Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 27
Текст из файла (страница 27)
е. в следующ щ момечты времени вихревые трубки будут составлены из частиц жидкости, входящих в совершенно другой комбинации, чем в пре.п1- лущие моменты времени. Я 9. Примеры образования вихрей. Дадим несколько примеров образования вихрей. Рассмотрим, например, массу воздушной ат1шсферы беэ водянь1х паров, окружающей землю. Давление )в, абсолютная температура Т и величина ы для сухого воздуха связа ии между собою следующей завищ1- мостью (законы Гей-Люссака и Бойля — Мариотта)! Рв=КТ; (1! 1) !б7 гп ишаны оы лзовлння впю вгт зованпе вихрей. Очевидно, что ягаб р направлен вертикально вниз, гад ы имеет составляющую к югу, поэтому стрелка, указанная на „ертеже, показывает, что образуются вихри, сопровождающиеся циркуляцией следующего вида: воздух течет понизу от северных широт к южным, подымается на экваторе и поверху течет к северным широтам, где опускается, Эта циркуляция представляет собою пассаты н антипассаты тропических стран.
Совершенно аналогично объяснение муссонов (неравномерное нагревание материка и океана зимой и летом) и бризов (неравномерное нагревание суши и волы днем и ночью). Такой же самый случай имеет место при первоначальном образовашш циклона вследствие местного нагревания солнцем, распространенного на большу1о площадь. Изобарнческие поверхности опять идут приблизительно горпзонталыго (рис. 64Ь в то время как кзостерические поверхности Рис. 64. н наретых местах идут низко, а в пенагретых — высоко (ибо в не- нагретых местах у поверхности земли плотность большая, а удельный об,ем мал и делается бол~шим только па некоторой высоте). Таким образом получшотся изобаро-пзостер ~ческие трубки, значит, происходит образование вихрей и, следовательно, циркуляции воздуха. Направление этой циркуляции определяется направлением стрелки от втаб р к атаг)ы, т.
е., как показывает чертеж, у нас образуется восходящее движение воздуха в центре области, нисходящее движение иа гранкцах ее, причем внизу воздух притекает к центру области, наверху — оттекает от центра области. Полученная картина погоков воздуха отвечает случаю циклона. Обратная картина получится, если вначале имело место местное охлаждение большой площади.
Обратимся к рассмо~рению морских течений. И здесь применение теоремы Бьеркнеса об образовании вихрей позволяет разобраться в картине имеющих место потоков воды. Роль неравномерного нагреванья играет здесь неравномерная соленость воды. Более соленая вода оказывается при одинаковом давлении и температуре более плотной. Поэтому, если мы имеем массу воды разной солености, 168 Вихревые ляиження 1!лояльной жидкости 1гл.
в например убывающей в сторону положительной оси Ох (рис. 65), то изостерические поверхности опять будут наклонены к горизонту, причем штабы будет иметь составляющую в сторону убывания солености, в данном случае в сторону позож11тельной оси Оди изобарические же поверхности мы опять можем считать приблизительно гориаонтальными и, следовательно, маей дгаб р направзенным вертикально р - аааег Ы вниз. Направление стрелки от пгад р к вагаб а1 показывает тогда, у" . ч понизу более соленой волы и течеиие поверху менее соленой воды. ага р Примером таких течений могут служиж течения из Средиземного моря в Черное н обратно. Так кзк Рнс.
65. концентрация соли в воле Средиземного моря очень велика, то, но вышесказанному, соленая и тяжелая вола Средиземного моря должна по лну течь из Эгейского моря через Дарданеллы и Босфор в "1ерное море, в то время как наверху должно быть течение менее соленой и потому более легкой воды из Черного моря через Босфор в Мраморное море. Это и имеет место в действительности 1эти течения были изучены С, О. Макаровым).
Аналогичная картина имеет место в Гибралтаре: более соленая вола Средиземного моря течет по лну в Атлантический океан, менее соленая вола Атлантического океана переносится поверхностным течением в Средиземное морс. Рассмотрим теперь пример образования вихрей в том случае, когда сила Р не имеет потенциала.
А именно, рассмотрим двигкение возлуха над землей, Так как земля вращается около своей оси, то мы лолжны рассматривать относительное движение воздуха. В главе второй было выведено уравнение относительного движения жидкости (7.7) 1 тв =-еч — — пгад р — тв,— 2 (егв Х и,). Г г (9.2) Обоаначим относительную шсорость о, просто через и, тогда относительное ускорение св ев аг Далее, тв есть переносное ускорение точки, т. е.
ускорение той е точки земли еИ, в которой находится в рассматриваемый момент времени частица. Но если обозначить через ес перпендикуляр, опушенный из рассматриваемого поло кения частицы на земную ось и имеющий направление от земной оси к частице, то ускорение еве будет равно в а1е)7, тле ы обозначает величину угловой скорости ПРИМЕРЫ ОПРАЗОЭЛИНЯ ВИХРЕП 169 врангеипя земли.
