Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Таким образом, казалось бы, можно было получать раба~у без затраты ввергни, т. е. можно бы 0 осуществить регре~ииа щобйе. Объясвитгч почему цилиндр не вращается, Рис. 34. Рис. 35. Отвея. Каждая сила давления, действу1ощая на элемент поверхности цилиндра, направлена по радиусу и не Лает момента откос щелыю оси. Совокупность всех давлений привод|пса к одной равнодейс~вуюпгей (рис.Зз), величина которой Р = -; — ааа TЫа'+ (бв», 2 где а — радиус цилиндра, А — глубина оси от приведенного уровня. Сила эта, лежащая в вертикальной плоскости, перпендикулярной к осн и делящей ее пополам, проходит через ось цилиндра н т-очху К с иоорлниагаии 4а а' х» = —, Зя' ' ЗЛ Б.
РАВНОВЕСИЕ ПЛАВАЮЩИХ ТЕЛ ф (Е Условия равновесия плавающего тела. Закон Архимеда дает простой критерий для суждения о поведении тела, погруженного в жидкость. Совокупность гидростатических давлений приводится к одной силе, равной весу вытесненного объеиа жидкости, приложенной к центру тяжести об.ьема, погруженного в жидкость, и направленной вертикально вверх. Если тело це тиком погружено в однородную жидкость и однородно, то центр тяжести всего тела совпадает с центром тяжести погруженного объема и тогда, очевидно, для равновесия необходимо я достаточно, чтобы плотность тела р, равнялась плотности жидкости р. Если р, » р — тело тонет, если р, С р — тело всплывает.
Если неоднородное тело погружено в жидкость, которая также может состоять из горизонтальных слоев ПОВЕРХНОСТЬ СЕЧЕНИ!3 различной плотности, то упомянутые центры могут не совпадать, и тогда для равновесия необходимо и достаточно. чтобы эти центры лежали на одной вертикали и чтобы средняя плотность тела равнялась средней плотности жидкости в объеме, занимаемом телом.
Для равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости, очевидно, необходимо и достаточно: 1) чтобы вес вытесненного объема жидкости равнялся весу тела и 2) чтобы центр тяжести объема, погруженного в жидкость, лежал на одной вертикали с центром тяжести всего телз. $ !2. Поверхность сечений. Необходимым (но не достаточным) условием равновесия тела, плавающего на поверхности жидкости, является, таким образом, постоянство объема т, части тела, погруженной в жидкость, считаемую однородной. Условимся называть плоскос1иью плавания всякую плоскость, отсекаюшую от тела упомянутый объем т, А - У' а площадь сечения назовем плогиадью = -.
й плавания. Огибающая всех плоскостей ,==:Гв плавания называется поверхностью сече- У ~ ний. Легко заметить, что поверхность сечений есть не что иное, как геометрическое место центров инерции площалей плавания. В самом деле. примем какую- 1 нибудь определенную плоскость плавзния 1 за плоскость Оху (рис. 36) и возьмем 1 за ось Оу линию пересечения этой плоскости с произвольной соседней пло- Рис. Зб. скостью плавания АВ, наклоненной к первой плоскости под бесконечно малым углом 0. Положение начала координат на прямой уу' остается пока неопределенным. Так как обе плоскости плавании должны отсекать от тела одинаковые обьемы„ то клиновидные обьемы Ахуу' и Вх'уу' должны быть равны, что с точностью до бесконечно малых второго порядка может быть выражено равенством — лл1хду= ~ ~ лдхду, пл. «'уу пл.
хуу где в есть координата точек плоскости АВ; при этом первый интеграл распространен на части х'уу' площади плавания, где координата г отрицательна, вследствие чего для выражения положительной величины — объема — перед интегралом взят знак минус. Переписав предыдущее равенство в виде 7 гпдгостлтнка 1гл. гп где интеграл распространен на всю площадь плавания, в замечая пз чертежа, что л = х 1д 8, получаем: 1К8 ~ ~ хс1хг1у = О, откуда заключаем, что координата х, центра инерции площади хух'у', вырзжающаяся формулой ~ хлхгГу пл. хух'у' равна нулю, т.
е. центр инерции площади плавания должен лежать на прямой пересечения взятой плоскости плавания с соседней плоскостью, Так как положение последней произвольно, то все линии пересечения должны прохолить через одну точку — центр инерции рассматриваемой пющади плавания хух'у'. С лругой стороны огибающая поверхносчь должна касаться каждой нз плоскостей плавания, и точку касания на некоторой плоскости плавания можно рассмачривать как предельное положение точки встречи лвух линиИ пересечения взячой плоскости с двумя лругими бесконечно близкими плос~ остями плавания.
