Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Поэтому, когдз о делается большим, то и и делается большки; но если выходное отверстие, пз которого вытекает яода, очень мало, то скорость вытекания жидкости будет велика; поэ«оиу и вихря в вытекающей жидкости могут Сьиь большои иитеисивиосги. 6. Проверить уравнение (66) для движения иесжииаеиои жидкости, заданного формулами («, ) и 1 — пастояииые): гх =1)Ю о« -- — ?гг, о, = «у —. ".х. Б.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОЛЯ СКОРОСТЕЙ ПО ЗАДАННОМУ ПОЛЮ ВИХРЕЙ И ПОЛЮ РАСХОЖДЕНИЙ СКОРОСТИ Й 1!. Вычисление вектора скорости по вихрю и расхожденио скорости для бесконечного пространства. Если задано поле скоростей движ)чцейся жидкости, то поле вихрей определяется просто помощью дифференцирования составляющих скорости по переменгеыи х, у, .
Именно, обозначим вектор вихря через С?: 1? = го1 и. Тогда, ьшк известно, составляющие вихря дн«до« д, дг« ду дл ' У г)к г)хт сут дэт до„ г'г -' дх ду Так же просто определяется расхождение (и по заданному ен дэх дт к до, ь)«=61«п=-+'+ дх ду дх Мы допустим сначала, что расхождение скорости 8 и вихрь 1? равны нулю вне некоторого конечного объема ;. Мы будем, кроме того, предполагать, что область; может быть разложена нз конечное число частей, в каждой из которых функции т) и 9 равномерно непрерывны, так же как и их частные производные. Кроме того.
О б р л т н а я з а д а ~ а — по заданным распределению вихрей и расхождению определить скорость в любой точке жидкости — для иошюго решения требует еще задания дополнглтельного условия, и именно задания нормальной составляющей скорости на поверхности, ограничивающей рассматриваемый объем жидкости. Мы ограничимся рассмотрением простейшего случая: лано. что жилкость ваполняет все пространство и находится в покое на бесконечности. Заланы вихрь скорости с? и расхождение скорости 8 и кзждой точке пространства.
Требуется определить вектор скорости тт. Для вычисления о имеем урзвнення оЬ и = 8, го1 тг — — — з?. (11.1) 177 Вычнслгние Вектопл скОРОсти и! мы будем предполагать, что на поверхностях разрыва нормальная сос1авляющая вектора 1з остается непрерывной в только касательная составляющая этого вектора может терпеть разрыв. Искомую скорость о мы будем рассматривать как сумму двух скоростей: ю =- и, -+ о, гле о, есть скорость, аависящая от расхождения 6, так что ее вихрь равен нулю, а пз есть скорость, происходящая от вихря,.
так что ее расхождение равно нулю. Итак, ;шя определения вектора о, мы имеем два условия: о !к о, == 6, го! ог =- О, а для определения вектора оз получаются следующие два условия: г!!т ют =- О; го!от = — О. (1 1.3) Начнем с отыскания вектора оп Вторая нз формул (11.2) показывает, что мы имеем дело с безвихревым движением, а тогда существует, как было указано в начале этой главы, потенциал скорости ~.
Итак, т5 =игаг! П Подставляя это вначение о,, в первое из уравнений (11.2), мы полу- чыг лля определегия функции сь уравнение Пуассона (11,4) Мы дадим сначала не строгое, но имеющее простоя гидродннахн«юский характер, решение этого уравнения. Предположим сначала, что функция 6 равна пулю всюду, кроме очшн малой окрестности -, нзчала координат, причем ~Вйт=- !. Заметим теперь, что по теореме Гаусса ~ й! йе = ~ и„ й., (! 1.5) гзе Ь' есть поверхность, ограничивающая объем т, т. е. объемный инп еграл от расхозкдекия вектора сьорогти равен потоку еекпгора скорости через поверхность, огриничивиющую обье.и. Применение этой теоремы к нашему случаю показывает, что возок вектора скорости через поверхность 5ы ограничиваюшуго обьем;и, долиген равняться единице, Б предельном случае, когда объем тс сжимается в точку, мы получаем картину течении, вызван- ~ о.о источником, находящимся в начале координат и имеющим интенсивность нли обильность, равную единице.
