Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Определить форму сосуда, употребляемого для водяных часов (клепсндры) Решение. Показателем времени в водяных часах служит высота уровня в верхнем сосуде, которая должна уменьшаться равномерно с постоянной скоростью )г. Обозначая площадь верхнего уровня через 5, площадь малого о1верстия в нижней части сосуда через е и скорость истечении в отверстии— через е (рис. 46), имеем вследствие уравнения неразрывности: 5У = ео.
(10.2) По формуле Торичелли о = )Т2уу, площадь же верхнего уровня 5=их'. Подставляя в (10.2), имеем: гРхт = 5 у 28у, откуда находим уравнение обрззующей кривой 2лет х'=ау, где а= ят(, 2 Рис. 46. 3. Показатгь что прн безвихревом движении с потенциалом р живая сила несжимаемой жидкости„заключенной в трубке тока малого сечения между нормзльными сечениями т = сь р = ст, может быть выражена формулой ! Т= — М(с, — с,), где М вЂ” секундная масса жидкости, протекающей через 2 трубку.
Решение. Если обозначить площади сечений через 5, и 5, то применяя формулу (8.4) к рассматриваемому объему жидкости, имеем: Т= — — р~с,( — ~) 5,+се ( ~) 5т~, так как вдоль боковой поверхности трубки — = О. др дн Замечая, что имеем: 1 Т = — р (о,5,с, — о,5,с,). 2 Но вследствие уравнения неразрывности ро,5, = ро,5, = М и, значит, 1 Т= — М(с,— с,). 2 4. Из несжимаемой жидкости, заполняющей все пространство, внезапно удаляется сферический объем радиуса с.
Определить время, потребное для заполнения образовавшейся полости, считая, что в бесконечно удаленных точках действует постоянное давление Р, и что никаких других снл н жидкости не приложено. Решение. После образовзния полости частицы жидкости потеку~ к центру по радиусам, и поле сноростей будет симметрично по отношению 120 носстгпщив слкчли лвижвния илвлльнои жидкости !гл. гк к центру полости.
Взяв последний за начало сферических координат, имеем одно уравнение движения вида Эйлера для точки, удаленной иа расстояние г', скорость которой обозначим через о', а давление через р'. до' , до' ! др' дт дг' р дг' ' Условие несжимаемостн дает: . 2 Р(г) (10.3) так как в любой момент рассматриваемого неустановившегося движения объем протекающей жидкости через сферу любого радиуса г' ие зависит от последнего, но является некоторой функцией времени, ибо движение не> становившееся.
Из последнего соотношения Р (1) 2 .2 взяв частную производную по Г н подставляя в первое уравнение, получаем: Р' (1), де' 1 др', др — — +о' = — — —, где Р'(г) = — —. г'т дг' а дг' Интегрируя по г' в пределах от со до радиуса г заполняющсйся полосгн (г < с), имеем: + от О (Г) ! т Ро (!0.4) г 2 э где о означает скорость у поверхносж1 стягивающейся полосни давление иа этой поверхности равно нулю, так же как и скорость в бесконечности. Написав соопюшеиие (10.3) для частиц поверхности полости гте = Р (() и взяв полную производную по й имеем; дг т до л с(е аг т э до Р' (() = 2ге — — + гт — = 2го о + гл — — = 2го'+ г'и —; Й с(Г Аг д( дг ' дифференциальное уравнение, связывающее Рэ 3 1 дот рэ — или — — о' — — г — = — (10.5) Р 2 2 с(г р или, по разделении переменных, Ы (о') дг 3оэ 2р, г Интегрируя в пределах от некоторого г до с и замечая, что в начале двткения при г =.
с скорость о = О, находим: и г или д(о') Р с(г о Зо'+— 2рэ I у подставляя в (!0.4), получаем оиг: 2 — 2е' — го — + — „о' дг 2Рэ ' — — — — =- 3!п —, йрэ / 127 УПРАЖНЕНИЯ а ш! откуда 2ро (сто 2ро г(г / 2р, (с' р (г! р т(( )( Зр Разделяя переменные и интегрируя в пределах от начала движения (=0 до конца ( = -., когда будет г = О, получаем: о Вводя подстановку г = си, находим: з / Зр — с о( р ! ия(! „о) т,(и тра Полагая, далее, и = л", приходим к интегралу Эйлера вида В (р, «): 1 / Зсор 1 (' По известному свойству В (р, д) =— г(р) г(е) г(р+ д) имеем: — ' (-)'(-) плп, так как Г ! †! =- )' т:, а 1'1А †! = — 1' 1А †!, то окончательно '12! ' ' '13! 3 (3!' 5 5.
Определить давление при взрыве сферической бомбы внутри несжимаемой жидкости в частицах жидкости, непосредственно прилегающих к поверхности бомбы. Решение. Обозначая через р искомое давление и повторяя ход решения предыдущей задачи, приходим к уравнениям, аналогичным (10.4) и (10.5), с той разницей, что теперь на сферической поверхности р не раино нулю р'((), 1 л р. р, Но 1 л + сл о н 2с,о 1.и + с,о о (Рб0) г 2 р р г(г 2 р о ' откуда можно найти р в зависимости от о и г. Можно выразить р в функции от г н (.
