Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Если начало координат служит источником с мощностью и, з в бесконечности жидкость остается в покое, и других источников н стоков в плоскости Оку нет, то, описав вокруг начала координат, как центра, окружность ралиуса г, мы найдем, что поток жидкости через окружность будет иметь постоянную величину лг, независимо от радиуса г, так как вследствие несжимаемости внутри окруькностн источники и стоки а!71 не может произойти накопления жидкости. С другой стороны, этог поток выразится произведением 2кгг(71г(г, так как вследствие симметрии поля скоростей потенциал скорости будет функцией только расстояния г, — так что нориальная скорость вдоль окружности будет равна дфИг.
Таким образом имеем: гл 2пг — =-ли откуда 7=-,— 1и г. а'г 2я Лалее находим: т ф=2 Е, а для комплексного потенциала получается и = — 1и г. гл 2в (1 7.1) Нетрудно заключить, что если в точках плоскости г = а,, г=аз, ..., г= — а„находятся источники или стоки с обильностями (мощностями) тн т,, ..., т„то комплексный потенциал течения, ими создаваемого, выразится функцией откуда найдутся следующие выражения для потенциала скорости н функции тока: 1 (17.3) вы и 1 %1 ф= — ~лг О, 2е а=1 (17.4) где р„и За означают модуль и аргумент комплексного числа г — ае. Формула (17.2) может быть распространена и на случай непрерывного распределения точечных источников вдоль некоторой линии.
Пусть, например, на отрезке ( — а, а) вещественной оси р а в н о и е р и о распределены точечные источники одинзковой обильности и пусть )з означает общую обильность источников, заключенных в единице длины отрезка. Тогда формула (17.2) приведется к виду а й еи = йв / 1п(г — 1)Ж= -в л = - — [(г+ а) 1п (г+ а) — (г — а) 1и (г — а) — 2а!. (17лб) св = 2 — 1п (г — а,) + ... + 2 —" 1п (г — а„) = 2 — ~~ те 1и (г — а,), (17.2). т, ~ил 1 Ъч 133 простепш<п.
случаи дВижения иделльнорт жидкости !Тл.!Р 8 18. Дублеты. Совокупность источника н стока с мощностями+т и — т, помещенных на бесконечно малом расстоянии 3з друг от друга, называется дублетол<. Произведение М = т 3з, которое мы будем предполагать конечным (так что т будет неограниченно возрастать при уменьшении 3з), можем назвать, по аналогии с магнитом, жожентож дублета и считать векторной величиной, направленной одинаково с 3з от стока к источнику: М =таз; Рве 54 это направление мы назовем осью дублеи<а.
Для потенциала скорости потока, создаваемого таким дублетом, имеем (рнс. 54), согласно !17.3), 1 т р т < р' — р< <р = — (т !п р — т !и р') = — !и —, = — !и <т! —, ) . 2г. 2г р' 2« С точностью до малых величин второго порядка малости можно положить р' — р = йз соз 0, так как, проектируя соотношенке р' — р = зз на направление вектора р, имеем: р' сов (О' — О) — р = 3з .
соз О. Разлагая !п(1 — —, ) в ряд, имеем в пределе прн 3з-ьО ! М соя 0 яг 2яг Для сопряженной функция тока нзходнм по формулам (13.5): 2ег (18.2) а для комплексного нотенциала получается выражение 2«г = 2су г(соз 0+< мл 0) 2е и, следовательно, простой полюс л — — — 0 комплексного потенциала, дающий для поля скоростей картину, изображенную на рнс. 52, может быть гидродинамически истолкован как дублет в начале координат. ось которого направлена по Ох. Нетрудно видеть, что если ось дублета составляет угол з с осью Ох, то выражение для комплексного ~отенцизла будет: Ме" < Ы= — — —. 2яе ' Если па плоскости Оху в точкзх г = — а,, е = а, ..., г =- а„помещены дублеты, моменты которых рзвны МР М„..., М„, а оси обра- ВихРеВые точки 139 зтют углы а,, а,, ..., а„с вепгественною осто Ох, то комплексныи потенциал выразится формулоц 1 ъ~ Л(ве" Л' (18.3) 2е миг — ив' в=1 9 19. Вихревые точки.
