Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 21
Текст из файла (страница 21)
В самом деле, )А) )А) з ' Вг(5 ~ (ох со5 (в х) ) оусо5 (л, у)) да =— в) )В) )А) )А) — (ох 5)п 0 — о соз 8) дз — ~ — о дх -+ о, др = )В) )в) )в) Г дф=ф(х! ?1) ф(хз уз)' (А) где 0 означает угол между дз и Ох. СВЯЗЬ ФУНКЦИИ ТОКА С ПОТЕНЦИАЛОМ СКОРОСТИ 131 а 221 Легко найти также выражение для вихря через функцию тока. Нмеем по определению вихря: ду д» двх де У дх дя, дггх д2ф дгф дх ду дхг дуг ' Отсюда заключаем, что в случае безвихревого плоского движения функция тока должна удовлетворять уравнению Лапласа д2ф дгф —,+ — =О. дхг ду' (12.5) В 13.
Связь функции тока с потенциалом скорости. При существовании в плоском движении потенциала скорости гу будут иметь место равенства (13.1) дт сравнивая которые с (12.3), устанавливаем: д, дф дт дф дх ду ' ду дх (13.2) или иначе: д; дф дт дф — — + — — ' =О. дх дх ду ду (13. 3) 92 Последнее соотношение показьгвает, что каждая кривая семейства Ф = сопзс пересекается под прямым углом с любой кривой семейства линий ф= сопя(., иначе говоря, линии тока являются ортогональными траекториями семейства изопотенциальных линий, Всякая определенная форма плоского движения жидкости интерпретируется определенной картиной распределения кривых Ф=сопа1.
и ф=сопз1. в плоскости. В силу взаимной ортогональностн кривых этих семейств является безразличным с геометрической точки зрения, какие из них принять за линни тока, а какие за изопотенциальные кривые. На этом основании функции 92 и ф называются еоиряженными, и мы приходим к заключению, что если удастся найти решение некоторой определенной плоской гидродинамической задачи, т. е. если удастся подобрать потенциал скорости гу (а аначит, и функцию тока ф) так, чтобы поле скоростей удовлетворяло определенным пограничным условиям, то мы одновременно получаем решение другой плоской задачи, в которой — ф будет служить потенциалом, а сг — функцией тока, Условия (13,2) позволяют без труда выразить одну из сопряженных функций через другую в квадратурах.
В самом деле, если. накример, известен потенциал скорости Ф(х, у), то для нахождения 132 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ !ГЛ. !У ф = — г — а'х+ 0 (у), /' ду ,/ ду а (13.4) где 0(у) — некоторая неопределенная пока функция; для нахождения последней достаточно дифференцировать (13.4) по у: к дф Р дку — — ' с(х+ 0'(у), а нли вследствие первого из соотношений (13.2) и вследствие того, что потенциал р удовлетворяет уравнени!о Лапласа, имеем: д„ /' дьу д, д„ ~ дх .! дх' -- =- д — ';дх+0'(у), - — '= — ~ +0'(у).
дх дх !а а откуда ~ дх) а интегрируя в пределах от некоторого значения д до у, получаем: У 0(у)= / Я) у, ь и значит, к У д + !' (д) а ь (13 б) Если бы для нахождения ф мы взяли первое из соотношений (13.2), то .злучили бы другую форму, эквивалентную (13.5): г к ф = Ь"-'у — 3 (-'-') ь а (13.6) Применяя формулу (8.4), нетрудно установить следуюшее выражение для живой силы жидкости, заключенной внутри простого заики)того контура Е: т= — р г 9дф, 1 2 с (1 3.7) функции тока достаточно взять одно из соотношений (13.2). Взяв, например, второе из них и интегрируя по х в пределах от некоторого значения а до х, получаем: причем направление обхода /. Ери интегрировании должно быть таково, чтобы интеграл получился положительным.
ф 14. Комплексная скорость и комплексный потенциал. Услов4ш (13.2), выражающие связь между сопряженными функциями у и ф, суть не что иное, как известные условия Коши — Римана, вырагка4ощче то обстоятельство, что комплексное выражение щ=у-+ф! является иналитическос! функцией комплексного аргумента г =л 4- уг. та = /(е); к+ф(= /(х-+ >й), (!4.1) т. е, что функшш У(г) будет иметь определенную производную ат дт дф . дт де ах дх ' дх дх ду (14 г2) Последняя формула показывает, что производная с(щ/да тесно связана со скоростью — — Пх — 24 П ат (14.3) дг х Если рассматривать вещественн>ю единицу +1 и мнимую единицу ! как единичные векторы (орты), отлогкенные по осям Ох и Оу, то комплексное число и,+и ! может быть изображено вектором скорости о, отложенным от начала координат (рпс.
49); сопрядт женное же число — =и — и ! Пзобразится вектором 24, который х у служит зеркальным отражением вектора скорости по отношению к вещественной оси Ох. Па этом основании комплексное число дти/ае 4 носит название комплексной скорости; модуль комплексной скорости дает величину скорости: йт ~ '4/О2 ! О2 Функция тв = ф -+ фс носит название камплексноаа потенциала. Замет!!и, что если в (14.1) рассматривать функцию комплексного потенциала ет Рнс.
