Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 32
Текст из файла (страница 32)
е. сумма моментов инерции масс Г1 относительно начала координат не меняется с течением времени. Но мы имеем в цилиндрических координатах следующие выражения для составляющих го! А.' 1 дА ДАя. го! А= — — * — —; р да Дл' ДА, дА, го1 А= — ' — — ' де др ! Д(рАя) 1 ДА гог А=— р Др р Да ' (15. 1) Будем характеризовать положение переменной точки М на вихревой нити углом а, так что на нити (=асозп, О=аз!па, (=О. Кроме того, в формулы (12.1) входит еще расстояние г между точками М (1, .л, ".) и М (х, у, я), равное г = )г(р соя 8 — а сова)я+(р з!и 0 — а з!па)я+ля= =- )Г рг — 2ар соя(9 — а)+ аз+да. По формулам (12.!) находим: 1' à — ая!пядп А„= — ( г г" асов и А =О А„= —,п,~' е но при 0=0, очевидно, А,=А, А =-Аи следовательно, Г'а ( я!и и дя 'г' р'+ аг + л' — 2ар соя и о 2« А = (15.
2) Га ! соз пгрп 4п Г г'р'-1-а'-1-л' — 2арсояп О. Аг= А,= Пользуясь формулами (15.1), получаем: дА 1 д(рА) о„= — —, о=О, о=— д — =, д, (1 5.3) Объем жидкости, протекающей в единицу времени через круг радиуса р с центром на оси Оя и лежащий в плоскости, перпендикулярной к оси Ог, очевидно, равен р г Р ~ о,рг(рг(0 =2п ~ о,рйр = 2лрА. о о 198 вихревые движения идеальном жидкости !гл, я КРУГОВАЯ ВИХРЕВАЯ НИТЬ поток вектора скорости о через некоторую поверхность может быть вычислен по формуле Стокса: оайЬ~Акйх+АУТ(у+Аасл~Аг(р+АооЛ+Агг(л 3 с с в нашем случае А, =А,=О, А;= А(о, а), и если 1.
есть указанная выше окружность радиуса р с центром на оси Ог. то сразу находам: о„й5 = 2коА. Уравнение 2прА = сопз1. определяет, очевидно, поверхности тока. Назовем, следуя Стоксу, функцией тока выражение (15.4) ф= — рА; тогда будем иметь: (15.5) 2а рГа / соз а йа у= — рА= —— — (15. 6) 4е ) аг"аа+ра+ко — 2ар сова ' о Последний интеграл выражается через полные эллиптические интегралы. А именно, введем модуль к =- 1' «а+ (р+ а)' и положим в предыдущем интеграле а=и-+2~р; тогда получим: сазана — 2 сов 2р йт 1' а'+ р'+ к' — 2ар соз а а' '1' аа+ р'+ ха+ 2ар (1 — 2 1по т) о -к'2 = — 4 (1 — 2 21па т) срт Ркка+ (а+;)2 1 1 — й2 а 2 Этот же результат можно получить н иначе, а именно: в силу того, что о=.го1А, 200 ВИХРГВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОИ ЖИДКОСТИ 1гл. у Пользуясь обычными обозначениями полных эллиптических интегралов «22 к««)=1 ", «««~-( 1'1 — «'«'«««, о легко найдем, что 2« и, следовательно т'= о ~ ~ — 72) К(«с) —, Е(72) ~ ° (15 8) Если обозначить через г, и го наименьшее и наибольшее расстояния от точки )У до точек вихревой нити, то г, = ) В2-+(Р— а)2 го =- )«ео+(Р+ а)', (15.9) и легко видеть, что дополнительный модуль и'= рг! — 122 очень просто выражается через г2 и г: г, г, (15.
10) Можно дать еще другое представление, функции ф. А именно, положим ес"=и и обозначим через С контур круга,~и)=1 В плоскости комплексной переменной и, Так как 2 21В а «та )Га« -1- р«+ е« вЂ” 2ар соо а о ао+ ро+ В2 = — (г2+ го) 2ар = — (г,' — г'). (15.11) то 2« совала )Га«+ р'+ Е' — 2ар СОО а о +") — 4(го — 2)(" + ") 2аи '1l 2("+ 2) — й — 2)( + — ') и) соо а «1« 2 «2 — — — )2) К (72) — — Е ()2) ( (15.7) 2 )Га" + р'+ 22 — 2ар соо а р ар ( ( А и о кгугозля Вихпееля нить 201 Уравнение 2 (гт + гза) — (гз — га1) (и + — ) = О имеет корни гг+ г~ гя — г, Л г, — г, гя + г1 первый из которых лежит внутри окружности С, а другой вне ее.