В самом деле, точка земли б)-дет описывать окружность радиуса )с равномерно с угловой скоростью ы. следовательно, с линейной скоростью еэес, и будет обладать золько нормальным (и и) ускорением — — — =-азес, направленным к зеэгной оси.
Итак: й тн,:=- ее%. Огм тим, что этот вектор можно представить в виде градиента Г еЛГГе 1 тэе ьгай1 ( / ' ~ 2 / принимает вид егэ 1 Г егеег т — =-à — — гао р-1- гав ~ —,— ) — 2(ю Х и), ег1 где в> есть вектор угловой скорости вращения земли, направленный по оси земли к северному полюсу (мы пользуемся правой системой координат), так как земля, если на нее смотреть с южного полюса, вращается по часовой стрелке. Прилгнем, что на воздух действует только сила притяжения к центру земли и потенциал этой силы обознзчим через К Р =- — ига г1 (г. '!'огда будем пметгс ЕГР Г ееей- '1 ! — — — габ (е-(-дгаб 1 —,)1 — 2(ю Х ю) — — Ргаг1 р.
лг ь Р Гели положить 2 (9.3) го В' будет потенциалом силы тяжести, слагающейся из силы притяжения к центру земли и центробежной силы, возникающей от вращения земли. Итак, при рассмотрении относительного двиекеиия на вращающейся земле основное уравнение гидродинамикн имеет внд егз $ И,— — — — Ыгаг1 В' — 2 (ь Х чг) — - гац р. (9, 4) Г Йьт так как дгаг( 11 —, ) =.= гг; з самом деле, поверхностями уровня, на которых Йз/2 постоянно, служат цилиндры, осью которых является земная ось; поэтому игаг( )гзг2 направлен по нормали к цилиндру, (2) проходящему через рассматриваемую точку, н имеет вели щчу — — — -)т, дег (дет а следовагельно, угад гт — ) совпадает с гг. Поэтому уравнение (9.2) 'т2) 170 ВихРеВые дВижеиия идглльнОИ жидкости !гл.
ч Р!ю. 66 причем это равенство справедливо как по величине, так и по направлению (например, при расположении векторов, указанном на чертеже, как О' >( т(з', так и и'Е' надо направлять за плоскость бумаги). Очевидно, что (ю,'К и') г(з' представляет обьем того же пзраллелепппедз, что и (ю)сп) ° г(з, и с тем же знаком.
Поэтому (ю )( и) ТТз = (ю К и') . !!г', и значит, ~ (ю Х и) г(з = ф (ю Х и') . Т(з'. ! !. Но по правилу циклической перестановки векторов в скалярновекторном произведен!и имеем: (ю Х т!') Т(з' = ь! (Ф' Х г)з'), Сравнение с уравнением (2.12) показывает, что гт= — егад УР' — 2(ю )ч и), (9.5) и, следовательно, сила тт пе имеет потенциала. Аналогично тому, как из уравнения (8.!) мы получили уравнение (8.2), мы получим для производной от циркуляции скорости по зачкиутому контуру' ь: лГ г 1 — — = — у — А — 2 ~ (ю Х и) дз.
Л~ — 3' Р (9. 6) с с Значение первого члена правой части было выяснено выш~", остается найти значение второго члена правой чзсти. Смешанное произведение (ю )ч и) г(з представляет собои об.ьем парад,телепипеда, построенного на трех векторах ю, О и г(з, взятый со знаком + илн †, смотря по тому, как расположены эти трн вектора. Этот об.ьем !' равен произведению ребра параллелепипеда ю е на площздь поперечного сечения. Спроектируем лии!Ио !. на плоскость экватора параллельно земной оси и обозначим проекцию Е через С', проекции г(з п т! через т!з' и и', ш тогда поперечным сечением зышеупомяиупз! того параллелепипеда будет служить параллелограмм, построенный на г(з' и и'(рис. 66). Ес.чн плошадь, ограниченную контуром б', обозначить через т' и представить вектором Е', то приращение этои площади зз проис!Хуток времени д( представится в зпде суммы параллелограммов, построенных на сторонах гтз' и и'дт, т, е.
8 дь'= ) и'дг )(г(з', откуда —,: — = ) О';Р гьт', !ТТ ПРИМЕРЬ> ОВРАЗОВЛИИЯ ВИХРЕЙ ям и значит, 1 (ю ';с и) 1(л = ~ ю. (и')г',1(з') = ю ° ~ (и'),г(з') = в> — = + -д Ь ле' ( Х т>) 1(л= лг 1 (9. т) где В' представляет плошадь, ограниченную кривой (.', проекцией кривой У. Иа плоскость экватора, и считаемую положительной в том случае, когда направление обхода контура 1.' камгется совершаюшимся против часовой стрелки, если смотреть иа этот контур с северного полюса земли (ибо в этом случае плошадь д' представляется вектором Е', изправ.чеииым к южному полюсу, так же как и вектор угловой скорости вращения земли ю). Итак, вспоминая еше зиачеиие первого члена уравнения (9.6), мы будем иметь; >ГГ „в сП' — — = >»" — Мв — 2е> — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
