Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В этом случае п>дростатнческие давления представляют собою систему параллельных сил, действующих в одну сторону и перпендикулярных к плоскости стенки. Такая система приводится к одной равнодействующей, рав- ной арифметической сумме всех й х сил и приложенной в центре па- I э Р э раллельных сил. Для определения равнодействующей давлений, при':»- .М р з ложенных к площадке 5, плоскость которой >,) наклонена к горизонту под у~лом 9, возьмем начало координат в плоскости прил(г> г' веденного уровня >ж зинин переРис. 29. сечения с плоскостью площадки, приняв линию пересечения за ось Оу' и направив ось Ог' вертикально вниз; кроме того, в плоскосги площадки проведем вспомогательные осн Ох н Оу, совместив Оу с Оу' (рис.
29). Тогда формулы (6.3) для величины равнодействующей примут вил: ЗАКОН АРХИМЕДА 0 з1 Рк'.— — ~ х'рд5=-ур ~ х'г'дЗ, 5 5 Ру,' = ~ у'рдЯ=-йр ~ у'л'дЯ, Рг„'= ~ г'р дЗ = др ~ г" ~Ю. (7.2) Координаты той же точки хц, уц, ец в системе осей Ох, Оу, Ог, связанных с площадкой. будут, как видно из чертежа: Х Х хц-— — —.—— —, у =у'; л =О, сова зшз ' ц ц' ц или вследствие (7.2): РЗ ) х'х' йЯ ~ х'х' ЙЯ ) ' Дб Р соз 0 соз 0 ) х' ~Ю цнл 0 ) х' д5 АГР) У' 'д3 ) у' 'д3 Уц = Выражая, наконец, коорлинаты х', у', г' через координаты х и у, связанные с площадкой, имеем: Г х'йЯ ) х'д3 ) хугГЯ Г худБ дц= — — =, уц = = ', я„= О. (7.3) ) хна Зх, ' " ~хам 3х, Последние формулы показывают, что положение центра давления на площадке не зависит от наклона последней к горизонту.
Заметим прн этом, что интеграл ~ хтлЮ выражает момент инерции площади я относительно оси Оу, а интеграл ~ худ8 есть центробежный момент той же плошади. ф 8. Закон Архимеда. Другим случаем, когда силы гилростатнческого давления приводятся к одной равнодействующей, является случаИ давления на замкнутую поверхность погруженного в жидкость твердого тела. Применяя преобразование Гаусса к поверхностным интегралам в Формулах [6.3) и (6.4) и опуская для простоты письма Для того чтобы найти точку приложения этой равнодействующей нлн так называемый центр дав.гения Ц, имеем слелующие условия для координат х', у', з' центра параллельных сил в системе осей ц ц ц Ох', Оу', Ох'.
гидяостлтнкл 1гл, !гг штрих над координатой , имеем: Р,=О, Р =О; Р,= — ггь ~ дс — 8р, (8. Ц так как формула преобразования Гаусса при внутренней нормали к замкнутой поверхности 5 имеет вид у(х, у, г)соз(л, х)05= — зг — дъ /' ду / дх Далее имеем: (.х= — 8Р ) Уг(т= — 8РтУ,=Р,У„ =88 ~ х да= 88 х,= — Р х, г (8.2) (., =О, где х, и у, суть координаты центра тяжести объема т, т. е. обьема жидкости, вытесненного телом.
Так как условие (б.б) в этом случае выполняется, то формулы (8А) и (8.2) показывают, что силы гидростатических давлений жидкости на замкнутую поверхность погруженного твердого тела приводятся к одной равнодействующей, равной весу вытесненного объема жидкости; эта сила направлена вертикально снизу вверх и приложена в центре тяжести вытесненного объема (точнее, приложена в точках вертикали, проходящей через упомянутый центр тяжести). и Если тело погружено в жидкость частично, Рис.
