Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Введем полярные коорлинаты г и О, положив: х=гсовО, у=гв(п0, з=гегв, и пусть С» = А»+(В», тогда из (3.3) без труда получим: Лесов 0+В» в!и 0 А, сов 20+ Вв Мп 20 г 2(в Авива — В,сов 0 . Л,вш20 — В,сов 20 г 1 2г' придем к заключению, что А,=О, Аа= — ()ав, В,=ьга', А,=В,=О, А»=„— О, Полагая в последней формуле г= а и сравнивая полученное выражение со значением ф, даваемым (3,1); ф= Гга з(п 0 — вга сов О+сонэ(., ДВИЖЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРЛ 245 ам !1олагая еще, что Г В,= — —, получаем общее решение рассматриваемой задачи в виде Г дг тв = —, ! п,т — ! С7 + 7)г) —, 2е! а ~3.4) Г пе ~7=.— 8 — (Сгсоз 0+1' з!п 8) —, ' 2я 13 б) а' ф = — — ! п Г + (С7 з1 и 8 — )г сов 9) — . 2п (3.6) !) простейшем случае, когда Г=О, 1'=О, мы пол)чаем: Сга' <3.7) но как раз такой же комплексный потенциал имеет течение от луС- лета, помещенного в центре цилиндра, который имеет момент уу1= = 2ЕС7а' н ось которого направлена по положительной оси Сх !9 18 главы четвертой, рис.
54). Линии тока в обоих случаях буд)т одни и те же, и мы получаем картину течекпя, изображенную на рис. 89. Точно так ~ке комплексный потенциал ш = — ! + ) (3.8) а т соответствует дублету в начале координат, направление момента которого совпадает с направлением скорости движения цилиндра. Комплексный потенциал ш = †, . !п а (3.9) Г 21и' Рис. 89. определяет вихрь интенсивности Р, помещенный в начале координат, Итак, рассматриваемое нами течение, получающееся при движении цилиндра, может быть получено как результат наложении на вихревую точку произвольной интенсивности, находящуюся в центре цилиндра, дублета, помещенного в той же точке, с моментом, напра;.ленным по скорости цилиндра и имеющим величину 2яда'-, где 9 — скорость цилиндра.
плоскля злдл'!л 0 движении талл !гл в! Нетрудно нз полученного решения получить решение др>той задачи, а именно задачи об обтекании неподвижного кругового цил~ндрз потокои, имеющим на бесконечности заданную по величине н направлению скорость. Обозначим эту скорость через (3.10) Поступательный поток, проекции скорости которого на оси коорди- нат суть У и Ъ', имеет комплексную скорость и, слеловательпо, комплексный потенциал ш=(и — ! )л= „а. (3.11) Если круг С движется поступательно со скоростью а на бесконечности жилкость покоится, то течение, получающееся впе яру~а, определяется, по предыдущему, комплекснь!м потенциалом = —,, 1" +(и+М вЂ”,.
Г аа Складывая этот комплексный потенциал с комплексным потенциалом (3.11), получим: л! Г Ш=(и — !)г) +(и+1(г) — — в.( (3.13) а!о„, Г то = о„,е + — .+ —. 1и е. е 2га (3.1 4) Если скорость потока на бесконечности направлена по оси ОХ н циркуляция скорости 1' обращается в нуль, то получим: ш= и~а+ — ). (3.15) Этим последним выражением определяется, таким образом, бесйиркуляцаонное обтекание круга поступив!слепым потоком. Очевидно, что в полученном течении скорость на бесконечности имеет проекции (г и (г. Очевидно также, что выполняется условие обтекания на круге С, ибо течения (3.!1) и (3.12) дают на этом круге взаимно-у! ичтожающиеся нормальные составляющие скорости.
Воспользовавшись обозначением (3.10), мы можем записать выражение (3.13) также в виде 247 лвнжг.нис квтгового цилгпгдг л Воспользовавшись опять полярными координатами (г, 0), без трупа получим для этого последнего случая, что 9.=- У ~г+ — -) соз Гг = Ух (1 + — —,;); ф =- У (г — — ) в!п 0 .—.— (7у ( 1 — —,,) . (3.1 6) Из послелнего выражения очевидно. прежде все~о. что окружность С, на которой г — а, является линией тока ф= — -О. Остальные линни тока суть кривые третьего порядка (рис. 90): 1-....) =-- На окружности С 9=-2аЬ' соз 0, (3 !7) т'— Х и, слеловательно, лля направленной по касзтельной к окружности С скорости мы получаем величину — — —. „— —,-- =- — 2У з!п 0.
(3.18) бт 1 Оу Рнс. 90 то ясно, что лавление булет одинаково в точках окружност;г С, симметричных как относительно оси Ох, так и относительно оси Оу. А тогла очевидно, что силы давления, приложенные к элементам окружности С, взаимно уравновешиваются, Таким образом поступательный бесциркуляционный поток илеальпой жилкости при принятом допущении о безотрывности обтекания не оказывает на круговой цилиндр никакого результирующего давления. В чисто цирнуляционном установившемся потоке у то =. —.- !и л 2т Таким образом скорость в точках контура С имеет величину 2(/, 'з!и 0).
Наибольшее ее значение равно 2(7 н достигается в концах диаметра, перпендикулярного к направлению скорости на бесконечности. В точках окружности С, симметричных как относительно оси Ох, так и относительно осн Оу, значе>ше скорости одно н то >ке.
