Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Ж Вг (9.8) '!'аким образом, помимо образования вихрей в силу пересечения изобзрических и изостерических поверхностей, мы будем иметь еше ооразовапие вихрей, происходяшее в силу измеиеиия плошади, огра>ишеиной проекцией какого-либо жидкого контура на плоскость экватора.
В качестве примерз рассмотрим опять пассаты и аптипассаты. Возь>юм за контур (. кривую, лежащую в нижних слоях атмосферы и охватыьаю>цую вс>о землю в виде парзллели; за положительное иаправлеиие обхода по этой кривой примем направление от запада иа восток. Бла>.одаря пассатным ветрам эта кривая, состояшая из жидких частиц, будет расширяться, следовательно, площадь В' будет увеличиваться и. зпашп, по формуле (9.8) циркуляция по кривой 1.
будет уменьшат ся; это означает, что появляется востоп>ая составляющая ветра, т. е. в пассатах будут дуть ветрь> от северо-востока. Аналою>чпо этому, в аитипассатах должны иметь место юго-западные ветры. Лиагюгичиые изменения претерпевает движеиие воздуха в циклонах. Если взять за кривую (. окружность, которая расположсиа в нижних слоях воздуха и центр которой лежит в нагретой облас~и, и за положительное направление втой окружности — направление, противоположное направлению движения часовой стрелки, то плошадь В', ограиичеиную проекцией этой кривой на плоскость экватора, мы должны считать положительной (предполагаем, что речь чтет о циклоне в северном полушарии). Но, как было выяснено выше, так как ю и г(Р'/п>Г имеют либо то же самое направление, либо как раз противоположное.
Итак: Вихневые движения иделльиоп жидкости 172 и'л и в нижних слоях циклона частицы воздуха продвигаются к центру, и поэтому контур Е стягивается, плошадь Е' уменьшается, а следовательно, циркуляция по нему увеличивается, что может быть только, если появляется составляющая ветра, направленная вдоль по контуру против стрелки часов. Итак, в циклоне внизу возлух течет нс прямо к центру его, а отклоняется вправо.
Изложим еще вывод одной формулы Эртеля (Н. Ег!е1)'1, обобщающий теорему Вьеркнеса. Перепишем (9.4) в виде де ое 1 — -+- пгад —, —. тг Х го! о =- — пгад Ж'+ 2о Х ы . — етад р. (9. 9) дг 2 ь ч Обьединим члены, содержащие го!о и ы, и введем «абсолютныи вихрь» за' по формуле го! о — 1- 2ы = — Я'.
19.10) Уды получим тогда: да г ., 1 — +«гад — — о Х Я' =- — угад Ж' —. угад р, 2 или, если применить к обеим частям этого равенства операцию го! ды и вспотпигзгь что — = О, то дг дга' 1 — — — го! (о Х Я ) = —, Егад р Х ргеи! уе дт !о.! !) !!усть теперь ф есть какая-то функция поля. Умножим скалярно обе части предыдущего равенства на дгад б. Получим: да 1 ~гад ф — „— егад ф го((п Х 1«') .= -е ьгад ф - (((гад р Х дгад р).
(9.12) Но по известной формуле д!Е(а ХЬ)=-Ь го!а — аго!Ь, лгы имеем (го! ассад ф = О) д1Е (Егадф Х (о Х й')) == — дгад ф го!(о Х 1«'), таь что ( гад ф — + с!!ч (и!ад ф Х (о Х Я')) == дй' дг 1 =- —, егад ф ° егад р Х и!ад р. (9.13) ') ег ! е! н., е~п лепет иудгодупавиесиег %!гьеыагг, !Де!еого!. еыс! г., 1942, сгр. 277 †2. ияимьпы овялзования вихяе!т С лруго» стороны, по формуле а Х (Ь Х.с) —.