Нетрудно найти матема1пч ское выражение для этод картины течения. Мы можем считать 1тз Вихнгиые двнжен11я нделльной жидкости 1гл и в силу симметрии, что соогветствующий потенциал скорости 22 есгь функция только расстояния г.= угхз+ уз+аз точки от начала координат. Но, как было указано, функция у должна всюду, кроме начала координат, где она имеет особенность, удовлетворять уравнению дгт д2З д29 11 1.6) Написав это уравнение в сферических координатах г, Л,: 1где Л вЂ” дополнение широты, ф — долгота), получим: д(" д.'-) „( '-"-'-.) „ дг 1п Л дЛ + ш21 д'2 Так как у зависит только от г, это уравнение сильно упрощается: г)(гя = — ') д~ н сразу интегрируется: ду Произвотьнз21 постоянная определяется из условия, что поток скорости через произвольну1о сферу с пе1ггром в начале коорщщя.г должен иметь зна1сние, равное 1.
Л так как на такоб сфере нормальная составляющая скорости имеет постоянное значение дт С =- —,.т з площадь сферы равна 4пг'", то сразу находим, что С 1 Итак, дз 1 ду 4пу-" ' откуда легко находим, что 1 42У причем произвольную постоянную, кзк не имекнцую существенного значения, отбрасываем. Если интенсивность источника имеет значение гу, то для соответствующего потенциала скорости получаем формулу (11.81 179 ВЪ|ЧПСЛЕНГГЕ ВГКТОРА СКОРОСТИ 1(арзпна соответствующего течения очень проста.
Линии тока суть »рямолпшейные лучи, выходящие из начала координат. Скорости частиц жидкости направлены по этим лучам от начала координат и пчеюг величину (11. 9) прямо пропорциональную интенсивности источника гу и обратно пропорциональную квадрату расстояния от источника. Если 17 имеет отрицательное значение, то получается сток. В этом случае скорости частиц жидкости направлены к той точке, где помещается сток. Возвратимся теперь к решению уравнения Пуассона (11.4). Р;щобьем объем ".
На малые объемы "... в каждом таком обьеме тз возьмем некоторую точку М, с координатами сн т)г, ",. и поместим в М,. источник с обильностыо г);.=т;6(ЬН та, ',). Тогда фУнкциа ~т (З(:.ь гю ."л) г где г, есть расстояние от точки Ж с координатами х, у, я до точки Мн даст очевидно, по сказанному выше, приближенное решение задачи. Перейдем к пределу, устремив все объемы т, к нулю, гогда для функции у(х, у, г) получится выражение О(х, у, я) =- — ( — -" —: — г)т. г" 6(:,ч .) 4кг В агом гщтеграле г == !'(х — "-))а-т-(у —.и) - (а — .р и нгпс~рнрогыть иапо по Е тй Итак, чтобы получить решение уравнения (11.4), надо распрел лить по объему -.
источники, обильпость которых, отнесенная к единице объема, нмеет значение (), и образовать соответствующий этому распределению источников потенциал (1!.10). Дадим теперь строгое доказательство того, что функция (11.10) ) доалетворяет уравнещпо Пуассона (11.4). Заметим, прежде всего, что если мы имеем ншотонов потенциал (1 1.1 !) распределенный по некоторой об.засти Г, то в точках вне обтема !г выполняется уравнение Лапласа (11.12) 12' 180 вихяевые дви кения иделльиои жидкости !гл ч В самом деле, если точкз Р лежит вне обьема 1', го г в интеграле (11.11) не обращается в нуль и, следовательно, можно проиаводить дифференцирование по х, у, х под знаком интеграла. В результате получим: Ы (х, у, х) . 1 М("', т .) л.- дт. 1 Но легко видеть.