Можно дать еще нное гпдродинамическое истолкование логарифмической точке в комплексном потенциале, чем то, которое было дано в 9 17, где показывалось, что поле скоростсп, определяемое комплексным потенциалом ю=-2 !пг может быть получено, если поместить в начале координат источник мощности т.
Чтобы получить новое истолкование, достаточно, как было показано выше в 9 13, переменить роли у линий тока и потенциальных линий, т. е. Ва потенциал скорости принять — (л, за функцию тока взять функцию о 2 17. Такая замена равносильна умножению комплексного потенциала на г'. Положив, следовательно, т! лв = 9- 1п в, (! 9.1) мы имеем для потенциала скорости выражение т 2е (! 9.2) ф= —,!п г, (19.3) которое показывает, что линии тока представляют гобои концентрические окружности с центром в начале координат.
При этом движение жидкости во всех точках плоскости будет безвихревым, за исключением начала координат, где скорость по формуле (19.1) будет бесконечно велика. Эту точку мы назовем вихревой, а величину циркуляции скорости Г, равную — вг прн положительном направлении обхода вокруг начала координат, назовем интенсивностью или пап!тяженив.и вихревой точки; при этом величина циркуляции не зависит от формы контура, по которому совершается обход. Таким образом получается, что вихревая точка г = О создает плоское движение, определяемое комплексным потенциалом щ = — — Г! и г = —.
1п г. Г 2п 2гй (19.4) показывающее, что потенциал уже нельзя рассматривать как однозначную функцию тока на плоскости Оху, так как при обходе вокруг начала координат по произвольному простому контуру величина потенциала изменится на '" т (знак в зависимости от направления обхода). Для функции тока получается нз (19,1) выражение 140 ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДИОСТИ !ГЛ.
1Ч Очевидно, что если вихревой точкой служит не начало координат, а точка в=а, то выражение комплексного потенциала будет: Г гв = — !п !е — и). 2ч! (1 9.5) Оху имеется несколько изолированных вихреаз,..., г = а, с интенсивностями Гп Гм ..., Г»и то движение будет определяться комплексным потенциалом Если в плоскости вых точек е = ап е = Р» ' л..' а" у 1 Ъз тз = —,— 7 Г» !п (г — а ). » (! 9.6) $20. Вихреисточники. Рассмотрим течение, определяемое комплексным потенциалом щ= ~ 1пе, !20.1) 2з где д — некоторое комплексное число, которое мы представим в форме гу = ги — !Г. (20.2) Рис.
55. Если д вещественно, то начало координат служит источником с обнльностью и; если же () чисто мнимое, то начало координат является вихревой точкой с интенсивностью Г. В общем случае, когда () комплексно, начало координат представляет особенность, которая носит название вимревслчочника. В этом случае плоское течение, определяемое комплексным потенциалом (20.1), можно трзктовать как результат наложения друг на друга течения, созданного вихревой точкой г = 0 с интенсивностью Г, и течения, созданного источником обильности л», помещенным тоже в начале координат. Полагая е = ге" и выделяя в комплексном потенпиале 2 У + вещественную и мнимую части, мы найдем для потенциала скорости у и для функции тока ф выражения (Р— — (и» !п г + ГО), ф = — (т0 — Г 1п г).
1 1 Эти выражения показывают, что линиями тока служит семейство логарифмических спиралей (рис. 55) — » ,=С,Е7 ВЫ 1ЕТЫ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ 141 а изопотенциальными линиями — другое семейство спиралей — — 1 г К=С»е ортогопальпых к спиралям первого семейства. В 21. Вычеты комплексной скорости, циркуляция и поток скорости. Как известно из теории функций комплексного переменного, структура аналитической функции с (г) вполне определяется распределением в плоскости г особых точек функции н их характером. Теория вычетов дает возможность без труда выразить циркуляцию и поток скорости по любому контуру, если для комплексной скорости о = >То>/Фг известны распределение простых полюсов и им соответствующие вычеты.
