Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Мы будем рассматривать движение частиц жидкости относительно подвижноИ системы координат Оху, перемещающейся вместе с вихрями. Составим комплексный потенциал, характеризующии движение. Если взять основные вихри верхнеИ и нижней цепочек в точках я, д и — д, (где г,== — + — <), то комплексный потенциал, пропсхо- 4 2 схемА кАРмАнА движения телА а 52! дящий от вихрей обеих цепочек, будет иметь вид Г, е Г , е 2 с! т е 2,; 1 е = — —.
1п 3!и — (2 — 2 ) + — 1п 3!п — (2 + 2 ) = мп Т (г-г ха) = — 1п . (22. 3) 51П вЂ” (2 — 2 ) а Кроме того, так как мы сообщилн системе координат Оху лви:кение параллельно оси Ох со скоростью — л, каждая частица жидкости получит добавочную скорость и параллельно оси Ох. Соответствующий комплексный потенциал будет иметь вид: тез — — Л2. (22.4) Таким образом, полный комплексный потенциал определяется формулой и — (г Нга) 1 г (г + г,) Г Мп — (гз-га) 51л = — — 1п 4г, г.
(г га) 5!П (2 га) 5!П Г у,(х, у)= — — !п 2в 'х — (г — га) ! и мв— е и соа — ' (г+ г+ ге + га) — соз — ' (г+ га — г — га) Г = — — 1П 4-. ;а и соа — ' (г — га+ г — га) — соз — ' (г — га — + га) а' 2я !' 11 2гд (' Л1 соз — х+ — 1 — соа — у+ — 1 1П соз — ' ~х — — ) — соа — ' ~у — — ) 2.5 (' й1 21х сй — 5(у+ —,1+ мп — — 1П - —.— 4е 24 7 а'а 2ех си - — (у — — ) — мп— (22.7) мн — (г+,) + 2ГГ (22.б) 5!п — (г га) 11ри этом, согласно указанному выше, в областях жидкости, далеких от тела и лежащих перед телом (по направлению его движения), мы должны пользоваться потенциалом ы,, в областях же за телом необходимо пользоваться потенциалом ш.
Там, где движение характеризуется потенциалом ое, очевидно, будет: и„= и, ое =О. (22.6) 1'асснотрнм теперь движение, определяющееся потенциалом тв, (г) = аа, (х, у) + (Ф, (х, у). Вь|чнслим прежде всего значения функции тока ф,: Вихвевые дВижения идеальном жид!(Ости [!'л. ч 228 На рвс. 86 начерчены линии тока ф,(х, у) =сопз1., причем отношение л11 взято согласно условию (21.9).
Ле~ко найти предел ф,(х, у), когда у — >+со. В самом деле, в этом случае 2,2 Л 2-.у !Л 2)' 2 ' 1( 2! 2 и, зиачит, 2Л вЂ” Г 2яд Гд 4В 4в 1 2! 1пп !)!(х, у)= — — !пе ' = — — — = — —,. (22.8) Точно так 2ке легко Найти, что Гь 1!и! ф!!! (х, у) — -1- (22.9) 11срсйдем к вычислению скоростей. Проекции скорости можно определять по формулам (22.10) или иепосредствеи!ю из равенства л~! о, — !'о, л у,у (22. 11) Воспользуемся последним равеиствол!.
Так как и!! определяется формулой (22.3), то и сов — (е+ ле) соз — ( — ло) ! . к 2!и — (е+ л2) 1 В мп "- (» — еь) 2пг, мп — '. Г и !Ы сов — + мп— ! 1! 2В 2пе! Соз — -- СОЯ вЂ” ' ВЛ сй— Г! (22.12) Мы пс булез! отделять в этом выра;кении вегцествеииую и мнимую час!и, чтобь! Иайти т!х и о... Мы только заметим, что если у имеет очень большие по абсолютной величина аначаннн, то ( сов 2нв!1~ сйе Г 2яр ! 2вг, ВД соз — —.!- ! 21! 1 ! В !!1 сов— 2ВВ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЛОБОВОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ ПО КВРМАНУ 229 4 231 дэ О=- / ро, (х, у) !у= —,, ! ~'' г(у=- — — р (Вп> 4>>(х, у) — 11ш ф>(л, у)) =- >'.+.~. э у .> — э 1й Г Л, 1'г>г 2! 21! ! (22.13) Таким образом течение жидкости, вызываемое двумя вихревыми цепочками, таково, что за каждую единицу времени через любую прямую х =- сопз1 протекает всегда в направлении отрицательной оси Ох масса жидкости Г!>р!1.
