Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Дифференциальные уравнения движения идеальной жидкости допускают интегралы, аналогичные интегралу живой силы, в двух простейших случаях движения жидкости: 1) установггвшегося и 2) безвихревого. Рассмотрим случай установившегося движения. В этом случае режим движения в каждой точке, занятой жидкостью, не изменяется с течением времени, и поле скоростей, поле вихрей, поле гидро- динамических давлениИ, поле массовых сил суть поля постоянные, пли стационарные, Линни тока при установившемся движении совпадают с траекториями жидких частиц. Умножая скалярно основное уравнение движения дв 1 гт — — = — угад р р на элементарное перемещение жидкой частицы одг вдоль линии едока, получаем: 1е ог11 — — ° од1 = — асад р ° ееТ) дв 1 дг или Х дх+ 1' ау+ Е дг — д 1т — ог) = — 1т — дх + — ду+ — дг).
г1 т 1!др др др 12 ) р 1дх ду дг Так как при установившемся движении др/дг = О, то выражение — дх + — ггу + — грг является полным дифференциалом др и можно др др др дх ду дг написать Последнее уравнение выражает собой не что иное, как закон живой силы для жидкой частицы 1сы. Й 14 главы П). УСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВН,КЕНИЕ Вго уравнение может быть без труда проинтегрировано прн соблюдении двух условия: 1) если массовые силы имеют потенциал, которыя мы теперь обозначим через К так что Х= — д)г(дк, 1'= — д~7ду, Х =- — д)г(дл, и 2) если жидкость баротропна. В таком случае имеем: — г()г — г(1 — оа) = г(Р, 'А 2 где (см.
2 11 главы 1!) (1.1) п(~ + ' -+Р)=о, оисуда получаем так называемый интеграл Бернулли: ) + —,'о+Р=Р, (1.2) где Г есть величина, сохраняющая постоянное значение на донкой ,гикли тока, но, вообще говоря, изменяющаяся при переходе от одной линии к другои. Если массовые силы суть силы тяжести, то, направив ось Оз вертикально вверх, имеем: 1г=дз, и интеграл Бернулли принимает вид уз+ —, от+ Р =Р.
Для несжимаемой жидкости по формуле (1.1) имеем: Р=РФ. Разделив на д' н вводя обозначение ( = рд для удельного Веса, напишем еще интеграл Бернулли в виде В.+ — + — = Г. В гг 2В (1.3) В уравнении (1.3) первое слагаемое л выражает высоту рассматриваемой жилкой часпщы в данной трубке тока над некоторой горизонтальной плоскостшо н называется ген.четрическот аьгсотой Второе ела~лемос В"-12д Выра кает Высоту, па которую могла бы поднвгься и все дифференциалы взяты при перемещении вдоль некоторой линии тока, или, иначе: 112 пгостепшие слю1ли движения нделльноп жидкости !гл.
1ч 2 2 р ,+ — + — =ге+ — + —, 2е т " "2й (1.4) или, если, в частности, геометрическая высота вдоль линий тока не меняется, то 2 2 О1 О2 Р2 Р1 2я 2д (1.5) Из баротропных случаев остановимся на изотсрмических и изэнтропических движениях (см. Э 11 главы !!). В изотермическом движении и интеграл Бернулли (1.2) примет вид (по-прежнему в качестве сил береи силу тяжести): о» ее+ — + — ! и р = Г'. 2 С Для движений адиабатических и интеграл, аналогичный (1.5), примет вид ,2 »-1 2 2 С в — 1 Так как то мы можем записать этот закон еще в виде р ( +' (1.6) в пустоте материальная точка, брошенная вертикально вверх с начальной скоростью и: зто слагаемое называется скоростной высотой.