Кроме точки и =Л, особой точкой подынтегральиой функции является еше и = О. Поэтому мы можем заменить контур интегрирования С произвольным контуром, охватываюшим точки и =О и и =Л. Сведем этот контур к дважды обегаемому отрезку (О, Л), как показано на рис. 71. На верхней стороне отрезка (О, Л) радикал ~ / 2 (гз + г') — (га — га) (и + — ) = — ~(г~~ — г~~) (и — Л) ~и — — )1 и имеет значение ~~г2 — г1) (Л вЂ” и) ( — — ин Рис.
71. на нижней же стороне он имеет прямо противоположное значение, ибо при обходе точки и = О радикал уги меняет свой знак на обратный. Поэтому ),газ я соя и Ыя -!- аа — 2ар сов и о йи (л !Л и) 1/ (Л вЂ” и)(-! и) ч ~Г и и 4 1 Уили Г' гг — г! ) ~ГГ(Л ( ! внхрсвыв движения нделльноп жидкости 1гл. ч Сделав, наконец, подстановку и =). гйпгг, получим: мг Итак, г~ соз ь гЬ У а'+ р'+ л' — 2ар и по формуле 1!5.6) г = — — ргг Эта формула позволяет найти все элементы движения, в частности, построить линии тока. Последние представляют собой замкнутые кривые, охватывающие вихревую нить.
В точкзх около вихревой нити скорость становится бесконечно большой. Очевидно далее, что в точках, лежащих в плоскости вихревой нити, скорость направлена параллельно оси Ог. Отсюда следует, что вихревая нить будег перемешаться параллельно оси Оз. Олнако скорость перемещения нити оказывается бесконечно большой. Конечно, на самом деле мы всегда имеем дело не с вихревой нитью, а с вихревым кольцом конечных размеров, которое будет уже перемещаться с конечной скоростью, притом тем большей, чем меньше поперечное сечение кольца. Однако необходимо отметить, что вихревое кольцо конечных размеров, вообще говоря, булет с течением времени испытывать леформацню. 6 16. Вихревой слой. Для объяснения ряда явлений, имеющих место в действительности, в гидродинамике вводят понятие о поверхности разрыва, т.
е. поверхности, иа которой какой-нибудь элемент. обычно скорость, меняется скачком, претерпевая разрыв непрерывности. Такова, например, поверхность разрыва в циклоне, по которой соприкасаются хололный и теплый воздух и на которой имеет место разрыв скорости ветра. При обтекании тела жидкостью вводят в рассмотрение поверхности разрыва, образующие по краям тела и отделяющие область, в которой происходит движение жидкости, от мертвого пространства позади тела, в котором скорость считают равной нулю. Покажем, что поверхность разрыва тангенциальной скорости можно рассматривать как предельный случай вихревого слоя, т. е. пространства межлу двумя близкими поверхностями, заполненного вихрями, причем в этом слое происходит непрерывное, хотя и быстрое изменение скорости. Для простоты допустим, что поверхность разрыва есть плоскость о'.
параллельная плоскости Охз, так что ее уравнение у = — а. Введем в рассмотрение плоскость 5,: у= а+в, отстоящую на расстоянии = вихяевоп слон от первой (рис. 72). Пусть по одну сторону плоскости 5 жидкость движется со скоростью о, по другую сторону Ь', — со скоростью нн причем обе скорости постоянны и направлены параллельно оси Ох, так что происходит разрыв лишь тангенциальной составляющей скорости. Составляющие скоростей яг и н, по оси Ох пусть будут и и ин Положим теперь, что в слое между 8 и 8, составляю|дне скорости определяются формулами у — ит о„=(и — иг)(1 — 1+-и; о =- О.
Тогда на плоскости Б, для которой Рис. 72. у — и = О, будет о„= и. На плоскости же он где у — и = е, в, =- ин Следовательно, скорость меняется непрерывным образом от и до и, прн переходе от плоскости 5 к плоскости 8н Вихрь скорости и слое ЯЬ', имое г направленно, пер- пендикулярное плоскости Оху, и его составляющая по осн Ог равна дог до» и — и, гт дх ду При малом е вихрь может быть очень большим, Внузрп слоя 2 имеет постоянное значение, отличное от нуля, вне слоя П =- О. Поэтому слой оЯ» может быть назван вихревым слоем.
Можно установить эквивалентность вихревого слоя и поверхности раарыва непрерывности тавгенциальной составляющей скорости обрат- ным путем, исходя от системы вихрей. Именно, пусть имеем ряд параллельных равноотстоящих вихревых нитей одинаковой интенсивности Г о о о (рис.
73). Пусть расстояние между нитями 1 стремится к нулю так, что произведение Г) стремится к пределу, Я о Х о о ОООО о о 0 =-О о о о о о о Рис. 74. Рнс. 73 отличному от нуля; 1пп(Г!) = )е можно назвать вихревой плотносглью слоя. По обе стороны слоя скорости имеют противоположное направление, так что, очевидно, имеем разрыв скорости. Рассмотрим в качестве примера вихревой цилиндрический слой. Пусть точечные вихри будут расположены по окружности радиуса )с (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