30. то, продолжив мысленно горизонтальную сво- бодную поверхность жидкости внутри тела (рис. ЗО) и считая на этой плоскости АКВ давление постоянным (равным атмосферному), мы можем применить предыдущие рассуждения к замкнутой поверхности АКВМ, ограничивающей объем погруженной части тела. Таким образом, получается. что совокупность давлений на частично погруженное тело приводится к одной равнодействующей Р, равной весу вытесненного объема жидкости, направленной вертикально вверх и приложенной к центру тяжести ц вытесненного объема ъ Аналогично рассматривается случай погружения тела в несколько слоев жидкости различной плотности. 9 9. Давление иа криволинейную стенку, Совокупность давлении на криволинейную твердую стенку 5 вообще не приводится к олной равнодействующей. Нетрудно дать указания для расчета главного вектора и главного момента давлений.
дАвление нА кииаолииейную с!Енку 93 где Р,— дав.чение в центре тяжести плоской площадки 5, так как давления на цилиндрическую часть этой замкнутой поверхности будут перпендикулярны к оси Ох. Аналогичным путем можно вычислить Р, При расчете Р, примем, что начало координат взято на поверх- ности приведенного уровня тогда давление на плошадку 5, равно нулю и, проектируя на ось Ог все силы, приложенные к замкнутой поверхности с образую~Ними, параллельными оси Ог, получаем, что Р, равно весу столба жидкости над криволинейной поверхностью 5. Ъ Дли раси~та момента 1.
вокруг вертикальной оси Ог может быть применено о следующее построение. Будем вращать г площадку 5 вокруг оси Ог и рассмотрим Рис. 32. замкнутую поверхность, образованную площадкой 5, частью Б поверхности вращения тороидального вида и плоским мерндиональпым сечением а поверхности вращения )рис. 32). В силу закона Архимеда, совокупность давлений, прило- женных к частям 5, Б, а рассматриваемой замкнутой поверхности. приводится к одной силе, направленной вертикально, дающей, сле- довательно, момент, равный нулю, относительно оси Ог, 1сроме того, У Для расчета главного вектора проведем через контур криволинейной плошади 5 (рис.
31) три цилиндрические поверхности, образующие которых параллельны координатным осям Ох, Ог и Оу (последняя поверхность не изображена на рисунке). Эти поверхности вырежут на коорди- ;еЕэйв г, натных плоскостях площадки г 5„, 5, 5„являющиеся проекциями криволинейной площади 5; присоединяя эти площадки, а такиге поверхность 5 к упомянутым цилиндрическим поверхностям, мы получаем три замкнутые поверхности.
На г основании закона Архимеда, совокупность давлегпгй на каждую такую замкнутую поверхность Рнс. 31. приведется к силе, равной весу заключе шого в ней об.ьема жидкости н направленной вертикально снизу вверх. Взяв замкнутую поверхность с образующими, параллельными оси Ох, и проектируя все силы на эту ось, имеем: Ру 5уРУ = б [гл. ы1 гндростлтикл все силы, приложенные к части ):, пересекают Ог н также дают моменты, равные нулю. Таким образом, получается, что Л вЂ” 1.,' = О, где Е,' — момент относительно Ол сил давлений, приложенных к пло- ской площадке а; последний же момент, па основании предыдущего, будет иметь выражение: Е,' = ар,г„, где р,— давление в центре тяжести площадки а, гч — расстояние от осн Оз центра д а в л е и н я площади а.
где И вЂ” коэффициент пропорциональности, откуда Х= — рх, г'= — ну, Х= — нл. Лаже, с(р = р (Х Пх + 1' ау+ Х с(г) = — рр (х ах+ у ау + г Пг) = — — рр аг, 1 откуда 1 р = С вЂ” — нргг. 2 (10.1) На свободной поверхности р = О, и уравнение ее будет иметь вид гг =— 2С рр Следовательно, свободная поверхность имеет форму сферы.
