Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 26
Текст из файла (страница 26)
(егад ь )( цга<$ р), (6.3) игг (6,4) Р= — — 8тад 1', го1 Р=- О. и следовательно, 2. Плотность р есть функция дзвления (6.6) о.= Ф(р), в этом случае аксай р =- Ф'(р) егай р, так что векторы егас(р и егад р коллинеарпы, и следовательно, дгад р Х 8тай р = О. (6.6) Уравнение (6.3) в силу сделанных предположении сильно упрошается, принимая вид — — (9 р)о+ггд!чо= — О. Это уравнение мы будем называть уравнением Гельмгольиа. В частности, если жидкость несжимаемая, так что ЕВк о = О, то получается уравнение — ",~ = (а р) ек (6.8) которое было впервые получено Гельмгольцем и на основе которого он вывел свои знаменитые теоремы о вихрях. % 7.
Теоремы Гельмгольца. Еслгг: 1) си,га Р ижеегн иотенциал и 2) иготность есть фунгсиггя давления, то вихревые .гинии и интенсивности еихрееьгх трубок обладают сеойслгво.и сохраняелгосгни, На основе полученных результатов доказательство этих теорем получается сразу. В самом деле, вследствие сделанных предположении имеет место уравнение Гельмгольца (6.7) или, короче, (ге!ш ы =- О. (7.!) Но в Э 5 было выяснеко, что при выполнении этого условия векторные линии и интенсивности векторных трубок в ктора Я 11з .цгв указанное Фридманом. Смысл этого уравнения будет выяснен несколько ниже. Сделаем теперь лва предположениш 1.
Сила Р, леиствуюшая на елипшгу пассы жидкости, имеет потенциал (г, так что впхвевып движения пдслльной жндкос3н и'л. у обладаюг свойством сохраняемости, иными словами, кзк вихревые липин. так и интенсивности вихревых трубок сохраняются, что и требовалось доказать. В частности, при отсутствии вихрей в начальный момент времени их не будет и в любой следующиИ момент времени, долгому движения, бывшие безвнхревыми в некоторыИ мом нт времени, всегда останутся бсзвихревыми, движения же, вихревые в некоторый момент времени, всегла будут вихревыми.
Таким образом мы получаем резкое разграничение всех движений на тва класса: безвнхревые звижения, или движения с позенгщалом скорос~гп и вихревые лпижг пня. Если сделанные в теоремах Гельмгольца прелположсшгя не выпод.шются, то теоремы Гельмгольца перестают иметь место и становятся возможными возникновение и разрушение вихрей. г!так, вихри могут возникать илн разрушаться под действием трех главных причин: 11 сслп силы, действующие на единицу массы жплкостщ н. ньгеют потенциала; 2) если плотность пе является функцпеИ одного только дава.иня, а зависит и от лругих факторов, например температуры; наконец, 3) если жидкость не идеальная, как мы постоянно предполагали ло нх пор, а вязкая. Возможны еще некоторые причины вихреобразовшпгя, на которых мы, однако, не останавливаемся. Вопрос о влиянии вязкости па вихревые движегшя будет разобран з главе о вязкой жидкости.
Сейчас же мы остановимся на вопросе о том, как пропсходиг впхреобразовапне вследствие двух первых причин. Заметим, что уравнение Фридмана (6.3), которое можно написать в вндс 1 Ие!ш г! =- гш с+ —; (цгаг) р л', Игзй р), 17.2) г)е 1 — =- — ягаб !' — — пгад р; гг ' р (8.1) нз уравнения (2.1!) лля производной от циркуляции скорости по замкнутому контуру б: Г=-1м г!з лагг как раз количественное выра;кение тех изменяю И вихрей. которые происходят н силу отсутсзвпя потенция ш у внешних сил и и силу бароклиниости ~ггидкосзт.
*г)азг будет улобнес, однако, пользовапся при изучении вихреобразования методом Томсона. ф 8. Образование вихрей. Теорема В. Бьерггнеса. 1'ассмотрим сначала случай, когда нс выполняегся соотношение р == Ф (р), т, е. когда плотность определяется пс только давлением, по и другими факторами, например температурой нли влажностью (лля воздуха), или соленостью (для морской полы) и т. д. В ятом случае уравнение (2.12) может быть написано в виде овялзонлннг внхяег1 тсоягмл в вьввкмасл получается: нГ г ( г =- ~,; '«з =.— — ~ Огай Ъ'. г(з — ~~ — (йта1р,,уз), га =-У Пг по Ыга"' (з =- ()'; 1 (Р— О; .,щб поэтому нр гы с (8.
2) Эчо уравнение, определяющее изменение циркуляции по к<идиому контуру ~, было установлено В. Бьеркнесом. Мы установим, следуя ему, аначенне правой части уравнения (8.2) и после этого сформулируем теорему. Вместо плотности р удобнее рассматривать в данном случае обратную величину Пв которая представляет, очевидно, обьем единицы массы жидкости н называется удельнм.н обэежож.
Рассмотрим поверхности р = сопя(л такие поверхности называются исобарическими поверхностями. Рассмотрим еще другие поверхности, па кгторых ы имеет одно и то же значение в=сонэк, н назовем нх изосщерическижи поверхностями (т. е, поверхностями равного удельного объема). Если бы р. †. гр (р), то на нзобарической поверхности р нмечо бы одно н то же значение, т. е. изобарнческне и изостерические поверхности совпадали бы между собою.
