Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Обращаясь к рассмотрению устойчивости равновесия прп перемещениях, не меняющих вытесненного объема жидкости, воаьмем начало координат в центре тяжести Нз объема, погруженного в жилкость (рис. 39), и направим ось Ов вертикально вверх. Тогда, прп равновесии тела, плоскость Н,ху будет касате.тьной к поверхности цен. тров, и коорлинаты центра тяжести всего тела С будут О, О, я. Взяв на поверхности центров точку Н, близкую к Нз, провелем к ней касательную плоскость, уравнение которой на основании (14.5) будет иметь внд устОйчиВОсть РавнОВ>.сия 1О3 а >31 имеем по известной формуле впали>пческой геомегрии: тм> у2 а — а+ — +— >! —— тел- т'у' Разлагая множитель 1+ — --.+ — в ряд и улержнвая в нем ~г ' )д ~ > я и при дальнейшем умно>кении члены наинизшего порядка малости относительно малых величин х и у, последовательно находим, применяя еще уравнение (14.5)> — — т>у> г~, (15.2) Применим теперь критерий Дирихле для суждения об устойчивости равновесия; для того чтобы равновесие тела было устойчивым, достаточно, чтобы потенциал сил, прило>кенных к телу, имел минимум и положении равновесия.
Силы, приложенные к телу, сводятся к двум вертикальным силам: силе вес> (,>, приложенной к точке С и папствующей вниз, и равнодействующей Р п>дростатнческпх давлений, приложенной в центре тяжести погруженного обьсма и действующей Вверх; при равновесии тела Р— — =Я, причем раащ>ство сохраняется ири перемещениях тела, ие изменяющих вытесненного обьема. После, такого перемещения центра >та в положение гт' касательная плоскосгь (15.1) сделается горизонтальной, а отрезок СР— вертикалы>ым, и если обозначить после перемещения вертикальные координаты точек С и Р через г' н а', то будем иметь а — 3 =г>.
(1 5.3) Потещшал сил, приложенных к телу при напрзвлешщ оси Ог вверх, вырез>пся, как известно пз механики, формулой >шн в силу уравнений (15.2) и (15.3): !гл. !ц гпдгостлтпкл !04 'т Из последнего выражения видно, что если разности — ' — г и — ' — г будут одновременно положительными, то значение потенциала )с=Рх в положении равновесия (х = О, у = О) будет являться минимумом, и тогда в силу критерия Дирихле рассматриваемое равновесие будет устойчивым.
Точки, отложенные вверх по вертикали Н,С в расстонпии 1!)т и уг)т от Н„, носят название большого и малого метацентров (считаем У, )!т). В силу равенства (14.7) можно еще определить метацентры как центры кривизны главных нормальных сечений иоверхности центров. Таким образом, мы приходим к выводу, что положение равновесия плавающего на поверхности жидкости тела будет устойчивым по отношению к повороту вокруг горизонтальной оси, не меняющему измешенного объема жидкости, если центр тяжести тела, который находится в положении равновесия на одной вертикали с метацентрами, лежит ниже нижнего (малого) из них. й !6, упражнения. 1 Однородное село плотности щ имеющее форму параболонда вращения х'+ уг = 2иг, усеченного плоскостью, перпендикулярной к оси на расс|ояннн Л от вершины плавает на поверхности однород- нон жидкости плотности р так, что ось параболоида Ю вертикальна я вершина обращена вниз.
Определить глу- бину е погружении вершины. к Олшет е = л ) р/а. 2. Опрелелить поверхность сечений для трехгран. ч н ной однородной призмы плавающей так, что ребра й призмы остаются горизонтальными. Решение. Из условий задачи очевидно, что поверхл ность сечений представляет собою цилиндрическую поверхность, образующие которой будут параллельны Рис 40. ребрам призмы, поьтому достаточно определить внд направляющей кривой в сечении АВС, перпенднкуляраом ребрам (рнс 40) !!усть Р(7 есть след плоскости плавания тогда, если взять прямые АВ н АС за носоугчльные осн х н у с углом прн вершине 0, то условие сохраняемости погруженного объема дает: ! площадь Арсу сопя!. или — ху ып 6 = сопя!. 2 Ф откуда ху = с', (16.1) где с — постоянная, определяемая из условия равновесия 1 .
