Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 19
Текст из файла (страница 19)
$4. Ограничения, налагаемые на скорость. Существование интегралов Бернулли, Коши, Бернулли — Эйлера сгавнт для величины скорости известный предел, превзойти который движущаяся жидкость пе может без разрыва сплошности. Рассмотрим, например, установившееся безвнхревое движение несжимаемой тяжелой жидкости. Пусть в некоторой точке поля на высоте зо скорость и давление равны соответственно оо и р„; тогда интеграл (3,3) примет вид о Р "о Ра — + я+ — =- — +з + —, 2А о откуда ,о ге р оа а 2Ь' о т 2А' г г по Ро — +.— — — > о, 2е т 2и откуда находим предел для величины скорости ес 2ра та ~оо+ —.
Р Бели, например, вода, находящаяся в большом сосуде, вытекает в пустоту под действием только атмосферного давления ро, то на Последнее соотношение показывает, что велишша о не может оказаться чрезмерно большой ни в одной точке жидкости, так как давление р в идеальной жидкости не может быть отрицательным. Например, для точек на той же высоте з=ло получается неравенство 11я пгостшчшнг. слюин двизкгния идеальной жидкости 1гл, ги поверхности сосула можно принять величину ва близкой к пулю, и для скорости истечения получается ограничительное условие / 2р, Например, при ра=!0000 кг/ма для волы имеем; и (14 м/сек. ф б. Формула Торичелли, Интеграл Бернулли имеет фундаментальное значение в вопросах гидравлики.
Применим его для определения скорости истечения несжимаемой тяжелой жидкости из большого открытого сосуда через малое отверстие. Если обозначить через 5 плошадь свободной поверхности жидкости в сосуле, через з — плошадь отверстия, через Ъ' и о — скорости на поверхности и и отверсыш, ~о уравнение неразрывности дает: 51 = ачх Счигая движение установившимся и безвихревым и прииеняя интеграл Бернулли — Эйлера, имеем: (5. 1) если начало координат взять на свободной поверхности и ось Ог направить вертикально вниз, так как давление в отверстии на глубине а, где вытекаюшая жилкость образует также своболную поверхность, будет равно атмосферному давлению ра. Из равенства (5.1) имеем: яя или т,г пт 52 откуда Если отношение з/5 мало, то пренебрегая членом (л/5)Я, получаем для скорости истечения приближенную формулу Торичелли ф 6.
Истечение газов. Можно получить аналогичную приближенную формулу для оценки скорости истечения газа из большого сосуда через малое отверстие. Пусть давление и плотность газа в сосуде будут р, и рн атмосферное давление н плотность воздуха обозначим через ра и ра. Будем полагать, что размеры сосуда настолько велики, что истечение можно рассматривать как установившееся и притом безвихревое движение (в некотором интервале времени) и что на достаточном расстоянии внутри сосуда от отверстия можно пренебречь скоростью газа.
дкпствив мгновенных спл З г! Г ггр — о'+ 1 — =-О, 2 „I г 16. 1) где с„ к =в с„ р — ьг.х Из уравнения (6.1) получаем: Ро 2ак от= — 2ггх ~ р"-аг)р= (р',-' — р,"-') н илп окончательно: (6. 2) ф 7. Действие мгновенных снл. Допустим, что к жидкости прилагаются мгновенные массовые и поверхностные силы, действую- щие в течение весьма короткого промежутка времени т, но дости- гающие весьма больших величин. Чтобы определить действие таких сил на движение жидкости, примешгм основное уравнение движения, в правой части которого выделим явно мгновенную массовую силу Р' и мгновенное давление р'. не, 1 1 — =- гт+ Г' — — угад р — — стад р'. р Примем за начальный момент начало действия мгновенных сил; интегрируя тогда от != О до Г=-т н замечая, что импульсами обыч- ных сил можно пренебречь ввиду малой величины этих импу ~ьсоя по сравнению с импульсами мгновенных сил, имеем: с Р1 чг' — о =,У вЂ” 1 — игаб р' г)с, Р где о и о' суть скорости одной и той же частицы непосредственно до начала и по окончании действия мгновенных сил, а У есть импульс мгновенных массовых сил: Считая далее, что рзсширенне газа через отверстие происходит аднабатнчсски, пренебрегая силой тяжести и применяя интеграл движения к двум точкам — внутри сосуда, где скоросгь ничгожна, и к отверстию, имеем: Рю Щ пгоствишие слюРяи движения идеальном жидкости шл.
гв Вследствие малости т можно пренебречь перемещением частицы за время т и, таким образом, скорости и' и и можно отнести к одной и той же точке поля. Ограничимся рассмотрением движения несжимаемой жидкости. Тогда, обозначая через к импульс мгновенных давлений будем, очевилно, иметь: (7.1) и' — чз = — атаг( ( — ) . Р (7.2) Обратно, если происходит внезапное изменение поля скоростей что, например, имеет место, если внезапно изменятся границы жидкости (подводный взрыв), то такое изменение вызовет появление в каждой точке жидкости мгновенных давлений, импульс которых связан уравнением (7 2) с изменением скоростей. Взяв операцию й(ч от обеих частей равенства (7.2) и замечая, что г(!ч чг = 0 и г((ч п' = О, вследствие несжимаемости жидкости, и что по формулам векторного анализа расхождение от градиента есть оператор Лапласа, мы видим, что импульс мгновенных давлений должен удовлетворять уравнению Лапласа: дав д~к д~в — + — + — '=о.