Произвольную постоянную определяем из условия 4 (2С 1'а нр г Зс 1чз т = — з !т —., откуда С = — ~ — ) = З "1нр! 2 (4а/ Давление в центре найдем, полагая в (10.!) г = О: Подставляя числовые значения р = 1, 1 =1, с = 10', имеем: Ра = ~ — ~ !О" — 1925(Ю дии на 1 смг или около 2 кг на 1 смх. 2 х4х )' й 10. Упражнения. 1. Объем -. несжимаемой жидкости находится в равновесии под действием массовых сил, направленных к неподвижному центру н пропорциональных расстоянию от этого центра. Определить форму свободной поверхности, вычислить давление в центре для воды, если: = 1000 мг и сила притяжения 1 грамм-массы = 1 дине при удалении на 1 см. Решение, Приняв центр за начало координат, имеем: гпглжнвния 95 4 101 2.
Частицы несжимаемой жидкости притягиваются к неподвижному центру чо закону тяготения Ньютона. Найти уравнение поверхности уровня у =1, если задан объем жидкости -., и сила на единице расстояния равна й Олыет. Сфера радиусайр а/ 48 ' 1+йр 1/ Зс 3. Дано поле массовых сил; Х = у'+ 2йуа+ г', 1' = г'+ 2йгх+ х', /3 = л'+2тху+ у', где )ь р и т — параметры. При каких численных значениях рь и и т в указанном поле возможно равновесие жидкостир 1 Ответ.
При й = и = т = —. 2' 4. Частицы газа, рассеянного по неограниченному пространству, притягиваются к неподвижному центру с силами, пропорциональными удалению частиц. Определить давление в центре при изотермическом равновесии, если дана масса газа тИ, и сила притяжения на единицу массы равна;с при удалении от центра, равном единице.
/ из Ответ. Р = М у ' —, где )т — газовая постоянная, Т вЂ” абсолют- — У 8..'/Р~ ная температура. б. Определить давление в центре Земли, если бы последняя представ- лила собой шар радиуса Р из несжимаемой жидкости плотности р, если известно, что массовая сила веса, равная е на поверхности земли, убывает к центру, будучи пропорциональной расстоянию до центра земли. О л' 1 Ответ. )рв = — др)Р.
2 6. Определить давление н положение центра давления па вертикальный плоский квадрант радиуса и, одна из сторон которого Ох совпадает со свободной горизонтальной поверхностью жидкости, на которой давление равно нулю (рис. 33). 1 3 3 рис. 33. Ответ. Р = — ераз, х = — а, у = — яа. 3 ' " 8 ' ч 16 7. Определить положение центра ланлення на вертикальный круговой диск радиуса а, центр которого имеет глубину Л от приведенного уровня. Ответ. Центр давления лежит на одной вертикали с центром диска, и' ниже последнего на величину — —. 4п ' 8.
Полусфера радиуса а с вертикальной осью наполнена до краев жидкостью. Определить результат давлений на четнерть полусферы, отсекаемую двумя вертикальными взаимно перпендикулярными плоскостями. Ответ. Совокупность давлений на рассматриваемую часть сферы Охул 1 (рис. 34) приводится к одной силе Р = — бра' ) я' + 8, длина действия ко- 6 2 торой ОЕ( имеет уравнения: х = у = — е.
9. Определить положение центра давления на вертикальный прямоугольный щит шлюза, если нижнее ребро щита имеет глубину а. 2 Ответ. Центр давления лежгм на средней вертикали на глубине — а. 3 гндгостлтикл игл п~ !О. (Парадокс Жуковского.) В вертикальную стенку сосуда, наполненного жидкостью, вделан однородвый круглый цилиндр, способный без трения вращаться вокруг горизонтальной оси, лежащей в плоскости стенки, так что половина цйлиндра остается все время погруженной в жидкость и испытывает, в силу закона Архииеда, давление, направленное снизу вверх, которое, казалось бы, должно заставить цилиндр вращаться.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
