Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 30
Текст из файла (страница 30)
пе превосходит К, то мы имеем очевидные оценки 1ег(с, 71, Г) — 8(х, у, г)! (Ка, поэтому с(5 — ~1 ' ' д5 ~ .< — - 4яат = 4пКе, 1О:.,т,' Хох, ьа Ие Д' ге а ~'~х — 1 дй+у — ч дй е — с дй)Н! . /'сИ Замечая еще, что — г(5 = ',— ' 4пе'==4пй(х, у, г) и (х, у, е) О (х, )т «) и что нетоудно вычис,тить значение нитегралз мы легко придем к оценке !.1Чг.-1-4я1с)(х, у, г) ! <!6яеК. ( ! 1.
! 9) Но значение ЬЧ", не зависит от оадпуса е шара Ъ'„так как если мы возьмем два шара )',. и Рв с общим цептоом в точке М и с РадиУсами е и е,, то оазность соответствУющик фУнкций г(г, и Ч"в поедставляется ньютоновым потенциалом к6 — ~, оаспространенным по обьему, заключенному между сфераии 5.- и 8ь и так как точка И лежит вне этого обьема, то, по доказанному выше, мы имеем равенство ц(Ч',— Ч;,)=-О, т. е. дЧ'„= — ЬТч Таким образом неравенство (11.19) доюкпо иметь место при сколь угодно малом положительном е, что может быть только, если бЧ', = — 4яй1(х, у, я), )ВЗ З 11! ВЫЧГ!СЛННИЕ ВЕКТОРА СКОРОСТИ Это же самое равенство будет иметь место и для произвольного обьема И, так как его всегда можно разбить на шар И, некоторого радиуса з с центром в точке М и на остающуюся часть ('1.
Мы будем тогда иметь 1Г = 11"„+ Ф'1; Ь$", = — 4и() (х, у, г); ЬЧ1 — 0 и, следовательно, 5%'= — 4и6(х, у, г). (11. 20) Применяя полученные результаты к потенциалу з, определенному равепствон (! 1,10), находим, что )р=О (11.21) в точках вие обьема т (т. е, В тех точкзх, где расхождение рзвпо нулю) и что л~ = гн(х, у, з) (11.22) в точках обьема т. Итак, вектор Ог = — атаби= — — Ргаб 1 (" ' г!т (11.26) г является решением системы уравнений (11.24) г) )ч О1 = (з, го! О1 = О.
Переходим теперь к определению векторз Оз, уловлетворяющего системе уравнений г) !1 в = 0; 1ог из = !1. (1 1.25) При зтои. конечно, поедползгзется, что вектор 11 удовлетворяет условию 61Р!? = О, (! 1.26) пбо ючя всякого вектора а выполняется равенство (11.27) г) ! и гог а =- О. Кроме того, как было указано выше, на поверхностях разрыва нормальная составляющая вектора !! должна оставаться непрерывной. Мы удовлетворим первому из уравнений (11,25), если положим (11.28) ют = гог А, гле вектор А, носщций название векто)гного потенциала, подлежит опрелелению, Подставив это значение О.
во второе из уравнений < 11. 25), получим; го! го! А = И. !Я4 вихвевыв движения идеальном жидкости !гл ч 3аметггм теперь. что существует следующее легко проверяемое тождество: го! го1 А.= дгаг) йч А — ЛА. [11.29) где ЬА есть вектор с составлявшими ЬЛ„, Ь.1, лг(,. Ишк, мы получаем уравнение дгаг) с((з А — ЬА =. 11. (1!.ЗО) Ке нарушая общности, можно считать, что (11.31) йтА = О. В самом деле, пусть мы нашли вектор А, такоп, что оа == го! Ао но что б!сА, вь О. Положив тогда А = А, + пгаг( О, мы найдем: го! А = го! А, -1- го1г(гас( ф = го! А, = ж, бгсА=д!чА, +б!ч„габт= — йх А, +Лф и можно подобрать у! так, чтобы Ь(~= — й, А,; тогда, очевидно.
будуг удовлетворены как уравнение !'!1.28), так и )равнение (11.31). В силу условия (11.3!) уравнение (11.30) упоошается: ЬА = — (з. (11.32) Таким образом для определения вектора А получилось векторное уравнение Пуассона, равносильное трем скалярным: ЬАг:= — О„, ЬА = — г), ЬА,== -2, решения которых имеют вгп: х .!ч / г г ! (11.33) л = ' /' '(' " '),( -!а,( г или в векторной форме: 1 ~" й(-„ж:) (11.34) % И1 ВЫЧИСЛВИИВ ВЕКТОРА СКОРОСТИ 186 Проверим теперь, что найденный изми вектор А удовлетворяет условию (11.31), т. е. что ддх, д дт, длг По условию, об-ьем -. может быть разбит нз конечное число обьемов ти в каждом из которых О и производные от О по кооодинатам непрерывны.
