~орым нз точка И виден ко,мур Е. Поэтому для жл нолучаен '; ~дмглу 192 вихгкв!яе движен!!я идзлльнон ж!!лкости .'гл у Впрочем, это можно было определить заранее, ибо циркуляция скорости по контуру, охватывающему вихревую нить, должна равняться интенсивности охватываемого вяхря Г, а эта циркулщия дает как раз приращение потенциала при упомянутом обходе.
ф 13. Прямолинейная вихревая нить. Формулы (12.3) упрощаются для случая, когда рассматриваемая нить прямолинейна. П>сть нить будет параллельна оси Ол; координаты точек нити по-прежнему обозначаем через (1, т„г); дз — элемент дуги нити. Тогда вдоль вихревой нити 7=О, формулы (!2.3) дают: Г г 4я ! Гз (так как из .:=- г("-.), о, = О. т чч .l гз Произведя интегрирование, в котором 1, то х, у, г рассматриваются как постоянные (например, полагая х — ( ч р с!д и), получим: о =- — — —; о = — —; о,:=О, (!3.1) Г у — Ч Г х — ! где ре:=- (х — '=)е+(у —.)е Таким образом, мы видим, что движение происходит одинаково во всех плоскостях, параллельных плоскости Оху, так как скорости не зависят от координаты г, а "; и л одинаковы для всех точек вихревой нити.
Поэтому достаточно рассматривать движение на плоскости Оху, причем рассматривать вместо вихревой нити точку пересечения ее с плоскостью Оху. Вудсы называть эту точку точечны.а вихрем. Из формул (13.!) выводим, что иод влияииет! олного точечного вихря частицы жидкости движутся по окружностям, центром которых является вихрь, со скоростями, обратно пропорциональными расстоянию движущейся точки от вихря: Г 1 о= —— 2х р При этом положительным Г отвечает движение по окружности против часовой стрелки, озрицательным — по часовой стрелке.
193 ДВЕ ПРЯМОЛИНСПНЫЕ ВИХРЕВЫЕ НИТИ $ и! Вследствнс снмметрнн движения жндкостн около точечного вихря очевпдно, что внхрь будет оставаться неподвижным. Как было показано в главе четвертой. движение можно исследовать с помощью функцнй комплексного переменного г = х + уй составляя комплексную скорость Г у — ч+т(х — 1) Г (г — го) Г 1 о — !и г 2л Р 2ж (г — а) (г — га) 2Ы г — гч где положено: гз=(+(т), а= х — (у, аз=-": — (л. 1' Вводя комплексный потенциал тв= —.!И(г — г), имеем: 2Ы о Напомним, что à — ннтенснвность вихря — может вместе с тем быть рассматриваема как циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, окружающему точку гз.
$14. Две прямолинейные вихревые нити. Движение системы вихрей. Пусть имеем две параллельные прямолинейные вихревые нити. Как н в предыдущем случае, можно рассматривать движение в одной нз плоскостей, перпенднкулярных к нитям. Примем зту плоскость за плоскость комплексного переменного г. Пусть интенсивностн точечных вихрей г, н гз, получающнхся в пересечении нитей с плоскостью Оху, будут Г, н Г. Комплексный потенциал будет равен сумме потенциалов, соответствующих каждому вихрю, т. е. тв = —,. 1и (г — г )+ —. !п(г — гт), Г, Г 2ы 2я! комплексная скорость: гйг Г~ 1 Гт 1 х ~у аг 2я! г — г, 2ш' г — га ч'г так как о — (о = —, то можно написать следующее днфферену Йг цнальное уравнение: Лг Г, Г, чт 2и' (г — гй 2вг (г — г,) Исследуем перемещение вихрей в жидкости. Вихрь в точке г перемещается только под влняннем другого вихря, так как отдельный вихрь не перемещается (внхрь сам на себя не действует).
Именно первый вихрь будет вращаться вокруг второго по окружности, точно так же как второй вихрь будет вращаться вокруг первого, причем расстояние между вихрями будет оставаться постоянным 1а змь цю 194 ВихРеВые движения идеАльнОЙ жидкОсти !гл. ч во все время движения. Для доказательства этих почти очевидных утверждений составим дифференциальные уравнения движения вихрей г, н в2. Чтобы получить скорость первого вихря, в выражении комплексной скорости — отбросим первое слагаемое и положим во втоит ром я = ео Получим: йхд Г г11 2В1 (х, — х2) ' Точно так же йе2 Г1 2гд(х» — г,) ' Отделяя в этих уравнениях вещественные и мнимые части, приходим к такой системе дифференциальных уравнений: !) — = — —, 12 У~ У2 иг 2г.
г' з> ","„' = " 4 У» 1'! х! — х2 иг 2: г2 (14.1) 2) — = —, иу, Г,х,— х, иг 2, г» где г =(х1 Х2) +(У2 У2) . Прежде всего, умножая первое уравнение на Ги третье — на Гз и складывая их, найдем; à — + Гт — = О, откуда Г,х, +Г х2 = сопз!.
