Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В этом случае о у=о 2=0. 1у 2у Положим г1 — гз=Ь-+Ы. Отделяя вещественную и мнимую части с㫠— (Ь+ И), имеем: 2ПЬ 21П— сФ вЂ”,(Ь+И)— сн — — соз 1 2г.л 2зьв 2па 2пл 2ПЬ сь — — соз— 1 ! где 1'и х = зп х гк х ех — е — х з(1х= Е с +,—.с с(1х= сп .к с111 х =- — — ' зпх ' Сравнивая (20.1) и (20.2), находим, что для этого должно выполняться соотношение Г2 Г1 ОБ кстойчиВООТН ВихРеВых цепОчек кАРмАнА 211 2 211 Следовательно: 2тл зп— Г ~15 О2л сп 2ВИ 2ед — — савв ! (20.3) 2вЬ Ып— Г О! =Оз '=— У У 2! 25И 2гз СП вЂ” — Саз— ! Так как по условию о, =О =О, то необходимо 1у 2У 2яа 51п — = О, откуда или Ь = 0 или Ь = !!2. В первом случае получаем располо- жение цепочек, называемое симметричным: пол каждым вихрем одного ряда имеется вихрь другого ряда; во втором случае имеем †††-~ ~- †-( ) ††-!', шахматное расположение вихрей, т.
е. такое, в котором между кажлымн двумя вихрями первого ряла находится вихрь другого ряда (рнс. 82). Шахматное расположение отвечает картине вихрей, образующихся повали цилиндра Рнс. 82. (см. й 18). Нетрудно видеть, что скорости перемещения цепочек будут: Г вИ О1 = — с111 — — для симметричного порядка, 2! 1 ВИ о = — 1п — — для шахматного порядка.
2! ! (20.4) В дальнейшем под цепочками Кйрмана мы будем понимать две цепочки, расположенные в симметричном или шахматном порядке. 14* $21. Об устойчивости вихревых цепочек Кармана. Пусть имеем кармановские цепочки вихрей. Может случиться, чта пад влиянием каких-то воздействий все или некоторые вихри получат малые смещения. Тогда мажет оказаться, чта вихри с течением времени будут оставаться вблизи тех положений, которые оии имели бы, если бы двигалисгь ие подвергаясь смещениям.
В этом случае говорят, чта движение устойчиво. Если же смещенные вихри будут удаляться ат положений, отвечающих иевозмущеиному состоянию, то движение называется неустойчивым. При таком общем определении устойчивости легко без всяких вычислений установить неустойчивость вихревых цепочек Кармана. В самом деле, сместим все вихри одной из цепочек, например верхней, на одну и ту же малую величину Д = е -г-!1. Тогда разность л, — лз = Ь + 2И увеличится на 212 вихяввыв движвнив идвлльнои жидкости !гл.
у эту же самую величину Ь, т. е. Ь увеличится на В. а Ь на .1. Поэтому око. рости всех вихрей обеих цепочек будут определяться формулами (20,3), в которых надо заменить Ь на Ь+ Ь и Л иа Н+ р А тогда ясно, что по крайней иере одна из величин о„ и о изменит свое значение и, следовательно, все вихри будут удаляться с малйми, но постоянными скоростямн от положений, отвечающих невозмущевному состоянию, так что движение оказывается неустойчивым.
Мы сузим поэтому определение устойчивости, а именно, мы будем называть движение устойчивым, если прн малых смещениях вихрей в начальный момент времени расстояние между любыми дяумя вихрями во нсе время движения остается близким к расстоянию между этими вихрями в начальный момент яремени. Докажем сначала неустойчивость одной вихревой цепочки. Пусть мы имеем вихри одинаковой интенсивности Г, расположенные на одной прямой, на одинаковом расстоянии ! друг от друга (рис. В1). Разобьем все этп вихри на две группы: группу четных вихрей и группу нечетных вихрей.
Всем четным вихрям ..., г ,, г т, гм гм а„,... придадим адно и то же смешение, а все нечетные вихри, я т, л,, ль ви... оставим на нх местах. У нас образуются тогда две цепочки вихрей, в каждой из которых расстояние между двумя последовательными вихрями равно 2й Движение этих цепочек вихрей будет определяться формулами (20.1) и (20.2), в которых надо заменить 1 на 21 и в которых надо положить Г, = Г, = Г; и'а, Г к огл — (п, = — ' = —, с!и — (л, — лт), Л 4й 21 (21.1) Йт Г г. От — (пт — — — — — —, с!и — (я1 — лт). Н 4й 21 Введем обозначение — (л л)=ь, 21 тогда, вычитая из второго равенства (21.1) первое, придем к уравнению йС Гг — . с!К.". М 41ЯЬ Заменяя в этом равенстве все величины на комплексно-сопряженные величины, получим: и'ь Гя — — — с!я "..