1 — аху ып 6 = — чаЬ в!п 0 2 2 (где р н а суть плотности жядкости н тела, а а и Ь вЂ” длины сторон АВ и АС) или с'р = аЬч. (16.2) Остается напти уравнение огибающей прямых РЯ; уравнение втой прямой есть — + — =1 х у УПРАЖНЕНИЯ 105 4 «61 где -. и «) — текущие координаты. Выражая у через к на основании (16.1) и дифференцируя затем по параметру л, имеем последовательно: $ чх — + — — =1; л с' — + — = О. х ст (16.4) А Рис. 41 1 2 1 т' 2 — аб — а — — аз ~ — — и 23213)2аЧ 5 3 3 -1 в(«(с + л) — 1 ль(с — а-) у В 3 В Исключая из последних уравнений параметр л, находим уравнение огибающей 4:.
=с', чта дает гиперболу, асимптоты которой суть АВ н АС. 3. Определить поверхность центров в условиях предыдущей задачи. Решение. По известному свойству гиперболы, точка касания К будет делить пополам отрезок касательной Р© заключенный между асимптотами; центр же тяжести измещенного объема жидкости буде~ совпалать с центрам тяжести Н площади АРО среднего перпенликулярнаго сечения. Последний же лежит, как известно, на прямой АК на расстоянии т1« АК от верю««««ы; следовательно, координаты 1« и «)ь точки Н будут: ту с где '- и ч — координаты точки К, удовлетворяющие уравнению 4':Ч = с'. (16.3) Выражая 3 н Ч через $« и Пь находии уравнение кривой центров 9с«ч« = с', что выражает гиперболу, подобную (16.3).
4. Определить поверхность сечений и поверхность центров для четырехгранной призмы прямоугольного сечения, плавающей так, что ребра остаются горизонтальными. Решение. Рассматривая аналогично прелыду- у щему среднее перпендикулярное сечение АВВА р С (рис. 41), без труда заключаем. что все возможные положения плоскости плавания РО будут ()' пересекаться в алией точке К в середине Р(т.
р Следовательно, в этом случае кривая сечений вырождается в точку. Лля определения вида крнвои центров отметим центр тяжести Н измещен- н' нога объема в том положении призмы, когда Л грань АВ горизонтальна, а значит, и параллельна тт плоскости плавания Р«е. Взяв точку Н за начало коорлинат, проведем ось Нл параллельно грани АВ Рассматривая некоторое соседнее положение плоскости плавания Р'О' и аваля обозначения РК= КО = а, РР' = («, КН = с. площаль РОАВ = В, имеем для коарлкнат л и у нового положения цеитрз тяжести Н' очевидные формулы: 166 гидростлтикл П Л !!! Исключая Ь, находим: 4влу тт— 35 илп, заменяя Я через 4ас; е'у х' = —, Зс ' т.
е, кривая центров есть парабола. 5. Определить поверхность сечений н поверхность центров для плавающего однородного кругового конуса. Решение. Пусть АВВЕ будет одна нз плоскостей плавания (рнс. 42); эта сечение есть эллипс. Проведем в последнем главные оси АВ = 2а и ОЕ = 2Ь.
г Возьмем ось конуса за ось Ое, вершину — за начало координат и направим ось Ох в плоскости ОАВ. У Обозначив через р перпендикуляр ОК на плоскость плавания, выразим условие йостоянства вы геснеинога объема жидкости: ! 3 — р яаЬ = сапы. Произведение ра выражает площадь ОАВ, которая может быть иначе выражена через 1 Рис. 42. — 1,1, э)п 2В, где 1, = ОА, 1, = ОВ н Э вЂ” угол между осью конуса и образующей. Таким образолл, предыдущее соотношение примет вад после разделения на постоянные множители: 1,1, Ь =- сопя!. (! 6.5) Покажем, далее, что малая полуось Ь = яп ОР~1!1л. В самом деле, так кан эта полуось параллельна осн Оу, то Ь = у .