Наконеи, третье слагаемое выражает высоту, которую должен бы иметь покоящийся столб жидкости, чтобы получить давление р у основания столба; зто слагаемое называется пьезометрической высотой. Таким образом, интеграл Бернулли выражает, что при установившемся движении несжимаемой жидкости сумма ееометрической, скоростной и пьезометрической высот остается неизменной для частиц одной и той же трубки тока, что может быть еще записано так: 113 БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ $2! Для воздуха можно считать я 1,4. Если ог и ог не слишком велики, то, как легко видеть, влияние сжимаемости будет незначительным. В самом деле, пусть, например, скорость о, имеет порядок 3 ° 102 смгсек,от=0, Р 1,3 1О г)смз, р, = 1 от= 10е г/см сел'. Тогда получим: т — 1 Р, ег — е22 04 13 !О-з 9 !02 — з — = 1,67 !О Но тогда в разложении правой части (1,6) в ряд р2 Рг ог эг я — 1!х — ! / мы можем ограничиться первыми двумя членами и вновь получим уравнение (1.5).
5 2. Безвнхревое движение. Если во время движения я каждой точке поля скоростей движушейся жидкости отсутствует вихрь, т. е. го!В=О, п, следовательно, скорость является потенциальным вектором о= игад у, так что дт де дл ' г ду ' де о де то основное уравнение движения (6.4) главы второй упрощается, принимая вид (2.1) — дгад р= егад ! — Рг, (рт Р Р~' (2. 3) так как р постоянна для всех точек поля. д 3гад Ч !'! 21 1 дг ' т2 ) "+е И! — '1=~ — — ~ (р. При этом движение может быть неустановившимся, так что потенциал скорости нужно рассматривать как функпию четырех аргументов — х, у, г, Е Так как, очевидно, — "'с" =6гад (дс) то из уравнения (2.1) получается Г=аг.д('д',)+И Д йо')+ ! а Р.
(2. 2) Для несжимаемой однородной жидкости будет справедливо очевидное соотношение 114 ппосгьпшна слт глн движегн~я нделльнои жидкости ил. ш Для сжимаемой жидкости можно установить аналогичное соогиошение в том случае, когда жидкость барогвропна. В этом случае введем вновь обозначение — =-йР нли Р= ( —, др 1 др Р Г (2,4) и согда можно написать: — пгаг( р = пгад Р, 1 Р ибо из (2.4) имеем: (2.5) — — дх + — — бу -,'— — — г(г + — — сг1 = 1др 1др 1др . 1др адх а ду ' а дг р дг дР дР, дР, др дх ду дг дг = — бх + — Фу+ — Фг+ — Ю. Сравнивая коэффнш1енты при дифференниалах аргументов, находим: 1др дР 1 др др 1 др дР р дх дх ' р ду ду ' р д дг ' огкуда следует (2.5); соотношение (2.3) является, очевидно, частным случаем (2.5).
Таким образом, для рассматриваемых случаев безвнхревого двпжешш уравнение (2.2) примет внд Р— отвд ~ т ' от+ Р) т. е. в этих случаях массовые силы должны являться потенциальным вектором. Обозначая потенциал сил через (г, Р= — ятас1 ьг, мы приведем уравнение движения (2.2) к виду пгад ( — У+ — от+ К +Р) = О ',дг 2 (2. 6) показываюшему, что выражение, заключенное в скобки, ие зависит от координат х, у, г и является только функцией времени й — + — от+(г+Р= Г(1), (2.7) вид которой остается произвольным. Этот интеграл уравнений движения носит название интеграла Гоши. При наличии только сил тяжести 1'= — дг интеграл Коши принимает внд дг + 2 "+кг+Р="(1).