В свмом деле, замечаем, что о( (го) о(г ,.12 (го) Фо, т(о — = 2г — = 2го и что — = 2о'+2г — = 2о'+ 2го —, е(( т(( г((о г(( т(г 128 нгостсишиг сль'!ли движения идвллш!ои жидкости !гл. Оо откуда т(о 1 дт (гт) — го — = о' — —— дг 2 Игз н соотношение (10,6) приводится к виду 1 Р(г') 1, Ра Р 2от+ от „! от а 2 ФР ' 2 а р откуда Р Ра+ — ~ ~~ — )1 ° 6. Показать, что если река ил!ест закругление, то у берега А с внутренней стороны закругления скорость течения больше, а уровень ниже, чем у берега В с наружной стороны (рис. 47).
Решение. Считая движение установившимся и безвихревым, примем пентр кривизны закругления струи у точки А за начало цилиндрических хоординат г и о, направив ось Ол вертикально. Тогда проекции скорости о на оси цилиндрических координат будут: ! от=О; о =о; о =О. (10.7) Вспоминая выражения для проенцнй (т~ Гг) вихря на осн цилиндрических координат [см. (й 7) главы В) 1 Где.
д(тот) ) г А (го! о), = — [ д до дг дог дол Ггт (го! о) дл дг ' Рнс. 47. 1 Г д(го ) до,1 (го! о) = — !ь — — — — т! г 1 дг дт ) и выражая, что движенве безвнхревое, находим в силу (10,7): д(го,) д(го,) Кроме того, уравнение неразрывности, написанное в цилиндрических координатах; ( г) 9 2 ' + — — '+ — '=о, г дг г до дл дает дог д (го) — =0 или — =О. дт = дт Танин образом, л го =- л = сопз! ., о = г Зто соотношение показывает, что при правильной форме закругленна, когда оба берега у точек А и В имеют общий центр кривизны, тая что г» > г„, — будет од < од. вввдаиив а и) На основании же интеграла Бернулли — Эйлера, называя через Е и 2 высоты уровней в точках А и В, имеем у поверхности: 2 2 "л "в Е + — =2 + —, л 2аг в 2я ' так как давления у поверхноств одинаковы (атмосферное).
Из последнего соотношения заключаем, что сл~лв 7. Показать, что если несжимаемая жидкость имеет установившееся безвихревое движение, причем внешние массовые силы обладают потенциалом, то давление р удовлетворяет неравенству дар дар дар т р= — + — + — <о. дхт дуя для Указания. Нужно предварительно непосредственкым вычислением показать, что 7'1о') > О, где о — скорость, а затем применить оператор Лапласа к интегралу Бернулли — Эйлера, 8. Показать, что в установившемся безвнхревом движении несжимаемой жидкости, при котором траектории частиц суть плоские кривые, параллельные одной и той же плоскости 1плоское движение), кривизна К линий тока выражается формулой Ф( — +)г) н дл где р — давление, р — плотность, У вЂ” потенциал внешних массовых сил, дн — элемент нормали к линии тока, взятый в направлении от центра кривизны.
К Указание. Применить ход решения задачи б в из формулы и = —, где г ' г — радиус кривизны, получить: (2 ) о' дл г' после чего использовать интеграл Бернулли — Эйлера. Б. ПЛОСКОЕ БЕЗВИХРЕВОЕ ДВИЖЕНИЕ В 11. Введение. Движение жидкости называется плоским, если все частицы, лежащие на одном и том же перпенликуляре к некоторой неподвижной плоскости, имеют одинаковое движение, параллельное втой плоскости. Очевидно, что в этом случае движение будет двуразмерным и достаточно рассмотреть движение в плоскости Оху, принимая за нее ту плоскость, параллельно которой совершается движение. Говоря в дальнейшем о потоке жидкости через некоторую кривую в плоскости Оху, мы будем под последним понимать поток через д Зак.
1190 13О поостнншие случАН дВижения иделльнон жидкости игл )о цилиндрическую поверхность, для котороИ данная кривая служит направляющей, образующие параллельны оси Ог и высота равна единице. ф 12. Функция тока. Не делая пока предположения об отсутствии вихрей в жидкости, можно показать, что уже одно уравнение неразрывности налагает на поле скоростей условие, полдающееся в плоском движении простому кннематическому истолкованию. В самом деле, уравнение неразрывности дает для несжимаемой жидкости дот доу дох д ( — о),) — -+ — У =- О или иначе дх ду дх ду Если взять дифференциальное уравнение линиИ тока дх ду — = — или — о г(х+охау=- О, Ох 1'у то уравнение неразрывности (12.1) показывает, что левая часть последнего уравнения представляет собой полный дифференциал') некоторой функции ф (12.1) г(ф =- О, (12.2) так что о = — —, — о = —.
(12 3) дф дф ду' У дх' (1 2.4) ') В случае неустаноаившегося лввженвя время Г рассматривается кая параметр. Функция ф(х, у) носит нззваняе функ- ции тока, так как на каждой линии 0 х тока она сохраняет свое постоянное Рис. 48. значение ф(х, у) = С, различное вообще для различных линий тока. Если между лвумя точками А (х,, у,) и В(х, уз) провести некоторую кривую (рис, 48), то нетрудно усмотреть, что поток жидкости через эту криву)о выразится разностью значений функций тока в точках А и В, независимо от формы кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