Очевидно, что при сделанных нами предположениях, так как на больших расстояниях перед телом мы предпола~ аем жидкость покошцейся, упомянутая масса жидкости должна расходиться по обеим сторонам, т. е. мы приходим к заключению, что через грани АО и ВС будет в каждую единицу времени выходить масса жидкости Г!>о!!. 11акопеп, что касается движения жидкости, определяющегося потенциалом ш и имеющего место за телом на далеких от него расстояниях, то в этом дни>кении очевидно будет: (22.
14) Ох ГГ+ О>х Оу О>у' В 23. Вычисление лобового сопротивления по Кйрману. Обозначим теперь через К, проекцию на ось Ох количества лвшкения той массы жидкости, которая находится в момент ! между контуром АВСО и контуром тела. Возьмем промежуток времени от монс,иа -. Ло момента т -1- Т и постараемся вычислить приращение Веги> >ипы К, за этот промежуток. Для этого предварптелшю выцс,шм: г!К! =' К>+ю 2ях й 2яа 2хх будет очень большим ~так как ) соз — ~ = соз — - соз — — =-.- 1 4вх, 1 4яу 2 ! 2 =; — соз — -+ —, с1> ) и, следовательно, скорость частиц >кидкос~и в этом случае очень мала. Поэ>.о»у в дальнейшем мы сможем пренебрегать происходящими от комплексного потенциала тв> скоростями частиц жидкости, лежащих, например.
Иа прямых АВ н ВС. й(ы должны, однако, отметить весьма важное следствие, вытекающее из формул (22.8) и (22.9). А имен«о, вычислим, какое количество жидкости протекает в единицу времени через линию х = — сопз1. Оно определяется, очевидно, формулой 230 ВихРКВые дВижения идьлльнои' жидкОсти !гл. ч Очевидно, эта величина складывается из трех частей: во-первых, из приращения проекции на ось Ох количества движения тех жидких частиц, которые в момент Т находились в рассматриваемой области, во-вторых, из проекпии на ось Ох количества движения тех жидких частиц, которые за промежуток времени Л вошли в рассматриваемую область и, наконец, в-третьих, из взятой со знаком минус проекции на ту же ось количества движения жидких частиц, вышедших за промежуток времени г!Т нз рассматриваемой области: ак,= !,К,+азк,+ !ХКР Первая из эгзгх трех величин может быть определена на основании закона количеств двигкения, по которому производная по времени от проекции количества движения какой-либо системы точек на некоторую ось равна сумме проекций на ту же ось всех внешних сил, действующих на рассматриваемую систему.
Мы пренебрежем действием всех внешних сил, за исключением силы, с которой тело действует на жидкость, и сил давления, действующих на контуре АВСО со стороны внешних по отношению к рассматриваемому объему частиц жидкости. Так как сила, с которой тело действует на жидкость, по принципу равенства действия и противодействия, противоположна той силе, с которой гкидкость действует на тело, то проекция нз ось Ох силы, с которой тело действует на жидкость, равна — !р". Далее, силы давления, действующие на гранях !О и ВС, очевидно параллельны оси Оу и не имеют составляющей по оси Ох.
Принимая это во внимание, мы можем написать следующее равенство: — = — %'+ / рг!у — ( рау, АКг АВ сп Переходим к вычислению суммы г!2К,+г!2КР Отметим, что в рассматриваемую область АВСО частицы жидкости могут входить как через грани АВ и СО, так и через грани АЛ и ВС. Рассмотрим, например, грань СО.
'!ерез элемент г!у этой грана за время г!Т выйдет, очевидно, масса жидкости ро Шг!у, которая унесет с собою количество двинсеггня зсидкости, проекция которого на ось Ох равна рпг Жду. Всего через грань СО выйдет количество движения ~ го2 Луем. сп точно так же через грань АВ войдет количество движения Ел ВЫЧНСЛЕ!1Н!.
