Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 23
Текст из файла (страница 23)
б, Найти комплексный потеицйал и уравнение линий тока в полярных координатах для движения жидкости в квадранте, ограниченном осями коордикат х и у, если известно, что в точке е = 1 + 1 находится источник интенсивности т, в точке е = 0 в сток той же интенсивности т. Найти еще величину скорости о, в точке х = 1. Уназание. На основании предыдущей задачи отражаем систему источников сначала от оси Ох, после чего всю систему источников отражаем от оси Оу.
т ! 41 йт Ответ. те = — [п !т1+ — у1, Мп 40 = с (г'+ 4 соз 40), и, = — — . б 6. Найти функцию тока для движения в верхней полуплоскости, ограниченной стенкой, идущей вдоль оси Ох, если известно, что в точке л = ( находится дублет интенсивности т, имеющий направление положительной оси Ох. Показать, что та же функция определяет движение жидкости внутри некоторого полукруга. Указание.
Воспользоваться задзчей 4. т (г' — 1) г э!и 0 т (х'+ у' — 1) у я (г'+ 2г' сов 20+ 1) ч [(хт+ у')2+ 2 (хз — у')+ 1[ ' 7. Лаио движение, определяемое комплексным потенциалом ю = (1 + 1) ! и (ет — 1) + (2 — 3!) 1п (ее + 4) + — . Найти, какой объем жидкости протекает через окружность хэ+ ут = 9 и чему равна циркуляция скоросэи Г по этой окружности. Ответ. (г = 12х, Г = 8е. ГЛАВА ПЯТАЯ ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВИХРЕЙ И ТЕОРЕМЫ ГЕЛЬМГОЛЬЦА О СОХРАНЕНИИ ВИХРЕЙ В !. Введение. В главе четвертой был рассмотрен ряд таких движений идеальной жидкости, в которых существовал потенциал скорости о, так что вектор скорости о, представлялся в виде градиента этой функции: о = ата»1 ч» или дт ду дт (1.1) эти движения идеальной жидкости называются движениями с потенниилол» скорости или безвихревыми движениями жидкости.
Последнее название объясняется тем обстоятельством, что для движений с потенциалом скорости вихрь скорости обращается в нуль. В самом деле, вихрь скорости ьг = тоти есть вектор, составляющие которого определяются формулами: до» дог до» до» доу до» и обращаются в нуль в случае выполнения условий (1.1); например, для составляющей вихря скорости по оси Ох имеем: Итак, если о=ига»1»у, то Н = го1 о = О. (1.3) Вообще для любой функция о всегда будет (1.4) гог яга»г о = О.
145 Введения Отметим, что, обратно, из условия (1.3) вытекают уравнения (1.1). как показывается в векторном исчислении. Таким образом, в безви- хревом движении наверное существует потенциал скорости. Задачей этой главы является рассмотрение таких движений идеаль- ной жидкости, в которых вектор Я вЂ” вихрь вектора скорости — отли- чен от нуля, по крайней мере, в некоторой части рассматриваемой жидкости.
Такие движения мы будем называть вихревыми движе- ниями жидкости, Вихревые движения жидкости могут быть обнаружены при самом элементарном наблюдении. Таково, например, движение воды реки в тех местах, где она обтекает бьии моста: за последнимн обнаружи- ваются ясно видимые вихревые области. При лвиженин какого-нибудь тела в жидкости, например корабля. за ним также образуются вихри. На образование этих вихрей нужно затратить некоторую энергию; очевидно, что зта энергия получается за счет энергии тела, кото- рое, таким образом, должно преодолевать некоторое сопротивление жнлкости. Это сопротивление, вызываемое образованием вихрей, можно назвать вихревым сопротивлением.
Биклоны и антициклоны, обусловливающие до некоторой степени погоду тех мест земан, над которыми они находятся, рассматриваемые с аидродщаамической точки зрения, тоже представляют собой вихревые образования; еще более резкой формой вихревых образований в атмосфере являются смерчи. Кинематика вихревых движений была отчасти рассмотрена в главе первой.
Вспомним некоторые определения и результаты этой главы. При рассмотрении движения частицы жидкости в й 1 главы пер- вой было выяснено, что это движение можно разложить на трп части: поступательное движение частицы, деформацию частицы и вращение частицы. Вихрь вектора скорости определяет именно вращение частицы. Если бы частица жидкости была твердои н вращалась с угловой скоростью еа, то г вихрь скорости Й был бы вдвое больше еа и Ца~ЕД .л АД имел бы то же направление, что вектор угловой ! скорости ю.
Итак, вихрь скорости.11 харантеl ризует вращение отдельных частицжидкости, ~ ен.таьм а не их посту. нательное движение, Можно представить себе такое движение жидкости, Ряс, об. в котором каждая частица жидкости будет двигаться только поступательно, так что это движение будет беззихревое, а между тем вся мзсса жидкости, как целое, будет двигаться по кругу. Для этого заставим прямо- угольный сосуд с жидкостью (рис.