Ьа с — са . Ь имеем: ! гак как г!!и!л' =- 0). Заметим теперь, что ггф о Кгабф= —" — — ' ггг дг гак что 8гад (о . игзг( ф) ..=- Кгад — — игад — '.. ч'р др лг ' г!г (9. 15) Комбинируя (9.14) и (9.15), запишем (9.13) в виде -- (пгаг! ф Я')+ 8тад ф 2' г(!т о+ о ггаг! (8тас! ф Я')— гГР 1 — 2' и!ад — '- = —; агап ф . (Кгаг! р Х игай р).
(9.16) Об.ьединяя первый и третий члены предыдущего равенства, получим: гг! — (игаг! ф я') — ал' ьгас( — И+ и!ад ф я'д!ъ о =- 'ь лг ! = — с габ ф (8таг( р Х игзг( р). (9.17) Заметим, что из (9.17) можно как частный случай получить формулу (6.3) из 9 6. Для этого достаточно будет положить по очереди ,'~==- х. ф = — у, ф =..= ж Действительно, положив!, например, ф = х; так как тогда — == — т'-о. тф=-о., мы потучим вместо (9.17) проекпню ггг дг на ось х у(азнеюгя (6.3). Продолжим преобразование формулы (9.! 7). Используем уравнение ! ыа неразрывности, в силу которого г(!то ==- — — — ', разделим обе части а нг !9.17) на р н соберсм члены.
Получим: и 1,,1 1,,ГР дг ..) —. пгаг( ф г!'! — — У' игаг( — = — 8таг( ф пгаг! р Х кга0 — . (9.18'. Э1о — формула Эртеля. Если в качестве ф взять функцию, зависящую лишь от р н р, например энтропию, то правая часть (9.18) обратится в нуль. Особенно простой вид примет (9.18), если о, кроме того, сохраняется 3!е(6тап Ф Х (о Х гм!!-- .= г((коигаг(ф Я' -1- о пгас!(игад ф Я'! — й' игаг((тг цгзг(ф) (9.14! вихгпвгяг движщзня идглльиои жидкостаг 1гл. ч в частице, так что г(ф/агу=0. Таким свойством будет, в частности, обладать энтропия прн адиабатическом дэнн енин (гл. 11, 0 11), 6 метеорологии часто вводят так называемую «потенциальную температуру» 0 из равенства .-1 О=т(~) ", (9. 19) где т — отношение теплоемкостей, Р— постоянное давление, рава мое 1000 лгб ~Р= 10а — 1.
Так как по закону )(лапейроиа слагала) ' .-г -г ! р /Рз, Р,. р (гл. 11, (11.6)) 0 = р 1 — ~ " =-- "' — ", то 0 зависит лишь от р ир; = Яг(РУ' =Р с дру~ой стороны, в аднабатическом движении будет (гл. П, (11,8)): а)0/гВ = О, так что на основе (9.!8) можно для адиабатического двигкеция написать: — ! — втаб 0 ° (О-+ 2ю)~.—. О. д г1 дг ~ а (9.20) Я 1О.
Упражнения. 1. Найти кннемазическое условие сохраняемостн линий тока, т. е, условие, при котором >кндкие частицы, составляющие линию тока в определенный момент времени, будут в любой момент времени образовывать линию тока, Решение. Легко впдетгч что искомым условием являе~ся иеизменпосаь линии тона в пространстве. В самом деле, частицы каждои линни тока перемещаются вдоль се самой и, следовательно, в бесконечно близкий люмент времени образуют ту же самую лпппю тока.
Но вследствие предположения о сохранении линии тока указанные частицы жидкости образуют новую линию тока, следовательно, новая линия тока совпадает со старой, т. е. казадая линия тока остается неизменной в пространстве. Аналапическим выражением этого )словия явлнются, о~евидно, формулы сы=У(х у л Птга са =У(х у г Опта в =У(х у - Опга где и„= (ох),, и т. Л., так как направление скоросща в каждой точке пространства осгается ьаеизмснным н может меняться только величина скороспч что и учитывается функцией г (х, у, г, г).