ЛОЬОВО! О СОПРОГИНЛЕНЦЯ ПО КАРМЮ!К йз1 Наконец, через грани АО н ВС за время тВ выйдет, как мы виделн рдр выше, количество жидкости — стг; проекция скорости о на этих гранях равна и, поэгому через указанные две грани выйдет колнчеэля ство н<ыдкостн —.— и!!г, а потому мы будем нметьл Ф„К, + д К, — — / рот И т! г! г — ! ро'- Ну !т! — — ~ и ттг, ГЬ, АВ сп О !ончательно для приращения проекции нз ось Ох количества дввж ния массы жидкости! находящейся внутри объема АВСО, полечим! К -.
=- — т и ь/ ~!т-тт!)тт — ( !т-т,е!ттул — тт,'"-л. ЬАВ со Интегрпруя это выраженне по промежутку времени от момента т до момента : + Т, легко получим; т-г !' вв т/ 1!т-~Р!т~ — !!т-Ь„т!тт~ — —™ ,'"т. !тз.!! ь АВ со Но левую часть полученного равенства легко вычислить непосредственно. В самом деле, за время Т тело продвинется относительно вихрей влево на отрезок 1; следовательно, в моменты т н т+ Т лвижение жидкости будет совершенно тождественным, единственная разница будет в том, что вся картина движения сместится влево на отрезок 1.
Поэтому, если мы обозначим через А'В' н С'0' отрезки АВ н С0, перенесенные на расстояние ~ вдоль оси Ох, то картина движения в момент т+- Т внутри прямоугольника АВС0 полностью совпадает с картиной движения в момент ". внутри прямоугольника А'В'С'0'. Но тогда ясно, что разность К г — К будет равна разности проекций на ось Ох количеств движения двух масс жалкости, заключаюшнхся соответственно внутри СС'0'0 н АА'В'В, т.
е. К,— К = ) ~ рот~~хну — ~ ~ рот Ух Уу. АВА'В спс о 232 зпчггвые двпжгппя идглльпои жпдкост~ 1гл. т Еомбнннруя этот результат с (23.1), легко получим для среднего зна иишя лобового сопротивления, испытываемого телом, формулу ° =- 6"-р')"- ~(р †.:-)"— лв с'о 1Р I р р 1 ГАси — ! ),.о„т)хНу — ) ~ ро г)хггу — — -' —. (23.2) сосхо' лвл'в' Отметим еще, что по формуле Бернулли о = С вЂ” -- эоз = С вЂ” — р (оз + оз), 1 1 2' 2 где С вЂ” - постоянная.
Поэтому ~(.+ро;) у — ~(р+ро„) у= лв со =-; ~ 61".-",) — 1'~",— О 1 1лв со где \ ="- —, 1/( -",~ — 61.-",) ~ л+ ьлв со с= — с -( () ~,с сс — 1 (с,с сс~. ь+ (.сос о' лвл в (23.4) (23.5) Остается произвести вычисления. Так как в области АВА'В' проекция скорости о, равна постогнпгои величине и и так как области СОС'1У н АВЛ'В' равны, то, очевидно, что 1 В=- — 1(пс — 1, а(о — п)Нхт)у„ сос о Но по формулач (22.! 4) и (22.10) д~5~ оз и огс ву Вставляя это выражение в формулу (23.2), получим равенство, которое имеет пока лишь приближенный характер, но которое делается вполне точным, если считать грани АО и ВС, а также АВ и СЛ бесконечно улаленнымн; в этом случае для среднего лобового сопро- тивления, которое мы обозначим )и',„, получим: ;-г В;„= —,.'./ 1РП=А+ — ~ф, а з! Вычисление лоьОВОГО сопРОтивления по кАРмлну 233 значит.
г,ег»» Е Но пани В формуле (22.13) уже был вычислен интеграл д»л (х, )') г(у= !!гп ф,(х, у) — Ищ ф,(х, у)= — — -. Та ду Поэтому легко найдем, что В= — ! — Вх = — —. Т,! ! Т (23: б) Переходим к вычислению Л. Так как на АВ имеем о„= — и, о =0 и ~ак как ЛВ н С0 равны по величине, то очевидно А= — !!ю —,В ! (О2,— о- — и2)ду. ./ со 1)оспользовавгнись формулаии Эх = и+222, П = ОГ „ у гн легко найдем, что ! А= — !!Вз —;р ! (О2, +2ио, — о2,)г(у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