что ! = О, следовательно, йЧг -= О. г Рассмотрим теперь тот случай, когда точка Р лежит внутри объема (г, причем предположим, что функция 6(1. т), ч) непрерывна вместе со своими первыми произнолными в этом объеме (г. Вычислим дтЧ")дха. Мы имеем прежде все~о г!— 1 — — — ! 6(=., 1, .") д г!т== -- ( 9(!, ть:)--, ит.
~!!.!В) р р Функция, стоящая под знаком интеграла, обращается при г- — О в бесконечность, так что этот интеграл приналлежит, подобно потенциалу. (11.11), к числу несобственных интегралов; этот интеграл сходится, так как подынтегральная функция будет прн г — ьО бесконечно большой второ~о пооядка (считая г бесконечно малой первого порядка), а известно, что объемные интегралы сходятся, еслл подынтегральнзя функция обращается в бесконечность порядка ниже третьего. Однако дальнейшего диффеоенцировання по х под знаком интеграла мы уже не имеем права производить, чак как при этом подынтегралы.ая функция сделается бесконечно большой третьего порялка, и ннтегоалы перестанут сходиться.
Поэтому мы поеобразуем предварительно выражение (1! .13). Очевилно, что д— 1 с 1 г х — ,' г дх г' г1;- П1, 14) поэтому д-- 1 — '-'=-,~"-' "-'=.-" "т=--.У4(-;) - У ~',— - ( Применим теперь формулу Гаусса ~ —.~ — )Нт = ~ — соз(л, 1) г(о, Я где 5 есть поверхность, ограничивающая объем 1г, а и означает внешнюю нормаль в точках этой поверхности.
Эта формула имеет 181 ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ кесто. Котя подынтегральная функция обращается в бесконечность »рн г== О, ибо если мы выделим точку )ч' малой сферой радиуса а, !о интеграл по поверхности этой сферы будет малой величиной !и!рядка а и обратится в пределе в нуль. если мы устремим а к нулю. Итак, н, следовательно: — = — и', — '— " — сока(л, ";) г(5 5 диалогично получим: д)п А --.,'- ОЧ дь! г' а: !г ПОР, П И(ь г.;) пс 2 *т .2 Складывая этн равенства, найдем -М; ==--~ ("," '~.г(5— '(х — 1 би, у--Ъ Дп --!- + ,.
) —,—. (11.18) ьнк Г Е($,тг") г;, Г 1 ды — — — — соз (и, ) гг5 -! — 1 . —.. г( ° . (11.!6) дх ~ г '',) г д( 5 Г В первом интеграле правой части г уже не обращается в нуль, так как точка М(х, у, а) лежит внутри объеь!а (г, а точка М(с, т), с), по которой производится интегрирование, находится на поверхности 5. Вгорои же интеграл правой части опять представляет Ньютогюв потенциал. 11оэтому теперь мы можем еще раз произвести дифферен.
пнрование по х пол знаками интегралов. В результате получим: и -1. дг!' )' г е . %, ) дн г д.гт 'т дх —. =- — т - — (т('„ть -.)соз(л,() г(5 + —, — г(т =. г); дх ---. ~; -'--,.'- () (1. Тн ) соз(п, "".)г(5 — - / -- —,-' )Е г)т. (11,17) ь Та!О!и образом, птгр(дха существует и представляется только что пай.щпным образом. Если (г есть шзр Г радиуса е с центром з .очке М, зо в точках ограничивающей сферы 5. — =.соь(п,:), — ' — -- = созЫг,т)), --- --.=соь(п, ) г г ' ' г внхвввыв движения идеальном жидкости 1гл. м 182 Если абсолютная величина атайег в точках шара Ъ'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