йс 4Р( Исключая из этих двух равенств врелтя г, найдем соотношение Р с!Вс — — = и с!яйа".~-с!я(мб=о. Пг с!ВС Интегрируя это уравнение, получаем: !п з!и с+ !п ип ь = !п С или э!п" э!п ". = С. (21.2) Если 1 = $ + ир то ЮП".= МпВсйт1+(СОЗВзвт; з!п'. = мп..ейт) — ! соз$зйж поэтому уравнение (21.2) переходит в зпи.-сй'ч+созт,-зь'т)=С нлн юпт;+абай=С. (2!.3) Ф 21! ов кстоичивооти вихрнвых нвночвк клрмлнл 213 «.б»б «б «У «б т г у Ь --1 -1-- Аб- — — -- ° — — —— г, г ' ггтт «, «б Рис. 84 Г Г . к ш = — 1п мп — (» — »,) + —.
1п зш — (» — »б)— 2гб 21 2кб 2! Г . к — — 1п зш — (» — » ) — — 1п йп -' — ' (» — »,). (21.4) 2бн ' 21 т 2г! 2! Тогда комплексная скорость будет: Д» б(ш — — — Ео бЕЕ Г 1 к г к = —. ) с18 — (» — »~) + с18 — (« — к,) — стн — (» — «) — с18 — -(» — » ) 4!б' ( 2! 21 2Е ' 2Е Подставляя в эту формулу вместо» соответственно»ь «,, «, и», и выбрасывая каждый раз нз рассмотрения слагаемые, которые обращаются в бесконечность, т. е. с'8-'-(», — »,) для первого вихря, и т. д., найдем 21 Общий вид этих кривых представлен на рис.
83. При равновесном положения вихрь «, лежит как раз цо середние между », и »„ т. е. в точке пересечения двух линий семейства (21.3), от- деляющих область незамкнутых линий этого семейства от области залбкнутых линий. Если вихрь «, смещзется в область незамкнутых кривых, то он будет постепенно удалвтьсэ от вихря »~ по однон бтт Я © Я © из этих незамкнутых кривых. Если же вихрь», смещается в область замкнутых кривых, то он будет описывать замкнутую траекторию около вихря», Рис. 83. или»,, притом конечных размеров, хотя бы первоначальное смещение вихря », было очень мало.
Таким образом одна вихревая цепочка является неустойчивой. Перейдем теперь к вопросу об устойчивости вихревых цепочек Кармана. Разобьем все вихри цепочек на группы по четыре вихря в каждой группе. Пусть основная группа содержит вихри »ь »,, »„ »41 придадим этим вихрям смещения ь»и а»„ ь»б, а»б. следующей группе четырех вихрей при- гк «, «, г, дадим соответственно такие же сме.
р г щения и т. д, Тогда можем разбить Л наши две цепочки на четыре: одна будет состоять нз вихрей: «и » б, «б, »-т»э ., лругая — из вихрей: »„»,, «,, »,, ..., третья — из вихрей: «э, »-б, «б»-б, »~б...., и четвертая — из вихрей: »„»,, «„« «ы, ... (Рис, 84). Расстояние межлу двумя соседними вихрями каждой из четырех цепочек теперь будет 21. Комплексный потенциал представим в виде суммы четырех слагаемых, саотвешбвующнх наждой нз четырех цепочек: 214 вихпввыв движвнид идвлдьноп жидкости (гд.