В рассматриваемом же нами случае пзобарп веские и изостерические поверхности будут пересекаться между собою. Если мы проведем пзобарпческне поверхности, отвечающие ряду значений р, отличающихся друг от друга на единицу. н точно так же построим нзостерические поверхности, отвечающие ряду значений ы, отличающихся друг от друга на единицу, то все пространство разобьется на ряд трубок, образованных двумя последовательнь:ми нзобарическпми поверхностями н двумя последовательными нзостернческими поверхностями, Назовем этн трубки нзобароизостерическпми единичными трубками. Рассмотрим теперь нашу кривую Е и подсчитаем, сколько изобаро-изостернческнх единичных трубок она охватывает.
Предварительно вычп«лим, чему равняется интеграл — ~ ыг(р, взятый по вг!Кпевые движения идьхльнОИ жидкОсти 1гл, ч контуру 1, охватывающему изобаро-изостерическую единичную трубку (рнс. 6!) А()СВ. На линиях ВА и 1аС давленые р== сопя!., поэтому г(Р=О; на линии СВ и=-о!о+ !. р же изменяется от ро+1 до р, поэтому юг(~ == — (гоо '- 1 ~ г(~ -= гоо 1; л па линии АВ ог —..— ооо, р жо изменяется от Ро до ро+ !. поэтому гч гог(Р— — ио ~ г(Р == -- гоо; го око!!чательно Если бы мы ориентировали контур 1 в противоположную сторону, иы получили бы: — — !); !о г(Р =- — 1. ! Итак, интеграл — ~ ыг1р по контуру, охватывающему одну еди- ! ннчиую трубку, равен — 1; при этом, как видно пз чертежа, знак плюс берется в том случае, когда направление стрелки, идущей от птаб р к егабы, одинаково с направлением обхода контура (на рис.
61 обход контура 1 Р с В' совершается по шсовой стрелке, и стрелка от пгас(р к пгаб го идет по часовой стрелке), Знак минус берется в противоположном случае, Будем теперь различать положительные и отрицательные единичные трубки. Смотря Уаа ! по тому, будет ли вышеуказанный интеРис. 61. грал — ~ !ос(р, взятый по контуру, охватывающему трубку, равняться +1 или — 1. Если контур 1 будет охватывать № положительных трубок (или №' отрицательных), то распрострзненный;!о этому контуру интеграл будет равняться № (или — №') ОБРА30ВАние ВихРЯЙ.
ТеОРемл В ВьеРкнесА 165 Поэтому в общем случае, когда контур ь охватывзет ряд трубок как положительнь!х, так и отрицательных, мы можем провестидобавочные прямо противоположные контуры ). (рис. 62) и образовать таким Образом два контура 6' и 1.", причем контур !" охватывает только положительные трубки, контур /." — только отрицательные; при этом очевидно: и тзк как — — ~ ы бр .= Л, г~гьдр — — хг Рис. 62.
-- ~ ы бр =- гч' — М", ь 18. 4) с. интеграл —. ф м г1р представляет разноси числа положительных с щ обаро-изостерических етно!иных трубок, пересекающих контур 1., и числа отрицательных единичных трубок, пересекающих тот же контур. Теперь формула 18.2) может быль переписана следующим образом: — =бу - — М" ду д! (8.О) и сформулирована так: Т е о р е м а В.
В ь е р к н е с а. с7роазводная по вре.пени от Лиркуляиии скорости по какому-либо жидколгу коннгуру 6 равна разности числа положительнь!х и он!рииательных единичных изобаро-изостерических трубок, пересекающих контур Ь. При этом предполагается, что жидкость идеальная и что силы, действующие на единицу массы жидкости, имеют потенциал. Так как (зг !о теорему Ььеркнеса можно еще сформулировать так: производная по времени от потока вектора вихря скорости через какую-либо я.пакую поверхность О' равна разности числа положительных и отрицательных единичных изобаро-изостерических трубок, пересекающих поверхность О. гзе й!' — число положительных единичных трубок. охватываемых контуром ~, а Х" — число отрицательных единичных трубок.
охватываемых тем же контуром, то ВихРевые движения иделльнои 1килкости Гбб !Гл ч й здесь Й вЂ” газовая постоянная, равная в технической системе единиц 29, 27, если температуру выражать в градусах Иельсия и отсчитывать от абсолютного нуля, удельный обьем — в кубических метрах, приходящихся 1ю ! кг воздуха, и р — в кг на ел!-'. Таким образом, при одинаковом лавлении удельный объем прямопропорционален температуре (закон ГсйЛюссака).
Вслелствие большего нагревания от солнца тропические страны теплее полярных; температура воздуха в ншкннх слоях атмосферы тропических стран значительно выше температуры воздуха полярных стран. Что же касается давления, то оно меняется гораздо меньше прн переходе от полярных стран к тропическим. Поэтому по формуле (9.!) мы мо1кем заключить, что удельный объем воздуха в тропических странах гораздо больше удельного объема воздуха полярных стран. С другой стороны, воздух тем разреженнее, чем на большей высоте он находится, поэтому удельный обьем возрастает с высотой. Из сказанного ясно, что изостерпческие поверхности должны подыматься от экватора к полюсу, так как один и тот же удельный объем воздуха встретится на полюсе на большей высоте, чем на экваторе.
Изобарнческие же поверхности мы должны считать приблизительно горизонтальными. Иолучае1ся пересечение изобарнческих (сплошные линии) и изостерпчесенх (пунктир) поверхносзей (ряс, бЗ) и, следовательно, произойдет обра- Лввавввр рис. 63. Итак, пересечение изобарическнх и изостерических поверхност и является причиной образования вихрей. Если 1кпдкость находилась в начальный момент в покое, но изобарические и пзостерические поверхности пересекались, то по формуле (8.5) образуются вихри, которые в моменты, весьма близкие к начальному, будут образовывать трубки, совпадающие с изобаро-изостерическими трубками. Сохли- пения этих ви.сревых трубок, конечно, не будет, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