Таким образом, мы прихолнм к заключению, что поверхность сечений можно рассматривать как геометрическое место центров инерции различных площадей плавания. ф 13. Поверхность центров. Каждой плоскости плавания соответствует определенная форма постоянного объема, отсекаемого ею от тела, и значит соответствует определенное положение центра тяжести этого об.ьема. Геометрическое место центров и тяжести объемов, отсекземых различнымп пло- И, И скостями плавания, носит наавание поверхности л 8 Кенлгроз. Согласно сказанному в $ 11, рззыи, и, скание положения равновесия плавающего тела сводится к отысканию на поверхности центров такой точки, чтобы прямая, соединяющая ее Ю с центром тяжести всего тела, была перпендиРис.
37. кулярна к соответствующей плоскости плавания. Это отыскание облегчается следучощим свойством поверхности центров: можно убелиться, что касательная плоскость к поверхности центров параллельна той плоскости плавания, которая соответствует точке касания. В самом леле, если пересечь определенную плоскость плавании АВ (рис. 37) другой произвол~ной бесконечно близкой плоскостью плавания А'В', то, как мы вилели, обьемы клиновидных частей АСА' и ВСВ' будут одинаковы. Пусть центры тяжести этих объемов булут К, и К,, а К вЂ” центр тяжести объема АСВ'О. Тогда центры тяжести Н, и Н, одинаковых объемов АВ0 и А'В'О, отсекаемых плоскостями плавания, будут лежать на прямых ККз и ККп РАДИУСЫ КРИВИЗНЫ ГЛАВНЪ|Х НОРМАЛЬНЪ|Х СЕЧЕНИЙ 1И и положение точек Н2 и Н, опрелелится из известных соотношений; КН, обьем ВОВ' КН, обьем АОА' КК, обьем АВО ' КК, объем АВО ' откуда заключаем, что КН2 КН, КК, =КК, и, следовательно, 2 ||К|К2' В пределе, когда А'В' сольется с АВ, секущая прямая иа поверхности центров Н,Н, примет направление касательной к этой поверхности, а прямая К,К2 булет лежать в плоскости плавтния.
Следовательно, получается, что произвольная касательная прямая к поверхности центров будет параллельна плоскости плавания, что и оправдывает наше утверждение. Таким образом, разыскание положений равновесия плавающего тела сводигся к залачс о проведении из центра тяжести всего тела нормалей к поверхности центров. Заметим, что прелыдущее геометрическое рассмотрение приводит иас к заключению о том, что поверхность центров есть поверхность, выпуклая в каждой своей точке, т. е. что эта поверхность по соседству с точкой касания лежит вся по одну сторону от касательной плоскости в любой ее точке. В самом деле, так как нан|~,'КЗК1 и так как К, выше К2, но и Н, будет выше Н2, предельное же направление Н,Н, горизонтально.
Это означает, что если в Н, провелена касательная плоскость, которая будет горизонтальна, то все точки поверхности центров по соседству с Н, будут лежать выше, т. е. расположатся по одну сторону от касательной плоскости. Последнее можно, как известно нз геометрии, формулировать еще иначе, указав, что нндикатрнссой для поверхности центров в любой точке служ|п эллипс, т. е. что всякая секущая плоскость, бесконечно близкая и параллельная касательной плоскости, будет пересекать М 0 У поверхность центров по бесконечно малому ,г эллипсу. н ф 14. Радиусы кривизны главных нор- в, мальных сечений поверхности центров.
Фиксируем некоторую плоскость плавания АВ (рис. 38) и проведем в ней оси Ох и Оу, з' взяв начало координат в центре инерции пло- Рис. 33. щади плавания; соответствующее положение центра тяжести погруженного обьема обозначич через На с коорлннатаьш ха, Уа, Яа; пРоведем лРУгУю плоскость плаваниа А'В', близкую к АВ, и отметим соответствующий ей центр Н с координатами х, у, л, Положительную ось Ол будем считать направленной 1ОО Гидвостлтика (гл. !и вертикально вверх. Уравнение плоскости А'В' может быть написано в виде х = ах+ ру, где а и р — произвольные малые параметры, так как прн а=О и р = О получаем г = Π— уравнение плоскости АВ. Для определения координат точек Н и Нз на поверхности цент.