56) перемещаться парзллельно самому себе, причем так, чтобы центр его описывал окружность. Мы получим тогда безвпхревое движение жидкости, находящейся в сосуде. 10 лак. мав вихяевыя движения идалльнои жидкости 1гл. ч 146 Обратным примером является движение жидкости слоями (рис. 57), определяемое формулами =ау; о =.—..О; о =О, л в котором каждый слоИ жидкости, параллельныИ плоскости Охз, дви- жется параллельно оси Ох, причем скорость движения тем больше, У чем дальше рассматриваемый слой отстоит от плоскости Охг. В этом движении йод=О о О 2,= — а; Лх ау яз цх цу -я Если взять замкнутую линию и через каждую точку ее провести вихревую линию, то совокупность всех таких вихревых линий ограничит вихревую трубку. В 9 19 главы 1 было указано на очень тесную связь понятия вихря вектора с понятием циркуляции вектора по замкнутому контуру (., на котором выбрано определенное направление: Г= ~о г(а= ~ о„г/х+о, г(у+о,г(л.
(1.5) А именно, если взять бесконечно малый плоский контур 7., то циркуляция скорости о по этому контуру равна произведению плошади с, охзатываемой контуром, на составляющую вихря скорости О х следовательно, рассматриваемая жидРнс. 57. кость всюду завихрена. Дело в том, что квадрат 7, состоящий из жидких частиц, при своем движении деформируется, превращаясь в параллелограмм П, причемм эту деформацию можно разложить, как было показано в главе первой, на чистую деформацию (в данном случае растяжение вдоль линии а и сжатие вдоль линии р) н последующее вращение деформированного квадрата в направлении, укаэанном стрелкой 1от осн Оу к осн Ох).
Итак, нужно иметь в виду разницу ьшжау обыденным понятием о вихревом движении как о движении по кругам и т. п. и гидродинзмическим понятием о вихре, разъясненныв» в главе первой и только что выше. Может быть, следовало бы оттенить эту разницу. в терминологии, однако мы будем придерживаться общепринятой терминологии. Вспомним определение вихревой линии: вихревой линней называется такая линия, во всякой точке которой вихрь скорости направлец по касательной к этой линии. Поэтому уравнения вихревой линии имеют вид 147 теОРемА томсонА $21 цри этом, поскольку мы пользуемся правой системой координат, слелует брать направление в ту сторону пространства, откуда ориентировка контура Л кажется направленной против стрелки часов.
Так как проекция вектора на свое собственное направление имеет наибольшую величину по сравнению с проекциялш вектора на какое- либо другое направление, то, при поворачивании плоскости контура 7. различными способами, циркуляция по этому контуру будет максимальной в том случае, когда плоскость контура будет стоять перпендикулярно к направлению вихря и будет равна Г= Яо. (1.7) Формула (1.6) может быть обобщена на случай любого контура 7. кокечной величины, на котором выбрано определенное направление обхода; в этом случае она называется формулой Слгокса и имеет следующий вид.' =122 =Цй„ (1.8) ов Здесь В есть поверхность, ограниченная контуром Л; па — элемент этой поверхности; 2„ — проекция вектора вихря И на направление перпендикуляра к элементу поверхности г(ш выбираемое согласно вышеуказанному.
Было отмечено далее, что расхождение вихря всегда равно нулю: 812 го1 п = О, и при помощи этого была доказана следующая теорема о постоянстве циркуляции вдоль вихревой трубки: значения циркуляции по любому замкнутому контуру, охватывающему данную вихревую трубку, равны между собой. Это значение циркуляции было названо интенсивностью вихревой трубки. Для бесконечно малой вихревой трубки ее интенсивность равна по формуле (1.7) произведению величины вихря на площадь бесконечно малого поперечного сечения трубки, нормального к ее осн.
Теорема о постоянстве интенсивности вихревой трубки вдоль ее оси была установлена Гельмгольцем, создателем теории вихрей. ф 2. Теорема Томсона. В !858 году Гельмгольц в своем знаменитом мемуаре установил дифференциальные уравнения для вектора вихря (с, из которых он вывел фундаментальные теоремы о сохранении вихревых линий и интенсивностей вихревых трубок. Впоследствии теоремы Гельмгольца были иным путем доказаны В.
Томсоном. Метод 10* г1 = го122, взятую на направление га, перпендикулярное к плоскости контура Е: Г= Я„с. (1.6) 148 гихгсвые движения идглльиоп жидкости (гл. и Томсона основан на широком применении понятия циркуляции скорости, понятия, как мы знаем, тесно связанного с понятиеч вихря скорости. Мы начнем изучение вихревых движений с изложения метода Томсона.
Рассмотрим в момент времени Га какую-нибудь линию АаВа, проведенную в жилкости. Мы будем рассматривать эту линию как ягидкую л~шню, т. е. составленную из жидких частиц. В любой другой момент вРемени Г частицы, составлЯюшие линию АаВа, обРазУют иовУю линию АВ. Рассмотрич теперь линейный интеграл от скорости и по ~инин ЛВ, т.
е. выражение г = ~ ю ' '(а = ~ (наг(х + 0 г(у + Ф,г(л). (2.1) лв В случае замкнутости линии АВ интеграл l обращается в циркуляцию скорости по замкнутому контуру АВ. В момент В=с+да жидкие частицы образуют линию А'В', а линейный интеграл по А'В' будет иметь значение ~(- ). л в.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
