Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 33
Текст из файла (страница 33)
74), так что комплексная координата А-го вихря есть г(е л. вихьввыв движения идглльнои жидкости (гл. сс Вводя понятие об интенсивности вихрей на элементе дуги дс Ису, будем эту интенсивность считать равной ГР сД»; для потенциала слоя будем иметь: 2» те= —; С !п(г — сгест)сгоы гл 2»С .С комплексная скорость будет: Гсг Г оси о сот 2»С с г — С»ест о Для вычисления скорости преобразуем подынтегральное выражение, разделив его на г (г при интегрировании рассматривается как постоянная) и умножив на г — с(е у+Лет. Тогда получим, вынося— с с 1 за знак интеграла: г» о„— (о = — ( ч сУр= — ~ 2к — — ~ !п(г — сгегс) ! Гсг Г г — С!етс + сгег~ ГСг с 1 2»сг г — сгегс 2ясе 1 с о а 2» Значение ! !п(г — ссге ') ( зависит от того, где находится точка а г — внутри окружности или вне.
В первом случае, когда (г) < сг, при изменении е от О до 2г аргумент г — сгетс меняется на 2я, так как вектор г — Ветс обходит начало координат. Тогда )! и (г — сгегс) ~ = 2яс. а В случае же, если г находится вне круга, т. е. !г! ) сг', конец вектора г — сгетс обходит аамкнутый путь, не заключающссй начала координат, а потому сп(г — сгетс) возврацсается к старому значению, и, значит, ( ! и (г — соегс) ( = О. о Таким образом, для комплексной скорости получаем два значения; ГЛС С 1 о — со = —.с2п — —, ° 2ес(=О У 2»сг ( для внутренней точки круга и Гсч о — со к у для внешней точки. Отсюда следует, что внутри цилиндра, ограниченного вихревым слоем, движения нет, вне цилиндра движение уПРАЖНЕНиЯ 255 а г/1 происходит с такой скоростью, как если бы в центре цилиндра мы имели вихревую нить интенсивности 2кгсГ.
Введение понятия о вихревом слое дает ключ к объяснению возникновения вихрей в жидкости. По теореме Лагранжа (см. ф 3 этой главы), если в начальный иомент времени в идеальной жидкости не было вихрей, то их не будет во все время движения, В действительности же мы видим, что при условиях, близких к условиям теоремы Лагранжа (постоянство плотности, малая вязкость жидкости, наличие потенциала у действующих сил), вихри в жидкости возникают.
Если допустить, что на поверхности тела, обтекаемого жидкостью, образуется вихревой слой, то не трудно представить себе, что прн неустойчивости этого слоя от него могут отрываться вихри, как это часто имеет место в действительности при движении тела в жидкости. й 17. Упражнения. 1. Найти уравнение линий тока для случая двух вихрей одинаковой интенсивности.
Отвея. Приравнивая постоянной мнимую часть комплексного потенциала Г Г Г м = —.1п (» — х ) + —.1п (х — л ) = —. 1п Цх — «) (г — лл) ], 2тд 2к1 2г! получим: [( л х ) + (у ул)л] [(х хл)л + (у ул)л] со пал т. е. уравнение лемнискат (рис. 75). 2. Найти уравнение линии тока пары вихрей, т. е. двух вихрей, интенсивности которых равны по величине, но противоположны по знаку. Ответ. (х — х,)' -1- (у — у,)л = С [(х — х,)'+ (у — у,)'] — селлейство окружностей (рис. 76). Рнс. 75. Рис. 75. Заметим, что если прямую линию АВ заменить неподвижной стенкой н половину чертежа, например левую, исключить из рассмотрения, то получим перемещение одного вихря в жидкости, вблизи стенки. з.
Иллеется пара вихрей в жидкости (см. задачу 2), причелл на бесконечности жидкость движется с такой скоростью, что вихри остаются неволвижиымн в пространстве (рис. 77). Найти линии тока, предполагая вихри расположеинычн в точках х, = л'а и ал —— — га. вихревые движения идвлльиои жидкости (ГЛ. И Отвея. Уравнение линий тока; '+ (у — а)т — „+1п, „, = сапв1, Отметим, что оба вихря оказываются заключенными внутрь замкнутой линии, Область, ограниченная этой замкнутой линией, назыз кается «атмосферой вихрей» (рис.
