Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Симметричное расположение гт де, Гяд — (А де, + В део), гв 8Р Шахматное расположение о( д», Г. — — — (1А де ~ — О дез), Ег 8Р ос око Гвг — — — — (В ое + А ое ). о(1 81' гт део Гг — ' = — (от ое, — 1А део). ог 8Р Напишем теперь системы дифференциальных уравнений для смещений в вещественной форме. Для зтого положим: де, = ах, +(ду, = $, +О1И део = ах,+1ду, ст+цо Симметричное расположение по( — = — й (Ач, + Вчо), г(1 Шахматное расположение — = — й (Ач, + 1)оо), о( 8 ~ о(1 о(1 ' = а (В„+ А;о), — "",' = — д(А;,+в(,), пт о(т~о — = а(во, +Ас,), г(1 ф=д(И,+А,,), и'1 — — ' = — й (Ад, — ()чо), геч, 81 — = — д(ое,— л), Пдо Ег со где Ге й= —.
8Р ' Будем искать чзстные решения полученных систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами в виде показательных функций: 6, =Ме'"', Цо =№ ~, тн =Ре"', во =()е"', где М, )У, Р, () — постоянные. Составим производные: — = мМе о(1 ое и'1 Щ и подставим в уравнении выражения для 3ь..., —... с(г ' '' и отделим в последних дифференциальных уравнениях вещественную часть от мнимой.
Получим системы четырех уравнений: $ ан ов тстопчивости вихрявых цнпочнк кармана 217 Сокращая затем все уравнении па е'"Г, получим системы алгебраических уравнении: Ш ахматное расположение мМ+ й)9ДГ+ йАР = О, — й)9М+ мГГà — йА() =. О, йАМ+мР— й()Г',) = О, — йАМ+ й0Р+ иГ',Г = О. Симметричное расположение мМ+ йАР+ йВ() = О, м)тг — йВР— йА() = О, йАМ+ йВЛГ+ иР О, — йВМ вЂ” йАХ+ и() = О. Как известно, для того чтобы система однородных отношпельно М, ДГ, Р, () уравнений была совместна, необходимо равенство нулю определителя четвертого порядка, составленного нз коэффициентов при М, И, Р, ~Г.
Будем поэтому иметь: Шахматное расположение Симметричное расположение и О йА йВ О и — й — йА йА ГГВ и Π— й — йА О и йГ) йА О и Π— йА О и — й — йА йГ) и — йГ) йА О Раскрывая этн определители и располагая их по степеням м, получим такие биквадратные уравнения: и' — 2йа (Ат — В') ма+ й' (А' — Вт)а = О для симметричного расположения и и' — 2йа (А' — Г)т) мэ+ Р (А'+ Гуа)т = О для шахматного расположения.
Корни этих уравнений и = жй УАа — В' = — "2й для симметричного расположения, и = шй (Аж И) (21.9) для шахматного расположения. Для симметричного порядка существуют частные решения, которые содержат функцию етаг. При возрастании Г смещения возрастают, следовательно, имеем неустойчиэослГь движения. Что касается шахматного расположения, то для него получаем частные решения, содержащие функции: екал'соа й()Г н е*алсяп йВВ Показательные функции с положительным показателем возрастают с возрастанием Д что указывает на неустойчивость расположения в общем случае. Единственныи случай, когда возможна устойчивость движения, требует обращения величины А в нуль: 4 .й А=2 — =О, откуда сц — =Ф 2, спт— яй 218 ВИХРЕВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ [гл, и Это и есть полученное Карманом условие усгноичивосгли.