К каждому' из таних объемов можно применить 1рормулы вида (11.16), так что Сложим зти три равенства, причем заметим, что (1„(Ъ ть Ь) СОВ (П, Ч) + агу(С 71, () Сов(В, "д)+ 2 (Е, т), ') СО5 (и, (,3 = 11„ и что вследствие условия (11.26) дйт (ъ т„.) дйт (:-, Ч,:) дй, (;, Ч,.) о:" ' Ой В резуьпьтате получим: 611 ~ ' г(, ~ л 1' й(С,Ч,() Р йл г Г Складывая такие равенства, относящиеся ко всем объемам тг получим: 11(ч 1 — дт= — т у —" дВ, 5.
1 Но по условию 11Р остается непрерывной при переходе через какую- либо поверхность разрыва, сдедовательно, интегрзлы, взятые по поверхностям, разделяющим об.ьемы ти взаимно сокращаются, н остается только интеграл по поверхности О, ограничивающей объем с 1'а РО б(ч ~ — дт = — У вЂ "' дЯ. г д 'о (= т ) дх г 1 и„(, .~„() ду, г д ( а (",та) д „/ г (" и „(.'-, ть () Соз (», .") 1 Рд (:, т1, ".) СОЗ (йт) с(т =-— Ь, ~ (1т (1, т1, с) соз (и, ь] Г дол (й Ъ г) .l д1 1 1" 1 дн ( ъь) д5-~- / -- — ' —" — 'дт, ,! ' д„ ! 1' 1 д.), (; д:) 1Вб Виьвсвыв дВижения ггделльггогв жг!дкостн ьгл. ч Но вне поверхности 5 вектор 2 обращается в нуль, следовательно, на поверхности 5 составляющая э„тоже обращается в нуль н г' й б!ч / — дт= — О, г что мы и хотели докзззть.
Итак, ьх .= — го! ~:.г/т. з (!1.35) Складывая оба полученных нами решения ог н ое мы приходим к решению системы уравнений (!1.1). 7акилг образом, задача определения скоростей пс заданному распределению вихре» гс рис.хождения в неогриначеннолг прогтрангтве для случая.
ггогда вихрь и рагхозкденне равны ггу.гю, вне конгчнозо обье.ча имеет следуюн!ее рещение: о =- огай р -(- го! Л, (! !.36) где (11.37) Вели мы обозначим через 77 =-1' х'-+ у" -1-=-е расстояние точки Х до начала координат, то очевидно, ч~о пои гг — ь:х величины ° и А будут порядка 177г', а производные от этих величин по координатам бугут пооядка !г/7з, Нетрудно показать, что найденное нами решение будет с.ншсгвенным решением задачи, если па искомый вектор и наложгпь требование быть всюду непрерывным и обращаться в нуль нз бесконе шосчп. В самом деле, допустим, что вектор и удовлетворяет всем поставленным гребовзниям. Рассмогрни вектоо а == о — о, где и — найденное выше решение задачи, Этот вектор удовлетворяет условиям йы а=О, го!а=О, (11.38) ибо, например, б!ча =б!чо — б!х о= 6 — 6 =0.
а = — 8таг(Ф, Кроме того, вектор и, как и векторы и и о, всюду непрерывен и обращается в нуль на бесконечности. Второе из равенств (11.38! показывает, что вектор а имеет потенциал Ф слкчли одной вихясвои нити а >21 а тогла пз первого равенства (!1.38) следует, ч> о с))х йгас1 Ф = йФ = О. Отсюда подынтегральные выражения формулы (11,33) будут: о, д? г г а,Г» о, д„ г г о»,Г» о» дг г г н, следовательно: А»= 4 — ~ — '; А> = » / —; А» — » / —, (12.1) гле через Г обозначена интенсивность вихревой нити: Г = йа, причем мы считаем, что площадь поперечного сечения е стремится к нулю, Ь? же возрастает так, что произведение г>а стремится к пределу, отличному от нуля.