115 зезвихггвое дВижение Для несжимаемой жидкости будет и интеграл Коши получается в виде — '+ — оя+ Кл+ Р = Р (() дч ! дГ 2 (2,9) Так как в последнем случае уравнение неразрывности имеет вид дет дет дет дле дуе д З вЂ”. +- — + — — =-0. (2. 1О) то мы заключаем, что полное решение задачи об определении Сезвихревого лвнжепия несжимаемой жилкостн сводится к отыскания> о д н о й фушсипи О, уловлетворяюшей уравнению Лапласа (2.10), а также граничным и начальным условнян, Гнлродннамическое давление р найлется тогда из соотиошепня (2.9), причем вид произвольной функции Р (8) определится, если будет иаперел задана зависимость р от времени в одной точке поля.
В случае, когда рассматривается абсолютное движение жидкости в подвижной системе координат Олуха, основное уравнение движения может быть записано в виде (7.10) главы второй оа 1 + егас( ~ 2 о ' 22е/ (оа ое) Х го1ое = Р— — егас1 Р. (2.11) а е/ а е Будем опять считать, что абсолютное лвпжение жидкости — безвихревое, т.
е. что о, = егад з', (2.12) (2.1 3) или е.е+ у «У) дл ( оу+ е е2ел) (о + У вЂ” .) — '+12+Р=Р(1), (2.11) если, кроме того, примем, что сила имеет потенциал н плотность есть функция давления, то, повторяя прелылущие рассуждения, придем к следующей форме интеграла Коши: у 2 дт~ 2 е е ()' 116 ПРОСТГГНПИС СЛУЧАИ ДВИЖСНИЯ ИДРАЧЬНОП ЖИДКОСТИ 1ГЛ. !' где О „, пеу, О, — проекцик на осн подвижной систеиы координат скорости Ф, начала этой системы, а в, в, в,— проекции на те же оси вектора угловой скорости вращения подвижной системы координат в.
Этот результат можно получить также непосредственно из уравнения (2.7). В последнее уравнение входит производная от у по времени, взятая в неподвижной системе координат Охуг: д- д;(х, у, л, !) Производная же д'фд1 вычисляется в подвижной системе координат, т. е. для точки М, неизменно связанной с подвижной системой координат и имеющей относительно последней координаты х, у, г; ясно, что х, у, г будут функппями от х, у, г, 1, причем производные этих функций по времени определяют проекции переносной скорости о точки Я. — =О „=О +в г — в,у, — =О =-О +в,х — в,г, ч Й дг— -— — О =- ЮР +в у — (оух. Считая х, у, г постоянными, будем поэтому иметь по правилу диф- ференцирования сложных функний: д'т дт дт дх дт г1у дт дл дт д! д! дх д! ду дт дл дс дс — — +--(...+- л — .у)-у- — (ъв +, — ха)+ + — (О„+в У вЂ” в,Х).
дт Находя отсюда дед~ и вставляя полученное аначеиие в (2.7), мы и получим (2.14). 5 3. Установившееся безвихревое движение. В этом случае поле скоростей и поле давлений будут стационарными, поэтому дед(=0, произвольная функция Рф) превращается в произвольную постоянную С, н интеграл Коши (2.8) принимает вид: — '+кя+Р=С.
1 (3.1) где ~ ир 117 ОГРАНИЧГНИЯ НАЛ ГГАЕМЫЕ НА СКОРОСТЬ А а! Б случае несжимаемой жидкости равенство (3.!) перепишется так: о +з"л+ — =С 2 Р 2 Р (3.2) ИЛП, ПО РаЗДЕЛЕННН На Аг: ,— "+я+ Р =С, 2й !3.3) где ", =. Рд; мы получим равенство, одинаковое по форме с ннтеграАоч Бернулли (1.3). Отличие от последнего заключается в том, что нос ьнянная 1' интеграла Бернулли является постоянной лишь для шсчпц одной и той же линии тока и принимает различные значения шя различных линий тока, тогда как в интеграле установившегося безвихревого движения постоянная С сохраняет одно и то же значение для всех частиц движущейся жидкости. Интеграл вида (3.1), !3.2), (3.3) иногда называется интегралом Бернулли — Эдг,гера.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
