Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Тогда через кзжлую точку рассиатриваеиой области будет проходить одна и только одна век~орная линия. Рис. 59. Докажем теперь следующую основную теорему, принадлежащую А. А, Фрилиану'). Т е о р е м а. Условие, необходилгое и достаточное для того, чтобы сохранялись ьак веьнлорные линии вектора а, так и интенсивности векторных трубок, состоит в выполнении ра- венсгнва иа иг — — (а !)о+а!))т о=О (5.1) во всей рассматриваемой области для всех рассматриваемых моментов времени д Доказательство этой теоремы иы разобьем на три части. 1. Покажем прежде всего, что необходииое условие для сохраняеиости векторных линий вектора и состоит в выполнении равенства (5,2) ') Фридман Л.
Л., Опыг пгдроиехаиикп сжимаемой жидкости, ОНТИ, 195 5 В самом деле, пусть МАУ 1рис. 59) есть некоторая векторная линия в момент ~, а М㹠— линия, составленная к моменту Р = г, аг из тех жидких частиц, которые в момент т образовывали линию МЛ'. Пусть при этом точка М перешла в точку М', а бескопечно близкая к М точка М, перешла в точку М!. По условию, 156 викгнвыв движения иделльнои жидкости 1гл, и линия Л'№ есть векторная линия в момент 1', следовательно, вектор а' = а+да касается линии Л'№ в точке Л'. Если мы введем обозначение ог = — Лли Л Л, =йг+г) Ьг. то ясно, что Так как ЛД1 есть векторная линия, то ог Ха=О, или иначе йг=еа, 15.3) (5.4) гле е есть некоторое бесконечно малое скалярное число.
Совершенно аналогично условие, что Л'№ есть векторная линия, запишетси так: (йг+- д ог) Х (а + Фа) = О, или ог Х а -)- й ог Х а+ ог Х да+ И ог Х да =- О. да дт — ВгХ а — — Х ог=О. гй (5.5) Заметим теперь„ что д. дг тй дт — — ог=о —, (5.6) ибо знаки д и В можно переставить гзнак д относится к дифференцированию по времени, а знак Ь вЂ” к дифференцированию вдоль кривой ЛХ); а так как дг — =9, дт то Наг дя дв до дх ду да =до=ах — -4-ду — +йг — =(йг 7)тз, (5.7) и, наконец, по формуле (5.4) даг = е (а 7) е, йг = аа.
дт (5.8) Подставляя эти значения в (5.5) и производя сокращение на е, мы придем к равенству (5.2), что и требовалось докааать. Первый член слева равен нулю в силу (5.3), последний же член может быть отброшен как бесконечно малая величина более высокого порядка, чем остальные члены. Деля остающиеся члены на Ф, мы получаем условие СОХРАНЯЕМОСТЬ ВЕКТОРНЫХ ЛИНИИ 157 11, Пока>кем теперь, что равенство (5.1) есть необходимое условие того, чтобы сохранялись не тол~ко векторные линии вектора а, но и интенсивности векторных трубок. Локазательство протекает совершенно аналогично, нужно только учесть добавочное условие сохраняемости интенсивностей векторных трубок.
Рассмотрим бесконечно тонкую векторную трубку; ее интенсивность равна I = аа, где а есть площадь поперечного сечения трубки в точке М (р>гс. 60). Через промежуток времени Ж векторная трубка займет новое положение, и для ее интенсивности мы будем иметь выражение Р = а'а', Ряс. 60. где а' есть площадь поперечного сечеши трубки в точке М'.
По условию долягно быть >'=У', т, е. аа = а'а'. (5.9) Используем тенер~ условие, что в новом поло>кении векторная трубка заполнена теми же самыми частицами, что и в первоначальном поло>кешш. Масса бесконечно малого цилиндра, вырезанного из в>ихревой трубки и имеющего основанием поперечное сечение трубки а, а высотой данну ММ,.=1ог~, равна т = ра)ог), где р есть плотность среды в момент Г в точке М. Указанный бесконечно малый объем перейдет в цилиндрический объем трубки, поперечным сечением которого будет а', ребром М М> = — 1йг + с>йг), а массой лг' = р'а') Вг+ с> Ьг(, где р' есть плотность в момент 1' в точке М'.
Так как массы указанных двух объемов должны быть одинаковы, то мы будем иметь гл =лг', т. е. ра ( Вг~ = р>а> ~ гг+ Ф Ьг!. Сравнивая зто равенство с (5,9), найдем, что 1вг1 р'~вг-~- д зг1 р (5.10) а а 158 ВихРеВые дВижения иделльной жидкости [гл. у Введем еще, для краткости пнсьма, в рассмотрение новый вектор А=— а (о.!1) тогда мы можем переписать (5.!О) в виде !Ьг! ~зг+лог~ А А' (5.! 2) 8г = ЕА, 8г + г( йг = ВА' = т! (А -+ г(А) = ЕА -+ т! НА. (5,13) Вследствие равенства (5.!3) это последнее соотношение упрощается: д Зг РА м лт (5.14> Применяя формулу (5.7), будем иметь: лА (ог.