Интегралы для А , А , А, распрострзнены по всей длине нити. Переходим к вычислению составляющих скоростей: дА, дА, и„= го1 А = — — — — >, ду д» Итак, »1> есть гармоническая функция; точно так же будут гармоническими функциями и производные дФ1дх; д>Р1ду; дф>/дг. Но очевидно, что гармоническая функция достигает своих наиоольшнх и наииеныних значений на границе области. Взяв область внутри сфеоы большого радиуса Г? с центром в начале координат, видим, что значения всех трех составляющих вектора а должны оставаться меныпе величины, которая стремится к нулю при >г — ьс, т.
е. все три составляющие вектора а должны тожлественно равняться нулю. Можно освободиться от отграничения, что 6 н й равны нулю все конечного объема, а именно, можно рассматривать т как бесконечный объем жидкости, если только слелать некоторые лобавочные прелполо>кения о Гд и о, наприиео, что на бесконечносгн 8 н 1? булут порялка 1/Йз. й 12. Случай одной вихревой нити. Применим результаты пр.- дылущего параграфа к случаю, когда в беспрелельной массе несжимаемой жилкости, покоящейся на бесконечности, имеется замкнутая вихревая нить ?., т, е. бесконечно тонкая вихревая трубка. Так как жидкость несжнмаеиа, то е) = О, следовательно, У~» = О. Для вихревой нити элемент оГ>ьема >12 можно заменить элементом дуги, умноженным на площадь поперечного сечения: да= — ада.
Пусть 2 будет величина вектора О. Составляющие последне> о по осям координат суть 2 =исоа(г> х)=2= о =г? — - 1? =о — = (ВВ Вихяевые дВижения иделльноГ! жидкостн !ГЛ. Ч т, е. (12.2) Найдем частные производные от 1(г, помня, что гй = 1 (х - -!)) +- (у — т)5 -; (г — '.!'-. Получаем Тогда подынтегральное выражение для ох будет: ',— У - б — 5 Г,— у»Г" ( — а»Г»!)Н5 — — - Рп=' г' 1 г !Г5 ! !)55 гт откуда !' ! Г".— 5»!1 - — х ГГ; 1!Ы о 4е.l ! г ГГ5 г»)5 ! г» ! 11'2. 3) Г Г'Г 5 — л (1», — У !!1 )»)5 о ае./ ~ г»15 г»!5) г» Е Отложим единичный вектор но касательной к вихревой нити и точке М (рис. 67); проекции этого вектора й будут: ле »Г»1 П". »)5 »Гь' »)5 по направлению вектора г. соединяющего точку М нити с точкой 7»Г(х, у, в) жидкости. отложим едлнпчный вектор Г. "сто составляю!цие будут; ч — У !' ." — л г Обозначим через 5о ту часть снорости, Рис.
67. которая происходит от действия на точку »!Г элемента нити Г(5: составляющими до являются подынтегралюГые выражения формул (12.3); нетрудно видеть, что до выражается с помощью векторного произведения векторов Ф н 1, именно: Ьо = — )55 Х г) .—, 1' »Г5 ае ' г' ' 189 СЛКЧАП ОД!!ОН ВИЛРЕВОП НИТИ величина Ьн равна: !' Л1п ~ г)а 4л г' (1 2,4) где я — угол между векторами )е и 1. Можно установить электро- динамическую аналогию для случая замкнутой вихревой нити. Именно, если вместо вихревой нити возьмем линейный проводник электричествз, по которому идет ток, интенсивность которого пропорциональна Г, то величина силы воздействия элемента этого проводника на единичный магнитный полюс, помещенный в точке М, определяется формулой (12.4) с точностью до постоянного множителя.
зависящего от выбора единиц (закон Био и Савара). Можно дать другое представление поля скорости, происходящего от вихревой нити. В самом леле, поскольку всюду в жидкости вихри отсутствуют, кроме точек вихревой нити Е, движение, вызываемое вихревой нитью, должно иметь потенциал Ф, т. е. и == пгай Ф. поэгому д (1) л )1) В гспользуемся геперь фоомулой Стокса ф Р(, Ть г) г)1-~;-Я(4, ТР '.) г)» )- ~4(:', ге ") г)" = 4 —.) ' (- -.=-) Гдй дС)Л Р, ГдР дгг'Л вЂ” ~~ — — —,-) соз(п.;) + )л —. -- —.-) соэ)л, т) 4— д1) ' ), дг г)1) г <)О г)Р л +1 — „-- — — )соз)л, ч)~г)5, )д4 дч~ гле б есчь поверхность, натянутая на контур 4., и и — нормаль и этой поверхности, проведенная в положительную сторону, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