В частностщ поставленному условию удовлетворяет установившееся движение. В этом случае у(л . у, :, г) = 1. 2. Пусть на идеальную з.идкостгч плотность которой ссть функция давления, действуют силы, зависящие от потенциала. Найти, при каком условии вихрь скорости во всех ~очках и в любои момент времени имеет то иге направление, что и вектор скоросюь Региеиие. Высказзнное условие равносильно условию, чтобы вихревые лиапиа совпадалп с линиями тока. Но вихревые линни обладают свойством сохраиенпя.
Тогда, по предыгб щей залаче, линии тока должны оставаться нснзиеннычп в пространства, значит н вихревые линии и вихревые трубки будут оставаться неизменнымн в пространстве, Так как интенсивность викревых трубок не меняется с течеьн~еаг времени, то и величина вихря должна быть постоянной. Итак, вихри не меняются с геченпем времени. Кроме того, в начальный лаомент времени вихревые линии долакны совпадать с линнами тока. Оббзначила чеРез ва начальнЫй вектоР сьоРоспч тогда и = У, (х, у, х, Г) ва, (1 = П =/ (х, у, л) п . апшлжнг:ния Так как () = го! и = го! (Ле,) = Л го! е, + я!ай Л Х ео — — Лт)в+ асад Л Х ев Л!)в+ЯгабЛ Хев —— Йв ити ИгабЛ Хво = (! Л) !)о а ю! то Слева стоит вектор, перпендикулярный к в„ а справа — вектор, параллельный ов, значпг, оба ати векторз должны равняться нулю: (1 — Л) П =- О.
Значит, нли !зв = О, т. е, !! =-О, что отвечает случаю безвпхревого движения. или Л = 1, е = е„, т. е. движение стационарное, причем должно быть выполнено соотношение 0 = го!в=у(х, у, е) = щ 3. Проверить, что в движении, определяемом формулами ех = — Ку; е, = Кх; о =. )П'(х) — 2К'(х'+ уг), вихрь имеет то же направление, что н вектор скорости, и вычислит!к во сколько раз вихрь превосходит вектор скорости. Здесь Ф (х) обозначает какую-либо функцию от х. Отвея. 2К () = ==.=.— =- и.
!' Ф (х) — 2К' (х'+ у') 4. Показать, что если силы, действующие на жндкосгь, имеют потеиппал (г, плотность есть функция давления и Н = Р+ -,у ел+ (г =- У(!), 1!а катилин линии гока вследствие стациопарпости движения по теореме Бернулли (й 1 главы четвертои) Н = Р+ — и'+ (г =.= сопя!., 2 ио на верхнем уровне Р = — (гдс р, — внешнее давление), !г = О, е = О Ра (если сост! очень ишрокии, так как тогда поста!очно подбавлять воду с очень малой скоростью). Значит, Н=— рв р во всей массе жидкости, з следовательно, по задаче 4 вихревые линии совпадают с линиями тока. Докажем еще и атом случае, что на каждой линии гока отношение П: и остается постоянным. В самон деле, если взять бесконечно л!алую вихревую трубку и обознач!пь площадь поперечного сечения то нихревые л|пшн совпадают с линнякш тока.
5. Прпмешпь рсзулыат прсдыдущси зада ш к установившемуся вытекапню воды пз широкого сосуда, н котором уровень воды все время поддеркгивзегся постоя:шым. Решение. Направим ось О верши,альпо вш!з и начало координат поместим в плоскости уровня воды. Тогда р )г= — нх, Р=' —. 1тб нию евые движетп!и иделлънои жидкости (гл. тг ее через а, то вдоль этой трубки остаются постояииыин как 2«(интенсивность вихревой трубки), так и о«(обьеи жидкости, протекающей через лгобое поперечное сечение трубки в единицу времени). Значит, и отношение й«го« =-.(11'в вдоль всей трубки имеет одно и то же значение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