49. как обратную г = Р(пг); х+ у! = и (ср+ фс), (1 4.4) то производная этой функции де/йш изобразит вектор, одинаково направленный со скоростью и и имеющий длину 1/!О(; в самом деле: дх 1 1 их+ Рус (14.5) ат йт „„; „г+ 2 их Э 44! КОМПЛЕКСНАЯ СКОРОСТЬ И КОМП2!ЕКСНЫЯ ПОТЕНЦИАЛ !33 134 ПРОСТЕПШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОП ЖИДКОСТИ [ГЛ ЕУ й 15.
Связь плоской гидродинамической задачи с теорией функций комплексного переменного. Соотношение (! 4.1) показывает, что каждый определенный выбор аналитической функции Е(е) дает определенную систему линий тока ф=сопзЕ. и изопогенцнальных линиИ э = сопз1. и, значит, устанавливает определенную кинематпческую картину поля скоростей (точнее говоря, две картины в силу сопряженности функций р и ф). Таким образом. кннематнческое изучение плоского движения жидкости теснейшим образом связывается с теорией функций комплексного переменного, и можно наперед ожидать, что многие положения этой глубоко развитой ветви л~атематического анализа найдут свое гидродпнамическое истолкование. Не имея возможности в рамках настоящего учебного курса исчерпать все возможные применения теории функций комплексного аргумента, мы ограничимся гидродинамическим истолкованием некоторых важнейших свойств аналитических функций.
й 16. Примеры комплексного потенциала. 1. Функция ю=аг при о вещественном. Имеем: ч -+фЕ= ах+ ауЕ, откуда заключаем, что линии тока ф= ну = сопз1. суть прямые, параллельные оси Ох; линии равного потенциала: ~1 = ах = сопзй суть прямые, параллельные оси Оу; скорость во всем поле постоянна и при и ) О направлена вдоль оси Ох (рнс. 50), о,.= а, о„= О. Такой поток мы назовем однородныж поступательным. Легко видеть, что прп а комплексном (а =а-Е-РЕ) характер потока сохрау нятся, изменится лишь направление скорости, которая изобразнтся вектором а — 'РЕ. 2. Функция те= ага при а вещественном. Имеем; е+ фЕ = а(х+ уЕ]е = .= н (х' — уе) + 2ахвЕ. .г Линии тока Рнс.
50. 6.= 2аху = сопзе суть равнобочные гиперболы, для которых координаткые оси служат асимптотами рис. (51). Изопотенциальные линии ~а = а (хз — уе) = сопз(. пРимеРы кОмплекснОГО потенциллл З Ы1 являются также гиперболами, для которых координатные ося служат осями симметрии, Комплексная скорость в некоторой точке Л ГГ ы — = 2аз лх показывает, что вектор скорости О направлен по зеркальному отражению ОЛ1' радиуса-вектора з этой точки и имеет величину, пропорциональную удалению точки от начала координат. Так как за возможные твердые границы жидкости можно принять, очевидно, одну из линий тока и так как координатные осн х =- О, у = — 0 служат линией тока, ф.= О, то мы заключаем, что установившееся безвн хревое движение внутри прямого угла является кинематнческп возможным.
3. Функция си =11г. Имеем: 1 х у х+ уЛ '+ у' '+ у' Линии тока представляют собой систему окружностей , =сопз1. =С Х +У~ Рнс. 51 или 1 ха -'Г- у — —. у = О С касающихся оси Ох в начале координат, изопотенциальные линни Х , = сопз1. Х'+ У' дают другую систему окружностей, касающихся осн Оу в начале координат (рис. 52). Выражение комплексной скорости Рис.
52. показывает, что величина скорости становится бесконечно большой в начале координат, следовательно, для возможности применения предыдущих формул нужно исключить из рассмотрения начало координат, окружив эту точку произвольной замкнутой кривой, В этом случае начало координат служит особой точкой для комплексного 136 пРОстейшие случАи движения идеАльнОЙ жидкости 1гл.!ъ' потенциала (простой полюс) и для комплексной скорости (двукратный полюс).
4. Функция те=1пе. Вводя в рассмотрение модуль г и аргумент 3 для комплексной переменной е = г (соз 6 -+ ( сйп ч) = ге"', ьь + ф( = !и (ген) = 1п г+- Й. имеем: Отсюда заключаем, что линии тока суть прямые О = сопз1., лучеобразно исходящие из начала координат; изопотенциальные кривые суть концентрические окружности г = сопя(. с центром в начале координат (рис. 53). Выражение для комплексной ско- рости показывает, что и в этом случае начало коорлинат является особой точкой, именно — логарифмической для комплексного потенциала и простым полюсом для комплексной скорости.
Рис. 33. В 17. Источники и стоки. Рас- сматривая движеьше жидкости, мы делали до сих пор предположение о непрерывности и конечности поля скоростей. Разбирая примеры комплексного потенциала, мы встретились с возможностью су~пествования поля скоростей, непрерывного н конечного во всех точках плоскости, за исключением отдельных изолированных точек. Наиболее простое гидродпнамическое истолкованке можно дать картине, изображенной на рис. 33, когда комплексный потенциал имеет изолированную логарифмическую точку. В этом случае линии тока радиально расходятся из начала координат, так что можно представить, что из начала координат вытекает в каждую секунлу некоторое количество жидкости лг; такую точку мы назовем источником, а секундное количество вытекающей жидкости — мокьностью или обильностьго источника; при отрицательном т происходит поглощение жидкости, такая точка называется стоком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
