Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 24
Текст из файла (страница 24)
лв где и' есть вектор скорости в момент В. Чтобы охарактеризовать изменение l с течением времени, составим произволную от / по времени, т. е. составим следующее выражение: лу . à †./ — — — 1ип ю-~е где дг=г' — г, Нашей первой задачей будет вычисление величины Ы/Ж. Ю Рассмотрим жидкие частицы, распоРнс. 58. ложенные в момент (а на кривой АеВ, (рис. 58).
Каждую такую частицу будем характеризовать своим значением некоторого параметра а. Можно, например, взять за этот параметр длину дуги кривой А,Ве, отсчитываемую от точки Ае. Ясно, что декартовы координаты х, у, л любой жидкой частицы, лежавшей в момент времени Га на кривой АаВа, будут функциями как от а, так и от г: х=х(а, (), у=у(а, Г), г=г(а, С); (2. 2) иными словами, радиус-вектор точки М относительно начала координат О есть функция от а и Г г=г(а, С).
виховвыв движения иделльнои жидкости [гл. ч и тогда вследствие (2 6) и (2 8) формула (2.5) примет вид 2 1 з ит,l иГ ' 2 л 2 л' лз (2.10) (2.11) Таким образом имеет место следующая теорема. Т е о р е м а. Лроизводная ио времени от циркуляции скорости О ао некоторому замкнутому контуру равна «иркуля«ии от ускорения ио)Ф по тому оке контуру. Возьмем теперь основные уравнения движения идеальной жидкости в форме Эйлера ио 1 — = Р— — ягад р гц р (2.12) и сделаем два следующих предположения. 1.
Сила Р, действующая на единицу массы жидкости, имеет потенциал (г, так что дЪ' д1' др Р= — Ягад(г, Рл= — —, Р =- — —, Р = — —, (2.13) дк ' т ду ' * де ' 2. Жидкость считаем баротропной (см. ф 11 главы 11), т. е. р = ф (р), , = %'(р). (2.14) В таком случае (2.15) и следовательно, 1 8тзй Р— огзд р. Р Уравнения Эйлера принимают внд -„-- = — ятай (тг + Р).
(2.1 6) из Подставим зто выражение для ускорения в формулу (2,10) для иг И 1 дг ь м(~+~) ™+ 2 В 2 з1 Это н есть искомое соотношение. Если контур АВ есть замкнутая линия 1., то точки В и А совпадают, ол — — ол, и, следовательно, формула упрощается, прншгмая зид теОРемА лАГРАнжА но по самому опрелелению йгайо имеют место формулы йгай т ' с)в= й1>. ~ йгай р бз= та — тл, АВ н значит, йг = — 1)г+ Р), + Г)г+ Р)„+ йу 2 1 2 т. е. 1 и йз — — 1)г+Р— — 24 + Иг+Р— — 24 . (2.17) ЛВ В случае замкнутого контура 7.
точки 8 и А совпадают, и уравне- ние (2.17) принимает вид откула после интегрирования сразу получается (2.18) Ф йз = соп51. с В этол~ равенстве и состоит основная теорема Томсона. Теорема Томсона. Если массовые силы допускают ловгенциал, а идеальная экидкость баротропна, то циркуляция скорослыг ло любому замкнутому контуру во все время движения жидкости остается неизменнои. Непосредственным следствием этой теоремы является теорема Лаграинка. 5 3. Теорема Лагранжа. Пусть: 1) жидкость адеальния, 2) сила Р, действуюгцая на единицу .чассы жидкости, имеет потенциал )г и 3) плотность жидгсости является функцией давления р = Ф(р); тогда если в начальный мо.кент времени в неь'оторой части жидкости не имелось вихрей, то их не было раньше и не будет позже в этой часгни жидкости.