Оно дает зависимость между величинами Д и 1, т. е, расстоянием между цепочками и расстоянием между двумя соседнимн вихрями каждой цепочки. Именно, из (21.9) можно путем вычисления найти следующее приближенное значение: — = 0,2806. л ! (21.10) Г яд = — гав 21 Введем теперь обозначения 1 И 1 И 51 И 31 И и бУдем считать, что в начальный момент 1 = 0 вихРи еи лн ем г, лежат соответственно вблизи точек лгю леи еаи есн Положим теперь Г/ 1 А 21 Гяг яй ел =- — гн — +ело+ — (л с = — — = Н (2111) 21 1 е ' 8П ' 21 где сл суть безразмерные смещения вихрей относительно тех положений, которые онн имеют в невознущенном движении, а -. — безрэзмерное время; тогда уравнения (21.5) примут вид: / — '=Фа((-~)+с18((-~+-+ Н)+ + с18 (ь, — 1, — — + 1Н) ~ — 2 гй 2Н, + 8(' " 4 ) нт Зн + с18 ((э гт+ 4 +/Н)~ — 2ГЬ2Н, Жв 8 — ' = 1~ (К (Сэ — (,) + с18 (сэ — '., + — + гН) + + Ый ((~ — :', + — + /Н) ) — 215 2Н, / я — т =1~ с18 ~(, — 1„— — + /Н~+ с/81(в — (~+ —,, + ~Н) + (21.12) +~и(;э — !в)' — 21Ь2Н, Это значение очень близко и данным, полученным в опытах с движением цилиндра в воде.
Покажем теперь, что и при выполнении условия (21.9) получается неустойчивость движения. 1(ля этого нужно провести более точное исследование, аналогичное тому, которое мы проделали в начале параграфа для случая одной цепочки вихрей. Будем исходить иэ системы уравнений (21.5), определяющей еи гм е„е, в функции времени, т. е, определяющей движение всех четырех цепочек вихрей. По формуле (20.4) невозмущениые цепочки вихрей двигаются со скоростью $20 оп кстончивости вихнввых ниночки кйнмлнл 219 Легко видеть, что 0 и, следовательно, (21,13) г Сз+ оз Со — сопя!. Постоянная определяется по начальным значениям величин Предположим последние такими, что вта постоянная обратится в нуль. Тогда во все время движения будет выполняться ранено~во ог — оз+ оз — ьо = О. В силу (21,11) вто означает, что «о+ аз ло = лго — лго+ лзо лоо = !+21" (21.14) в частности, будет выполняться равенство У1+ Уз Уз+ Уо — — =А, 2 показывающее, что среднее расстояние между вихрями верхней и нижней цепочек таково же, как и в случае невозмущенного движения.
Рассмо~рим теперь тот частный случай, когда выполняется условие Кармана, так что вЬ2Н=11 сй2Н=Ро2; (21.15) вводя обозначения 2 (бг (П = а; 2 (о — 41) = 3 из (21.12), пользуясь еще (21.14), получим: (21,16) да .. (' 1 1 — =41 ип8 ! ' тсоз а+ сов 3 сов 3 — 1) ' д8, ~ 1 1 — -' — = 4! ып а '1 СОВ а+ СОВ 3 СОВ а+1) (21.17) Положим: а=а~+газ, 3=8,+!3 (21.18) Г=4!и — ! (сов а+1) (сов 6 — 1) ! сов а+ сов 3 (21.19) тогда предыдущую систему можно записать в виде наг дг" с аз дог о(8, дР дзг дР дт дйг' дт д8 ' Фт даз ' дт даг' Эта система имеет очевидный первый ннтегрзл Р = сопя!. (21.20) (21.21) (21.22) Разложим д' в ряд Тейлора: 4 1 2 г = — 2а а + 23 3 -1- — а — — а а з 12 ~12 8 1 3 12 1,2 „ф гг2 32) 2.з 3 + — й 32 —— 3 ' 4 3 2 2 2 з 1 4 агат + агат + ат + 4 3 8 — аа82 + — и + 44 1212 8 1 ,2 2 2 .3 1 4 3»'.Г8~2+ 220 вихревые движения иделльнои жидкости Система уравнений (21.20) принимает вид: !гл.
и 2(2' 2 52 ("~ «2) «!«252+ + 3 3! в 5232 25гйг+ 2 Ьг+ 2 з 3 г г 1 з — 232 2 «гг(«! «2)+«2«232 2 5! — 2««232+ З,,с 2 з + 2 "'рг + 3 ~2 ' (21.23) 2(1, 2 з 3 2 — '-- = — 2« — — « — — а «+ 2«а + «'т 3 2 + — «2 — †, « (3~ — 3 ) — агй252 + 1 з 2 3 г 2 з — = 2«2 — — «! + 2«,«2+ — «2«2 — = «2— 2 ' 2 3 — -- а! (й — Н ) + «23202 + ..