7)о= — "л —, л'Г ' н, наконец, пользуясь (5.13) н сокращая на т1, получим: — — (А ° Р) о = О. ВА ч'г (5,15) Итак, мы нашли искомое необходимое условие в следующей форме: — ( — -) — — (а т) о = О. Р Р (5.! 6) Нетрудно преобразовать это условие к Виду (5.1). В самом деле, мы имеем очевидно: Но по уравнению непрерывности ЛР— = — Рейер, лг поэтому — Л- ( — ) = 1 ~ — „-+ а СВ о) . (5.17) где через т) обозначена общая величина предыдущих отношений. Но мы знаем, что векторы 8г и А имеют одинаковое направление, поэтому имеет место не только скалярное равенство (5.12), но н векторное: сохРАняемость ВгктоРных линий 159 Ь 51 Подставляя это значение в равенство (5.16) и сокращая на 1/р, при- ходим к требуемому равенству: — — (а 7) п+ а о1Р т5 = О, па ~й вполне эквивалентному равенству (5.16). 111.
Покажем, наконец, что предыдущее условие является достаточным для сохраниемости как векторных линий вектора а, так и интенсивностей векторных трубок. Построим векторные линии вектора а в начальный момент времени Гв. ПостРоим тепеРь длЯ любого момента вРемени г поле векторз а следующим образом. Берем произвольную точку гИ н проводим через нее векторную линию 1.5 для момента Ге. Пусть жидкие частицы, составляющие эту векторную линию, образуют к моменту вРемени 1 жидкУю линию 5.
и пУсть точка Яе пеРейдет в точкУ М; тогда мы направляем вектор а в точке М в момент времени г по касательной к линии 7., причем приписываем вектору а такую величину, чтобы интенсивность бесконечно малой векторной трубки, охватывающей линию Ее, тоже сохранялась. Построенный вектор а обладзет свойством сохраняемости векторных линий и интенсивностей векторных трубок, поэтому должно выполняться соотношение е'а — — (а 7) и+ а д!н и =- О.
пг Прн 1=г вектор а приводится к а. При этом вектор а, по условию, тоже удовлетворяет уравнению (5.1). Но лифференциальпое уравнение (5.1), будучи линейным относительно а, имеет единственное решение, принимающее в начальный момент времени определенные нзчальные значения. Поэтому вектор а должен совпасть с вектором а и, следовательно, векторные линии и интенсивности векторных трубок вектора а должны обладать свойством сохраняемости.
Итак, высказанная нами теорема доказана теперь полностью. Вследствие важности вектора, стоящего в левой части равенства (5.1), Фридман ввел для него особое название н обозначение, а именно: этот вектор называется полным гельмгольйианом вектора а, обозначается через ла 'пе!гп а = — — (а 7)п+ ас((ччг пг (5.1 8) и читается «гельм вектора а». Итак, необходимое н достаточное условие сохранение векторных линий и интенсивностей векторных трубок вектора а состоит в равенстве нулю гельма этого вектора.
вихвввыв движения идвлльнои жидкости сгл. » ф 6. Уравнения Фридмана. Уравнения Гельмгольца. Напишем основные уравнения гидромеханики идеальной жидкости [гл. !1, (6.4)): де 2 1 — +- пгас1 ( — от) — о )( го1 о = 㻠— — атай р. (6.1) дг 12 го1 о = й. Так как дв дгосе дй дс дс дт и так как го1 ягай сР = О, то в результате получим: — — го1 (о Х Я) = го1 р — го1 ! — атай р), дс! г! дг Р (6.2) Применяя формулу векторного анализа го!(ра) =Что! а+ атайсР )с,' а, легко найдем, что го! !с — Ягай Р ! = — го! исай Р-+ исай — )с' Ягай Р = — —, (птай Р)( 2тай Р).
г! с ! ! 1 Р Р Р Р Точно так же вследствие равенств го1 (а Х Ь) = (Ь . Ч) а — (а . Ч) Ь+- а й!» Ь вЂ” Ь с1!» а й!»1г = й!» го1 о =О легко получим: го1(о )( гл) = (Я Ч) о — (о Ч)Π— за йг» и. Равенство (6.2) принимает поэтому форму — +-(о Ч)Я вЂ” (О Ч)о+-ой!»о=го! р+ —,(атайр)(атайр). дс! 1 Р' Замечая, наконец, что по определению полной производной д!! дгт — +(тг Ч) Я= —, дс сГГ ' Из этих уравнений можно вывести другие, определяющие изменение вихрей с течением времени. Для этого применим к обеим чзстям предыдущего равенства операцию го1; будем при этом пользоваться обычным обозначением теОРемы гельгн'Ольцл 16! вы получаем окончательно основное соотношение — — — (!е ° т) о+И йц о = го! Р+ —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