и'х, ггх2 1иг 2иг Г, — +Г2 — — — О, откуда Г,у, +Гзуз= сопз!. иу1 иу2 йг иг Наиденные интегралы можно переписать, разделив их на сумму Г,» Г;. Г,х, + Г,х, Г,У,-1- Г,У, = сопз!.. Г Г = сопз!. В последней форме имеем так называемые «интегралы двиокения центра инерции» системы двух вихрей. Они показывают, что точка 11У~ + 12У» Г,»-Г,2 Г,х, + Г,хе х.= Г,+Г, которую назовем централ инерции вихрей, остается неподвижной во все время движения. Аналогичным путем, умножая второе уравнение на Ги четвертое — на Г2 и складывая, найдем: ДВВ ИРямолинеиные ВихРеВые нити 190 4 м! Далее преобразуем систему уравнений (14.1) следующим образом: вычтем из первого уравнения третье, а из второго четвертое.
Получим: л(х!-х,) г,+г, у,— у, л(у! — ут) г,+г, х,-х, !(Г 2я »2 лт 2я га Умножим первое из этих уравнений на х, — хм второе на у, — уа и сложим: а'(х, — »а) л(у — у!) (х! хэ) лг ' +(у,— у,) лт = О. Интегрирование этого уравнения дает: (х, — хз)т+(у, — у,)' = сопз1., или г = сопз1. гг, получаем: аз — а! = сопв1. = (.
Тогда и ле — я! =(, т. е. л»1 л»! г, г!г ЛГ Лт 2яй 2я( ' Отделяя вещественную часть от мнимой, найдем: г, и!» — пз» вЂ” О, огт — т!ет — 2 Г Следовательно, вихри перемещаются пзраллельио оси Оу. Рассмотрим теперь более общий случай, когда мы имеем систему л точечных вихРей, Расположенных в точках Вп Яа, ..., Вв н имеющих 1Зв Таким образом, видим, что расстояние между двумя вихрями остается постоянным. Сопоставляя этот результат с предыдущим о сохранении центра инерции вихрей. приходим к заключению, что два вихря вращаются вокруг центра инерции с сохранением расстояния между ними. гг. ! 1з ! В частном случае, когда Г, = — Гм т. е.
когда вихри имеют одинаковую интенсивность, но противоположное вращение, центр инерции находится на в бесконечности, так как знаменатель Рис. 70. Г, +Г, = О. Покажем, что вихри будут двигаться поступательно с постоянной скоростью, перпендикулярной к прямой, соединяющей вихри (рис. 70). В самом деле, пусть в начальный момент вихри были на оси Ох на расстоянии ( друг от друга. Тогда из уравнений движения, которые теперь имеют внд: л»! Л»е 1, ЛГ ЛГ 2гп (»! — »т) ' 1Эб ВихРБВые движения идеальноп жидкости !гл. ч а для номплексной скорости получается выражение лсл с~ г, Ф вЂ” со '= — = 7 лг Ла 2ис г — г~ ' ь=! (! 4.3) Движение вихрей будет определяться уравнениями л и , ~з г, лсс 2ис 1=1 (14.4) где штрих покааывает, что при суммировании пропускается член, соответствующий значению й=1.
Из этих уравнений нетрудно вывести несколько простых следствий. Умножая уравнения системы (14.4) на Г, и суммируя по 1 от 1 до и, легко убедимся, что в правой част!1 все члены взаимно сократятся, и мы получим, что откуда с !едует, что ~ Гсг, = сопя!., 1=1 т. е. ~ч~', 1',х =-сопя!., ~ Г у =сопя!. с=! 1=1 (!4.5) Если ~ Г, + О, то полученные интегралы можем переписать в виде 1=! «интеграс!ов движения центра инерциисы и и ~гх ч;г,у, = сопз1., '=' = сопя!. с чр гс с-! 1-1 Точно так же, умножая уравнения системы (14.4) на Гсгс и суммируя по значку ! от 1 до и, мы легко получим равенство и '~~ Г,, ";,' =,',. У Г„ГР 1 1 алас интенсивности Гм Гт, ..., Ги. В этом случае комплексный потенциал имеет вид л тв(г)=,гс 2 !п(е — гь), Ът гь (1 4.2) а-1 КРУГОВАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ 197 разделяя вещественную и мнимую части, находим: 1-1 1-1 «+с 1! 4.6) Второе из этих равенств показывает, что сумма моментов количеств движения масс Г, относительно начала координат не меняется с течением времени.
Первое же из этих равенств может быть переписано так: л чьл — ~~и Г, (х', + у',) = О, откуда следует, что л« Наконец, умножая уравнения системы 114.4) на Г,— „! и суммируя по 1, мы придем к равенству 1=1 «ч«1 1 « «+1 отделяя в котором мнимые части, получаем: л' \з О= лт «та Г«Г1!п г«1, «~~ где г«, есть расстояние между вихрями в«и г1.
Производя интегрирование, получаем еще один интеграл системы 114.4)1 ~~'., Г«Г, !п г, = сопз1. «+1 !14.8) ф 18, Круговая вихревая нить. В качестве простейшего примера криволинейной вихревой нити рассмотрим круговую вихревую нить радиуса а, лежащую в плоскости ху, центр которой находится в начале координат и интенсивность которой равна Г. Движение во всех плоскостях, проходящих через ось Ог, будет, очевидно, совершенно одинаковым и поэтому удобно пользоваться цилиндрическими координатами в, р, 9, где х = р соз 9, у = р з!и 9 ° л ~ Г,(х'+уз) = сопз1., 11 4.7) 1.=1 т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