77). Рис. 77. Рис. 7В. Построенные линни тока можно рассматривать как линии тока относительного движения в случае пары вихрей, именна движения относительнО плоскости, перемещающейся вместе с вихрями. 4. Лана и вихревых нитей, параллельных друг другу, равноотстоящих и расположенных на круговом цилиндре радиуса )г (рис. 79, где л = 4). Найти комплексный потенциал н комплексную скорость любой точки жидкости, а также скорость перемещении вихрей. Ощвевь гв = — 1и (лл — ттл), з 2к лвл — 1 л ~т = 2кт лл 77л Рис. 79.
Лля нахождения скорости ав, — (а, вихря, находящегося в точке л = )7, ву преобразуем ек св= — [1п(л — 17)-1-1и(»" '+Ю" з+7('л" з+ +)7" ')) Р / 1 (л — 1) лл-2 1 (» 9) лл-Зу~+ + 77»-2 л-'+ ~ "-'+ Р07 ВВЕДЕНИЕ 4 18! Полагаем г = Аэ, заменяя нулел8 первое слагаемое, отвечающее вихрю в точке г = йй Г л — ! Р(л — Пг и — (в вх вт — 2 ° 27( — 4, )7 Вихри перемещаются влоль окру>внести с постоянной скоростью Г (л — !) 4гй' 5. Найти траекторию прямолинейного вихря, нахолящегося ннутри двугранвого угла, образованного двумя взаимно перпендикулярными стенками (рис.
79). Указание. Пусть (х, у) — координаты данного вихря. Отразим его в осях координат, как указано на чертеже, н исследуем движение четырех вихрей. Ответ. Уравнение траектории ! 1 1 х' ' уг а' В. ВИХРЕВЫЕ ((ЕПОЧКИ КАРМАНА ф 18. Введение. Первые опыты, относящиеся к исслелованию вихревых явлений позади тела, движущегося В жилкости, были про- изведены Бенаром в 1906 г. Лвижущимся телом был вертикальный цилиндр. Наблюдения приводят к следующим результатам.
При некоторой достаточно большой скорости, зависящей от вяз- кости и от ширины движущегося тела, повали цилинлра начинают отрываться вихри поочередно л / справа и слева. Сначала они г:Ч г.ч г т увлекаются со скоростью тела и, 1 гй затем их скорость уменьшается. в то время как вихри расхо- ь:.д т .гЬ дятся несколько в стороны. з г На некотором расстоянии за Рис, 80.
телом устанавливаются опрелеленные расстояния 1 между вихрями; вихри располагаются так, что межлу каждыми лвумя вихрямн одного ряда располагается вихрь лругого ряда, причем вихри обоих рядов имеют противоположные вращения (рис. 80). Расстояние й между рядами вихрей не зависит от скорости, а зависит от ширины тела.
После Бенара аналогичные опыты проделывались целым рядом других ученых. В 1912 г. Карман, совместно с Рубахом, дал теорию таких вихревых цепочек, а также рассмотрел теоретически вопрос о сопротивлении, испытываемом нзщнндром, движущпмся в жнлкости прн наличии образовании цепочек вихрей. К изложению теории Кармана мы и переходим, вихгевыв движания идеальной жидкости 1гл. ч 208 9 19. Одна вихревая цепочка.
Рассмотрим бесконечный ряд точечных вихрей, расположенных на одной прямой на одинаковом расстоянии 1 друг от друга и имеющих одинаковую интенсивность Г. хг а~ ао а ао зо Рис. 81. Пусть имеем вихри в точках го, зн з и гт. г ы ... (рис. 81); тогда комплексный потенциал для любой точки жидкости, не совпадающей ни с одним из вихрей, равен сумме потенциалов отдельных вихрей: Так как зо = за+ Й, я о =за — И, можем написать: Применяя формулу, представляющую разложение гйпгх в бесконечное произведение з!и их =-пх П ~! — — ), а-! найдем: Г тв = — !п в!и — (г — г,).