Подчеркнем, что здесь речь идет об определенной массе жилкости, а не об определенной части пространства. Для доказательства теоремы Лагранжа заметим, что, по условию, в начальный момент времени в рассматрнваеиой части жидкости ье = О; поэтому, в силу формулы (!.8), циркуляция скорости по любому замкнутому контуру, лежавшему в рассматриваемой части жидкости. равна нулю о бз=О, с По теореме Томсона, циркуляция скорости по жилкому контуру 7. будет равна нулю и во все время движения.
Но тогда из той же !52 вихиквыв движения идеальном жидкости !гл. ч формулы (!.8) вытекает, что для любоп поверхности, це,виком лежа- шен в рассматриваемой части жидкости, 11 г! Лс — О. Но это может быть только, если в любой точке рассггатривасггоя части живности и для любого направления и окажется о„= О, иными словами, в любой точке рассматриваемой части жидкости и в любая момент должно быть ьь = О, что и доказывает теорему Лагранжа. Так как отсутствие вихрей равносильно сушествоаанию потенциала скорости, то теорему Лагранжа можно высказать ешс в такой форме: Если в начальныи момент врелгени движение об,гадала потенциалом скорости, лго оно будет обладат~ ггогпенг(ггалом сггоросггги и во все время движения.
и 4. Теоремы Гельмгольца. Докажем теперь две основные теоремы Гельмгольца. Те о ре ма о сохранении в и хрены х линни. Если еде гапгь пге же предположения, что в творе.яе Лагранжа, то частииьг жидкости, образующие в некоторый' момент времени вихревую линию, во все вре.ия движенин образуют вихревую линиггг.
Для доказательства мы рассмотрим сперва вихревую поверхность, т. е. поверхность, в каждой точке которой вихрь скорости о касзется этоп поверхности; такую поверхность можно получить, выбирая какую-нибудь линию (которая должна быть отличной от вихревом липин) и проводя через каждую точку этой линии ! вихревые линни. Докажем, что частицы жидкости, составлявшие в некоторый момент вихревую поверхность 5, будут образовывать во все время дви кения вихревую поверхность. В самом деле, возьмем на поверхности Б бесконечно малый контур Е. По формуле (1.8) Циркуляция скорости по этому контуру равна нулю, так как во всякой точке поверхности 3 нормальная составляюшая вихря Я„ равгга нулю (ибо ьг лежит в касательной плоскости к 5). В следуюшггй момен г времени р жидкин контур г. примет положение Е', причем, конечно, Е' будет лежать на поверхности 8', образованной теми частицами жидкости, которые раньше составляля поверхность Б; по теореме Томсона, циркуляция скорости по кривой Е' в момент р ранна циркуляции скорости по кривой Е в момент Г, т.
е, равна нулю: ~ чг' ° бв = О. 153 твогсмы гельмгольца а 4! Но тоглз из формулы (1.8) вытекает У ! 2„до=О; прп этом контур 1- можно взять сколь уголно малым н где угодно лежащим на поверхности 'з', но тоглв непременно во всякой точке поверхности о' о' -„=о, а это и значит, что поверхность б' есть вихревая поверхность. Возьмем теперь в момент 1 вихревую линию 1; через нее можно провести две пересекаюгдиеся вихревые поверхности В и В. В какой- либо лругой момент времени частицы, составлявшие поверхности 5 и г, образуют соответственно поверхности В' и Х', при этом частицы, составлявшие линию пересечения 1 поверхностей о и Гм образуют линию пересечения 1' поверхностей Б' и В'. В каждой точке кривой 1' гп хрь скорости 2' должен лежать в касательной плоскости как к поверхности Я', так и к поверхности В', т.