1 2 2 «1+ аг+ й~ + Рг превзошла конечную величину. Если мы в праных частях уравнений (21.23) оставим только члены первой степени, то получим систему первого приближения: — = 23,, — = — 232, —. = — 2«„— = 2«,. (21.24) Д«~ ««. ~(т ' ' «'т ' дт " 3« Решая эту систему обычным способом, мы придем к алгебраическому уравнению четвертого порялка, имеющему два чисто мнимых и притом днукратных корня ж 25 Можно показать'), что в этом случае для решения вопросов устойчивости необходимо рассматривать полную систему (21.23). Применим для ее исследования метод Ляпунова.
Введем обозначения «г = г, соз 9ь 3~ —— г, з!и гь «2 = гз сов ет, ба = гт 21п ут, (2125) ') Л я и у нов А. М., Общая задача об устойчивости движения, ОНТИ, 1935. где невыпнсанные члены — степени не ниже пЯтой от «ь «„Зь 32, Как было указано в начале параграфа, мы считаем вихрьевйе цепочки неустойчивыми, если можно указать сколь угодно малые начальные смещения вихрей, такие, что при дальнейшем движении расстояние между двумя вихрями будет отличатьсн на конечную величину от первонзчального расстояния между этими вихрями.
Очевидно, что неустойчивость цепочек Кармана в случае выполнения условия (21.15) будет доказана, если мы сможем указать такис сколь угодно малые начальные значении «ь «2, )ь «32, побы в дальнейшем движении величина 4 511 ов кстоичивости вихгивых ивпочвк клвмлил 221 тогда сисреиа (21.23) преобразуется в такую: 1Рг! Пт 1 1 г — — Г! 51п 4р1 — — Г!13 51п (3!р1 — З!5)— б 2 — гз!гз яп (у!+ тз) + — г1гз зяп (2!р! + 2!рз) + + — г!гз 51п (2т! — 273)+ — гз яп (71+ ~рз)+ .. — б Гт 5!П4Р5 Г 2 Г,ГВ 5!п (ЗР — !Р!)+ + г1гз 51п (51-г рз) + — ггз 51п (271+ 275) + г., 1 1 + — г!г1 яп (225 — 271) — 2 г! 51п (71+ тт) + .. (21.26) г — = — 2г — —,г — - -г сов 4е — г г соз (е + т )— бт! з 1 з 5 !15 ! 2 ' б 2 1 г,гз сов (371 — рз) + г,гз+ —, г,гз сов 2 (т! + 73) + + — Г1ГВ СОВ 2(!р1 — ет)+ — Гз СОВ (в!+ 55)+ ., г 1 з Г, — = 2Гт — 2 Гз — — ГВ Сов аз + Г!Гт СОВ Я + !рз) + ~р'рв 1 3 1 3 2 + г1гз сов (Зсрт — 71) + ~1гз + — г!гз сов 2 (р! + 73) + + — г,гасов 2(р, — !рз) — — г, сов (т!+!рз)+ где невыписанные члены — степени не ниже пятой от г, и г,.
Система первого приближенна принимает вид (21.27) и имеет первые интегралы (21.28) Г, = СОП31., Г, = СОП51., т! + тз = сопв!., но тогда произвольная функция от гп г,, е, +т5 тоже будет интегрзлом системы (2!.27). Отметим, в частности, следующие интегралы; Г1, Гт, Г1ГВ Соз (т! + з!3), Гн Г1Г1 СОВ (р! +з!3), Гвгт 5!п (!р1+ !рт), 1 3 3 В 3 3 Г!Г351п2 (у!+ ет) Г!Гз сов (р1+!рз), ви1 (т1+ 'рт)' Г1ГВ, Г1ГВ соз 2 (е1+ тз)' гз г г~з яп (в!+ рз), г51.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