2г.! (19.1) Комплексная скорость в точке з равна сумме скоростей, происходя- щих от каждого вихря, т. е. 1 ) у( Оо.о! 2ги г — ао ьы '! е — го — аг г — во+ а1 а-! Мы разделили разности з — аа на — И, г — х о на И и умножили г — аз на яг1, чем изменили лишь произвольную постоянную. Так как функция е определяется с точностью до алдитивной постоянной, то имеем право положить: 4 ш! две ВихРеВые цепочки Производя суммирование, придем к формуле Г и — )ю = — с!9 — '(г — я).
У 2!Г 1 0' (19.3) Проще же получить это выражение комплексной скорости, воспользовавшись тем, что скорость есть произволная комплексного потенциала: лгв ту „— (о У' тв = —.!п Б1п — (л — я ) + —. !и з!п — (е — яэ) г, У . и 2ж Г 1 2я! комплексная же скорость в точке л равна лы Г, и о — )Ф = = —. с!и — (е — лг)+ —, с!й — (е — е ). У г(з 2П 2П ! 2' Выясним, как будут перемещаться в жидкости рассматриваемые вихревые цепочки. Очевидно, что все вихри первой цепочки будут лвигаться с одинаковой скоростью; также все вихри второй цепочки должны перемещаться олинаково.
Поэтому каждую цепочку можно рассматривать как одно целое, и достаточно исследовать скорости двух вихрей, например л, н ее. Вихрь зг будет перемещаться лишь под влиянием второй цепочки, так как одна цепочка, как мы видели, !4 "ьи. Изэ где тв опрелеляется формулой (19.1), Чтобы найти скорость перемещения самой вихревой цепочки, т. е. скорости каждого из вихрей, ее составляющих, достаточно рассмотреть, как перемещается точка г„, так как очевидно, что все вихри должны переме1цаться с одинаковой скоростью.
Скорость же в точке ле происходит от влияния всех вихрей, кроме самого вихря г,. Поэтому в формуле (19.2) следует положить г .†..- ез во всех членах, кроме первого, который следуе~ отбросить. Получим, что скорость вихря ое равна нулю, так как в формуле (19.2) при е = — гз члены попарно сократятся.
Таким образом, одна вихревая цепочка остается неподвижной, что можно было предвидеть, так как на точку действуют попарно вихри «г и г ц лз и л э и т. д. в противоположных направлениях. 9 20. Две вихревые цепочки. Пусть теперь имеем две параллельные цепочки вихрей, причем расстояние между двумя соседними вихрями лля обеих цепочек равно 1, интенсивности же цепочек у верхней Гн у нижней Гэ; расстояние между цепочками пусть будет л. Один из вихрей верхнего ряда пусть будет яы ближайший к нему из нижнего ряда гз. Очевидно, что для комплексного потенпиала будем иметь: 210 ВихРеВые дВижения идеальной жидкости 1гл.
и не перемещается. Следовательно, скорость сс1„— 2о1 вихря г1 получим, выкинув первый член в выражении о„— 1ЬВ и положив г=з1 во втором члене; о1х (о1у = 2Д с)В 1 (е1 — аз) Гу СС (20.1) Аналогично для вихря гз будем иметь: Гс о — гпз = — —.сге — (а — г ). 2к у 2д 2 1 2' (20,2) Таковы скорости цепочек. Мы не будем исследовать законов перемещения цепочек в общем случае, а рассмотрим лишь наиболее интересный для нас случай «твердых» цепочек, т. е. цепочек, для которых расстояния между всеми вихрями остаются неизменными во все время движения.
Очевидно, для «твердости> цепочек необходимо, чтобы скорости их были одинаковы: Ю1 — 1О1 = Оз . — 1О2 т. е. интенсивности цепочек должны быть одинаковы по величине и противоположны по знаку. Мы будем в дальнейшем писать Г вместо Гг 1(злее положим, что цепочки перемещаются параллельно оси Ох, что соответствует картине, имеющей место в действительности, позади движущегося вдоль оси Ох цилиндра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