В самом деле, если простые полюсы функции о лежат в точках г = ап г = ао ..., г = а„и вычеты, им соответствующие, суть АР Аз, ..., А„, то линейный интегрзл от функции о по люб1ому замкнутому контуру Е, заключаю>цему в себе полюсы ап ао ..., а„, лает и ~ о>та = 2кг,~ А». с »-1 (21.1) С другой же стороны, отделяя вещественную часть от мнимой, имеем: о 11г = ~ (о„— о 1) (11 х -+ 11у>) = Г = = ~ (ои »1х -+ от 11У) + 1 ~ (о„11У вЂ” о ах). (21.2) Вещественная часть ~оиЫх;+о Фу представляет собой циркуляцию скорости по контуру Е »' = 1 о 1х + о а>у .
г П= 1оис>у — о 11х). Выделяя вещественную и мнимую части каждого вычета А»=а»+р»1 Коэффициент же мнимой части согласно 112.4) есть не что иное, как поток П скорости сквозь контур 1., выражающий секундное объемное количество жидкости, вытекающее из источников, лежащих внутри контура: 142 пгостнишив слкчли движвиия иднлльноп жидкости (гд.
гк и сравнивая вещественные части в (21.1) и (21.2), находим выражение циркуляции скорости через вычеты комплексной скорости л Г = — 2г ~~", 1) . «=1 (2 1.3) Аналогично для потока скорости получаем: П = 2к ~~'~ ал. (21.4) Я 22. Упражнения. (Во всех задачах рассматривается плоское безвихревое движение несжимаемой жидкости,) 1. Исследовзть движение, определяемое потенциалом скорости у=ах(х' — Зу') (а>0). Какой объем жидкости У протекает каждую секунду через отрезок прямой линии, соединяющей точки «, =0 и «,= 1+1? Оюлелс. и = а«', ф = ау (Зх' — у'), линиями тока служат в частности прямые у =О, у = г' Зх, так что можно поставить стенки, идущие вдольположительной оси Ох и под углом 60' к ней; У= 2а.
2. Рассмотреть движение, определяемое комплексным потенциалом ю а)' «(а>0), в области, получающейся, если вдоль положительной осн Ох поставить стенку. Показать, что линиями тока служат параболы, Ответ. Линии тока суть параболы у' = 4с'(х+ с'), охватывающие положительную ось Ох; линиями равного потенциала скорости служат ортогональные параболы у'=4с'(с' — х) (здесь с — произвольная постоянная). 3. Исследовать движение, определяемое комплексным потенциалом 1л ю = лс1п (« — — ) (яс > О). уравнение линий тока в декартовых координатах (ха+ уз+ 1) у = сх (ха+ ут — 1), в частности, линиями тока являются оси координат и окружность х'+у'= 1; ФПя Ъ'= —.
2 4. Пусть в верхней полуплоскости у > 0 нмеется несколько источников интенсивности ю» в точках «л и несколько вихрей интенсивности Гс в точках «ь Показать, что если поместить еще в нижней полуплоскости в точках «и В каких точках находятся источники и стони? Найти, положив « = ге', потенциал скорости и функцию тока и показать, что можно рассматривать движение в квадранте, ограниченном осами координат и окружностью г = 1. Найти, какой объем жидкости (г протекает через линию, соединяющую точки «, = й а = 1/2. Отвея.
2 источника: в точке «=+1 и « = — 1, один сток в точке«=0; ~2' 2~.Г!, ( '-~-чч у=и )п ' ф=щагс12[ УПРЛЖНЕНИЯ 143 0 221 симметричных точкам ха относительно вещественной оси, источники той же интенсивности т*, а в точках «2 вихри интенсивности — Г2 (как говорят, если отразить источники и вихри от оси Ох), то ось Ох сделается линией тока и может быть поэтому заменена твердой стенкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