ров служат известные формулы 1 х= — / х~й, тО 1 /' ч 1 /' и уз= где т и тз означают равные обьемы А'В'г' и АВг'. Отсюда находим: '(х хо) / хг(т т(у уо) — / уггт т(в — во) — ~ х'(т причем последние интегралы распространены только на клиновидный объем межлу плоскостями АВ и А'В'. Выражая элемент этого последнего объема пт через х г(х ~(у, где х — координата переменной точки плоскости А'В', мы приведем последние формулы к виду т(х — хз)=~ ~ ххг(хеу= а ~ ~ х'г(хду+р ~ ~ хуг(хну, т(у — уо) = ~ ~ ухг(хну=а ~ ~ хуг(хг(у+р ~ ~ утс(хс(у, т(г — г ) = — / / гтг(хну= — аз / / х'г(хау+ + ай / / хуг(хс(у+ — йт / ~ узлхс(у (14.1) где все двойные интегралы распространены по площади плавания АВ 1 коэффициент — поставлен потому.
что координаты центра тяжести 2 1 элементарного объема хс~хду суть х, у, — г). 2 Вводя обозначения: для момента инерции площади плавания относительно Оу: оадигсы кеивизны главных новиальных сечении 1О1 для момента инерции плошади плавания относительно Ох: А = [' [ у (х (у, для центробежного момента: Р= ~ [ хуг(хг(у, перепишем предыдушие формулы в виде: (х — х,) =- Вса+ Гр, т(у уо) = Ва+ 1 [) ; (з — го) == — (В'аз+ 2Ре~+ А'Ре), 1 о 2 (1 4.2) (а хо) =,1 'В Во [А (х хо)о — 2В(х — х )(У вЂ” У ) + В' (у — Уо) [. (14.3) Последнее уравнение упрошается, если за оси Ох и Оу взшъ главные оси инерции плошади плавания АВ; иногда, как навестио, будет В=О, а А' и В' превратятся в главные моменты инерции А и В, и уравнение (14.3) примет вид 2(з ао)= В (х хо) + А (У Уо) ° Если, наконец, при сохранении направления осей перевести начало координат в точку Но(хо, уо, хо), то уравнение поверхности центров еше более упростится и примет вид 2л = — хо+ — уа.
В А С другой стороны, из геометрии известно, что если взять начало коордапат в точке касания, а оси Ох и Оу в касательной плоскости, иапрзвив их по главным нормальным сечениям, то уравнение всякой поверхности вблизи точки касания представится в виде 2х = ~~3 ~) хо-+(~~ ~) уе, (14. б; причем радиусы кривизны главных нормальных сечений Й~ и !се вы. рожаются формулами откупа, решая первые лва уравнения относительно и и р и подставляя в третье, получаем уравнение поверхности центров по соседству с точкой Но: 102 Гидвостлтикл 1гл гц Сравнивая уравнения (14.5) и (14.6), приходим к зак:почению: 1) что главные нормальные сечения поверхности центров параллельны главным осям инерции площади плавания, соответствующей точке касания; 2) что радиусы кривизны главных нормальных сечений связаны с главными моментами инерции плошали плавания простыми соотно- шениями (14.
7) 77! 71/" 772 72/т х ° у 7~ Гя ' — з= — (ч — к)+- И у1 115.1! гдв $, 'гп 'ч — текущие координаты. Обоаначив через ~Х длину перпеп. ликуляра ОР. опушенного ив точки С на вту касательную плоскость, (7, обозначает либо А, либо В, а тогда 7, соответственно В или А). 5 15. Устойчивость равновесия, Рассмотрим вопрос об устойчивости равновесия лишь по отношению к таким перемещениям, которые выводят из равновесия плавающее тело с сохранением объема, г погруженного в жилкость.
Такие 0 перемещения, как было показано в ф 12, сводятся к повороту тела вокруг горизонтальной осн, лен' жащей в плоскости плавания н ч,п проходящей через центр инерции У площади плавания. Вопрос об устойчивости рзвновесия по отношению к перемещениям нного вида очевиден, так как по отношению к любому вертикальному Рис. 39. поступательному перемещению равновесие всегда является устойчивым, по отношени.о же к любому горизонтальному поступательному перемещению и по отношению к любому повороту вокруг вертикальной оси — равновесие плавающего тела будет безразличным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