дх' ду' да' Да.чее, можно заключить, что если движение жидкости до начала действия мгновенных давлений было безвихревым, то оно останется безвнхревым н по окончании лейстаия. В самом деле, если чг = ига б у, то вследствие (7.2) и' = йтан (~Р— — ) . (7.3) Называя потенциал скоростей после действия мгновенных давлений через е'. и'= асад Р', имеем вследствие (7.3): ~'= е — — +С, Ф Эго соотношение показывает, что лействие мгновенных сил вызывает внезапное изменение скоростей в каждой точке поля.
При отсутствии мгновенных массовых сил и при действии только мгновенных давлений имеем: !ып!ст!!ческая знгвгня вгзвнхгевОГО двпжегп!я 121 !де С вЂ” произвольная постоянная, одинаковая для всех частиц жидкости. Равенство (7.2) показывает, что если ко всем частицам несжимаемой жидкости применить одинаковое мгновенное давление, то не произойдет никакого изменения скоростей, так как при я = сопя(. будет: о' — о = — угад 1 — 1 = О, т. е.
о' = о. тр) Равенство (7.3) дает возможность установить новую точку зрения на возникновение безвихревого движения. Если в (7.3) положить !р = сопя(„то , / - = — — +с, т. е. безвихревое движение, характеризуемое потенциалоч !р', может возникнуть из состояния покоя е = сопз!. после действия млговенных давления с импульсом л= — ре'+ С. Если же в (7.3) положить оь=сопз1., то мы видим, что данное безвихревое движение, обладающее потенциалом скорости е, может быть полностью во всея жидкости остановлено после применения импульса давлении .=р~+с.
Вместе с тем мы заключаем, что никаким подбором мгновенных спл давлений нельзя ни образовать, ни уничтожить вихревого движения, так как в противном случае, полагая, например, о' = О, по (7.2) мы имели бы: о=ига!)1 — 1, т. е. го1о=О. тр) ф 8. Кинетическая энергия безвихревого движения. Ограничиваясь случаем несжимаемой жидкости, движущейся с однозначным потенциалом скорости р, имеем для живой силы, заключенной в некотором односвязном объеме ч, ограниченном аамкнутой поверхностью Я, выражение Т= 2 / р~ 6(~ = 2 р 7 / / ((де) + (ду) +) )' ) ~лЪ4126(ж (8.1) Известное преобразование Грина для двух любых функций р и 3!' дает: !22 ппостепшие слУчАи движения идеАльноп жидкОсти и'л 1ч где л есть направление внутренней нормали к поверхности О'.
Пола- гая ~у=-ч' и ззмечая, что если р есть потенциал скорости, то д т д т дат — + — +- — =О, дх' ду' дхг (8.3) мы получаем для живой силы жидкости, заключенной внутри поверх- ности 5, выражение т= ,'р~~удтж (8.4) ао,+~(О +То,=во'„+8о'+ТО,', (9.1) где а, р, Т вЂ” косинусы углов, образованных внутренней нормалью к граничной поверхности 5 с осями координат. Кроме того, по асловию: дт ду дт х дх У ду х да ' в силу уравнения неразрывности: дпх дну двх и — + —,' + — = О. (9.2) дх д> д д'у , д'т д'т — '+ — + — =О дха ду' да' Эта формула показывает, что живая сила несжимаемой жидкости в односвязном обьеме, движущейся с однозначным потенциалом скорости, зависит исключительно от движения на границах этого объема.
В частности, если на границах нет протечения, т. е. если д~у)дп = О, или если на границах потенциал имеет постоянное значение, которое всегда можно считать нулем, так как потенциал содержит произвольну|о добавочную постоянную, то формула (8.4) дает Т= О, т, е. жидкость не имеет никакого движения внутри односвязного объема. Этот результат был нами получен ранее (гл. 1, 9 17). 9 9. Теорема В, Томсона. В. Томсон (лорд Кельвин) доказал, что живая сила несжимаемой жидкости, движущейся в односвязном объеме с потенциалом скоростей, меньше живой силы во всяком другом движении, прп котором па границах объема жидкость облалает движением, одгтаковым с безвихревым, внутри же обладает вихрями.
В самом деле, пусть живая сила в безвихревом движении будет Т, а во всяком другол1 — Т', при условии, что на границах объема нормальная составляющая скорости О' последнего движения одинакова с нормальной составляющей скорости О безвихревого движения: если хоть в одной точке внутри обьема скорость о' отличается от скорости безвихревого движения о. ф 10. Упражнении. 1. При установившемся истечении газа из тонкой конической трубки траектории частиц представляют собой прямые, сходящиеся в вершние конуса.
Предполагая, что движение совершзется изотермпчески, найти соотношение межлу скоростями уг и о в сечениях АВ и аб, площади которых суть 5 и е (рнс. 45). Решение. Из условия изотермичности имеем: — = л = сопи. Р э Рис. 45. Пренебрегая силой тяжести и применяя интеграл Бернулли — Эйлера — о'+ е! — = С г ~Р 2,/ р к сечениям АВ и аб, имеем: 1 1 2 — Кг+41пР= — ог+л!пр, 2 (10.1) где Р и р †давлен в этих сечениях. Условие неразрывности дзет.' УР$ = оре, откуда Р оз р $5' и интеграл преобразуется к виду Р ог Уг ое ог — Уг л!п — = — или а!и — = 2 УЗ 2 откуда ег ггг о  — — е ' ял У з 124 пяостеишии слкчли движвния идгальнои жидкости !гл. ге и таким образом соотношение (9.3) принимает вид Т' — Т= — р ~ ~ ~ ~~о„' — — ) +(о' — — ) + + (о,' — — ) 1г)х 1у г!е, (9,4) Т' — Т О, УПРАЖНЕНИЯ 125 Ф 101 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