Если сг уравнение конуса есть хт = Ьл 1хт+ у'), где Ь=с!РЬ, та лля точки Еп 2 2 у, = — — хтз, или, замечая, что х = х и л = е, имеем. е я 'а С 2 С' Ьл Так как точка О есть середина АВ, то хл+ хп ел+ ав с 2 ' с 2 Чтобы найти координаты точек А и В, ищем пересечение прямых ОА и ОВ, уравнения которых в плоскости Охе суть е=дл, = — Ьх УПРАЖНЕНИЯ 161 а ы1 с пряною АВ, уравнение которой в нормальной форме будет ах + рл = р, где а и Р— косинусы углов, образованных перпендикуляром ОК с осями Ол н 0», так что «2+гав = 1. Находим: др а+ дт Р л а-3- Дз ' Р в а Дв;"в х,= — — р Р явяв — ав ' с йврв ав и тогда (В аа Р )в Й2422 — ат С другой стороны, имеем; р'1 ).д 14= г лл+зл= — Р) а+ Й'Г 1,= р~,+ 2,= )41 -~.
дв да — а )4(412= Р=6)41+ай=6/21п0, )в 1+ Да )' явяв — ав откуда а = 21п 6 )вв(,(ю Вставляя последнее выражение в (16.5), заключаем, что вв (1412) сопят или 1412 сопэ1 (16.6) (2+ 62+ «2 Как было показано в задаче 2, огибающая семейства прямых АВ, обладающих свойством (16.6), есть гипербола с асимптотамн ОА и ОВ. Таким образом, приходим к заключению, что поверхность сечений есть часть поверхности двуполого гиперболоида вращения, которого будут касаться различкые плоскости плавании своими центрами С.
Так как центр вытесненного объема Н лежит на 2/4 отрезка ОС, то заключаем, что поверхность цектров есть подобный гиперболоид вращения. 6. Определить поверхность сечений н поверхность центров для однородного эллипсоида. Решению Найдем решение задачи сначала для однородного шара с радиусом, равным единице: ПидноотАтиКА !Гл, ап где г=ОАа, !=ОМ, и = ОЬВ ЬЕ=У1 — '. Выполняя интегрирование, находим: — к(! — гт)(2+г) ="..
1 3 (16.7) Рис. 43. Положение центра тяжести Н отсеченного объема найдется по известной формуле: ки (! — ит) ати или — к (1 — гт)т 1 3 — )а (2 + г) 4 (2 + г) (!б.В) Следовательно, поверхностью центров будет служить концентрическая сферическая поверхность радиуса ат. Обращаясь к эллипсокду хт ул — + — + — =» аз Ьл с' произведем преобразование к новым переменным 6, т), ч по форлаулам х=а(, у=эта л=сй Такое преобразование выражает деформацию, складывающуюся из сжатий вдоль осей Ох, Оу, Ол с коэффициентами а, Ь, с.
В результате сжатий эллипсоид перейдет в шар сл+ Пт+ (3 ! объем которого будет в аЬс раз меньше объема зллвпсонда. Если плоскость плавания отсекала от эллипсоида некоторый объем (г, то от шара она будет отсекать объем (г)аэс. Для шара поверхность сечений и поверхность центров суть концентрические сферы, радиусы г и 77 которых найдутся нз соотношений (1 — г)' (2+ г) = —, тс =— 3(г 3 (1+г)' яаЬс ' 4 (2+ г) ' Очевидно, что огибающей плоскостей плавания РО, отсекающих от шара некоторый объем т, будет поверхность концентрического шара (рнс. 43), радиус которого найдем из соотношения М к (1 — аат) а(н = -., а УПРАЖНЕНИЯ а !6,' Возвращаясь к прежним переменным х, у, х, т. е.
совершив обратную деформацию растяжения, мы приходим к заключению, что для вллипсоида поверхностямн сечений и центров будут служить поверхности подобкых эллипсоидов: хт ут + — =1 (аг)' + (Ьг)' + (сг)' х' , у' — т — — т — = 1. (аВ)' (Ьгс)' (сй)' 7. Определить поверхность центров для прямого однородного цилиндра произвольной формы сечения. Ошалев. Элл~апический параболонд х2 у2 А ' В )г Рис.
44. если начало координат взять в центре инерции О площади перпендикулярного сечения М22' (основания цилиндра) и оси Ох и Оу направить по глав. ным осям инерции площадк зтого сечения (рис. 44); А и В суть главные моменты инерции площади: А= ~ ~ хтг(хну, В= ~ ~ у22(хс(у; с — отрезок Ол до плоскости плавания; )г — измещенный объем МРОЬГ; прн постоянстве Р остается постоянным н отрезок с. ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ ПРОСТЕЙШИЕ СЛУЧАИ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ИНТЕГРАЛЫ БЕРНУЛЛИ И КОШИ И 1. Установившееся движение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