е. 0' должен быть гыираьлеп по пересечению этих касательных плоскостей, з это пересечешю предсзаяляет как раз касательную к линии 1'. Итак, линия 1с ест вихревая линия, и теорема локаззна. 1! щк, в рассматриваемом случае каждая вихревая линия сохраняет свою индивидуальность в том смысле, что каждая вихревая лшпш церемещаегся в пространстве вместе с частицами жидкости, ее составляющими. Это свойство мы бузем называть свойспгва.яи сохраняе.иости епхревмх линий, а тогла название доказанной теоремы станови~си совершенно понятным, С л е л с т в и е, 1! ри тех же предположениях любая вихревая трубка во врезш двп'кения булет оставаться вихревой трубкой, так как она ограничена вихревыми линиями. которые все время остаются вихревыми .пшиями. Точнее говоря, это слелствие надо понимать таким образом, что частицы жилкосмк образующие в некоторый момент времени вихревую трубку, в .побой следующий (или прелыдугций) моменг времени тоже образуют вихревую трубку.
Теорема о сохранении интенсивности вихревых т р у бок. Если сделать те же предполооиения, что в теореме ьуагранжса, то интенсивность любой вихревой трубки во все время двиясения остается постояннои. В самом леле, интенсивность вихревой трубки в момент 1 опрелеляется как раз циркуляцией скорости по контуру, охватывающему олин раз рассматриваемую вихревую трубку 154 вихгввыв движвния идвлльноп жидкости ггл. в Но тогда рассматриваемая теорема есть непосредственное следствие теоремы Томсона, по которой Я б.
Сохраняемость векторных линий. Ввиду важности установленных только что теорем Гельмгольца, мы дока>кем их еще раз иным методом, исходя из дифференциальных уравнений для вихря скорости. Но предварительно нам нужно остановиться на общем вопросе об условиях сохрапяемости векторных линий. Пусть мы имеем какую-либо движущуюся среду, поле скоростей которой дается вектором о(г, г), зависящим, вообще говоря, и от времени. Рассмотрим кроме того еще какой-либо другой вектор а(г, г), как, например, вектор ускорения г(о/И илн вихрь скорости го1тг. Проведем векторные линии вектора а, т. е.
линии, в каждой точке которых вектор а имеет направление касательной к этой линии. Уравнение этих линий в векторной форме есть г)гХ а=О, или в декартовых коордипзтах: ах(х,у,а,г) а (х,у,жт) а(х,у,а,с) Совершенно ясно, что для двух разных моментов времени 1 и 1' мы получим, вообще говоря, рззные совокупности векторных линий. Рассматривая какую-нибудь векторную линию, соответствующую моменту Г', мы обнаружим, вообще говоря, что она состоит из частиц среды, которые в момент т принадлежали различным векторным линиям.
Но, в частном случае, может оказаться, что частицы среды, составляющие к моменту с' векторную линию, в момент Г тоже образовывали векторную линию. Если это последнее обстоятельство имеет место для любых моментов времени Г и Г' и для любых векторных линий данного вектора а, то мы будем говорить, что векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости. Если векторные линии вектора а обладают свойством сохраняемости, то каждая векторная трубка будет во все время движения сплошной среды оставаться векторной трубкой, так как она ограничена совокупностью векторных линий, каждая из которых остается все время векторной линией. Но в этом случае опять-таки можно различить два подслучая: первым подслучаем будет тот, когда интенсивность векторной трубки 1с1 сохялняежость ВектОР!<ых линий где " — поперечное сечение трубки, меняется с течением времени; вторым же подслучаеи будет тот, когда интенсивность любой векторной трубки во все время движения сохраняет свою величину.
В этом послед!!еы полслучае иы будем ~озарить, что интенсивность векторных трубок обладает свойством сохрапяеностш й гйы уже имели выше пример вектора, для которого векторные линии и интенсивности й! векторных трубок обладают свойствои сохрапяеиости; а ниенна, по локазанныи выше теоремам Гельмгольца, таким вектором является Ь Ь вихрь скорости в любои движении илеальной Ь баротропной жилкости, которая находится под М, лействием сил, имеющих потенцизл. 51ы буден в дзльнейшем предполагать, что в рассиатриваеиой области векторы о и а непрерывны вместе с нх первыми частныин производными и что величина вектора а отлична от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