тз скоросы! цепочек: 4(2! Г 1 и — — с!ив 4(1 4П ( 2! 41«з Г с!и Н 414 ( 2! з!г, à — - = —.'( с!и— 4(1 4И 1 2! 4124 — — с!К вЂ”вЂ” з(! 4П ( 21 (2 — г )~. (гз 24) ~ (гз 24) ~ ° (24 гз) ~ . 4! и (2, — 2,) — с!и — (», — 2,) — сзп— 21 21 (гз — 2,)+ сзЯ вЂ”, (2,— 2,) — сзп— 21 21 (21.5) (гз- 2!) — с!а — (гз — 2 ) — с!а —" 2! ' 21 (24 — 2!)+с!8 " (.,—..)- 21 с!и— 2! зш — (2! — 2,) з к 2! 51П вЂ” (2 — 2 ) г. з Ьгз ЫП' ьс(гЗ вЂ” 4) е Ь«4 гз 5!П'-- (2 — 2 ) 21 В начальный момези имеем у синусов такие значения аргументов: 4! г — ( -~»= — (ь+л!)=" 21 21 г. (2! «з) = 21 2! 2* я . и 2! ' ' 2! — (г, — «,) = -'— ' (а — 1+ 5!) = — — + «, 2 к — (гз — -з) = (а+ 51+ !) = 21 з ' 21 2 к г — (2, — 2 ) =- — —, 2! " 2' к 2! — (гз — 24) = е Дадим теперь нашим вихрям соответственно смещения Ьгн Ьгз, зг,, Ь«4, Для того чтобы получить дифференциальные уравнения для этих смещений, возьмем дифференциалы левых и правых частей уравнений (21.5) (вводим зля дифференциала знак з, чтобы отличать от имеющегося уже диф- !4(г! 4(Ьг ференциала 4).
Замечая, что ь !т — ! = —, из (21.5) получаем дифферен~П1~= Пт циальные уравнения смещений: и Ьг! 1 к ( Ь«4 — Ьгз Ь«4 — Ьгз О", — Ь«4 й! 8Р!~, и к (г! «з) ззп — (2! — «з) 21 21 41 Ьгз Гк ! Ьгз — Ьг, Ь», — Ьг, »гз — Ьг, + 8!51 к 54П вЂ”. («з — 2!) 5!П вЂ” (25 гз) 21 21 (21.5) ПЬг, Гг ( Ьгз — Ь, Ьгз — згз 4(1 8!П ' г. к ып'-"-(г, — г!) щпз;-(гз — гз) 21 '21 41 Ь»4 Гк Ьз 4 зг! Ь«4 — Ьгз ззн — (2 — 2!) ЫП ( 2 ) 21 ' ' 21 4 2И ОБ ЛСТОЙЧ1!ВОСТИ ВИХРЕВЫХ ЦЕПОЧЕК КАРМАНА 215 где ° = —; (Ь+ А!). 2! ! Лля симметричного расположения цепочек Ь = О, для шахматного Ь = —. Подставляя выписанные значения аргументов в (21.6) и группирун члены с ахи алв, Ел, и Ел„получим1 1 1 л Ело ал, )Вл~+.— — Ь 2+ Вли'а СОВ'а) ' ЮП'а СОВ 2 а Г ° 8!2! ~ил2 1'т.
8122. (21.7) Га 8!2! Га 8!В Для упрощения решения задачи сделаем дополнительное предположение о характере смепленнй основной конфигурации из четырех вихрей. Именно, допустим, что Ьлв =- — оли Ел, = — Елл, т. е. что смещения нечетных вихрей одинаковы по величине, противоположны по направлению и смещения четных вихрей обладают тем же свойством. Нетрудно проверить, что уравнения (21.7) остаются справедливыми прн атом предположении, причем уравнения третье и четвертое совпадают соответственно с первым и вторым.
Остается, таким образом, система двух уравнений, например двух первых, в которых принято Ьг, = — Ели Елл =- — Ел;. Вол, Га 2! Вл Гт. — —, (А ох,+Вал); — '= — ", (Вал2+Аал), (21.8) ол! 8Вг 2Г! 8В2' гле 1 1 1 1 А=2 — —— В= — —— 22пв а савв а ' вшл а сово а ' Выражения А и В можно преобразовать к тригоноллетрическим функциям двойного угла. Тогда получим: 4 4сов2а (юп 22)2 ' (ми 22)' ' Вспоминая, что для симметричного расположения Ь = О и, следовательно, 2я, ал ял 22 = — (Ь+ Ш) = — 1, а дпя ШаХМатНОГО Ь = —. т. Е, 22 = — + — 1, 2! 2' получим; Шахматное расположение Симметричное расположение А =2 — = 2+- 4 4 (в(и — !) (28 — ) т.а ад 4 сов— 428— В.= (ип — 1) (вн — ) А — 2 — — 2 4 4 ~сов -- 2) (с)1 — ) 2:6.
тй — 4ыи — ! 41 211— (сов — 1) (сн — ) 216 Вихневые дВижения идеАльнОЙ жидкости (гл. у Таким образом, для симметричного расположения А и В оказываются вещественными, для шахматного: А — вещественным,  — мнимым. В последнем выражении мы выделили множитель 1, обоаначая яа йай — ' (си — ) Будем теперь писать параллельно формулы для симметричного и шахматного расположений. Прежде всего, перепишем (21.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