А так как для установившегося безвихревого движения несжимаемой мгндкостн при отсутствии массовых сил (что мы будем всегда считать, если не сделано особой оговорки) давление р определяется из интеграла бернулли р+ — -= С, рог 2 (3.1 9) 249 двнжгннс квгтового цилипдва чрП ая внутри, на расстоянии 4~У ! 1У~ ~4~17) В этом случае все частицы жидкости, лежащие на мнимой оси внутри интервала (зп а() при !' ) О или внутри интервала и (го — а() при !' < О, будут описывать замкнутые овальные траектории, окружающие цилиндр (рис. 92) Если ~1'' ( 4п()а, то обе критические точки расположатся на контуре цилиндра (рнс.
93), так как в этом случае формула (3.21) дает: ~з(=а 1 * р " Р й токе пе будет. Если ! Р ( = 4я(Уа, то мы Рис. 92. получаем промежуточный случай: будет одна критическая точка, лежащая на контуре (рис, 94): ~г + 4ясГ причем имеем знак + при Г) О, — при Г < О, Рис. 93. Рнс. 94 Переходя к вычислению проекций Х и У результирующего давления на слой единичной высоты, вырезаемый в обтекаемом цилиндре двумя плоскостями, параллельными плоскости течения, воспользуемся н.,'ч!.ыги !лцы!А о дв!!лсьн!н! талл ргл ш интегралом Берну.гли (3.!9), тогда получим: х)г!з —.— ~ ~ о'сов Вг(0 — Са созВФΠ—— 2 д о о га 2и / ог соз 0 Дг» гл гк у) г!з == Г ~ ог яп В г(г! — Са l з!п 0 г10 =— 2,! о о г", — о 5!и О ггг! д Х=.— — ~ рсоа(л 1 =- — ~рсоз(л где и--направленне внешней нормали и ггз — элемент дуги кругового контура, так что сов (л, х) =- соз 0; сов (л, у) == яп 0; дз = а о!О.
На контуре ш!линдра скорость будет складываться на скорости (3.18) и скорости Г!2па чисто циркуляционного потока, так что Г тг ог = — ~2У яп Π— — 1 и поэтому г 4(/г ~ !пгОсозбг!Π— 2 — / з1пОсозВН+ о о !' г +,, ~ соз Ог(0 =-.О, 4п'а',! о с 4Уг / з!па О !!Π— 2 — / япг В о(В+ о о рг + —,, ! яп ОЮ = — рУГ. о (3.22) 2 Таким образом поступательный поток с циркуляцией скорости оказывает на тело давление, направленное перпендикулярно к скорости потока в бесконечности. Чтобы точнее определить направленяе нестлционлоное течение векгора результирующего давления гс, заметим, что нри Г О б)дет 'г' < О, а прн Г < О будет г') О; в обоих случаях нужно повернуть на прямой угол навстречу циркуляции вектор скорости потока в бесконечности, чтобы получить направление вектора )с.
Этот парадоксальный результат возникновения результирующего тавления в составном потоке при отсутствии такового в составляюпн1х его потоках — чисто поступательном и чисто циркуляционном, находит свое объяснение в асимметрии течения, получающегося при сложении этих потоков. Считая, например, циркуляцию положительной н взяв для сравнения две точки пересечения контура цилиндра с осью Оу, в которых векторы скоростей составляюптих потоков коллинеарны, мы видим, что в верхней точке, где этн скорости противоположны по направлению, результирующая скорость окажется меньше по величине результирующей скорости в нижней точке контура, где величины составляющих скоростей складываются арифметически.
Поэтому, как это следует из интеграла Бернулли, давление на цилиндр в верхней точке оказывается больше давления в нижней точке, что и обьясняет возникновение результирующего давления, направленного вниз. Формула (3.22) является частным выражением формулы Кутта — Жуковского, применимой к любой форме безотрывно обтекаемого контура 1см. ниже Я 6 и 8). $4.
Нестационарное течение, вызываемое движущимся круговым цилиндром. Вернемся к течению, вызываемому движущимся круговым цилиндром радиуса а в безграничном объеме жидкости, которая покоится в бесконечности. Допустим, что движение возникло нз состояния покоя; тогда по теореме Лагранжа течение жидкости будет потенциальным; пусть, кроме того, потенциал скорости р будет однозначной функцией; это требование сводится к допущению, что циркуляция скорости по всякому контуру в жидкости равна ну.тю. По отношению к подвижным осям Оху течение является неустановившимся лаже при равномерном движении цилиндра.
Выберем неподвижные оси Оху так, чтобы в момент Г= — О цегнр цилиндра проходил через начало координат грнс. 89). Так как в рассматриваемом случае Г = О, то из формулы (3.4) получаем для комплексного потенциала выражение (у+Еу) ая где ~ = ~ И) + гй И) есть радиус-вектор центра цилиндра и плоскля злдлчл о движении талл 1гл. щ вектор его скорости. В частности, при прямолинейном движении цилиндра вдоль оси Ох со скоростью и получим: ил а то=в откуда иа' (х — .") 9 иа'1 (х — Г)а -)- у' Кинетическая энергия Т', заключенная в безграничном слое зп1дкостн единичной высоты, может быть вычислена по формуле (13.7) главы четвертой 1 Т = — р~у,(ф. 2 Вычисление, лает: 2 Т' = — ри'аз / созе 0 И = — аз азиз = — Л Гиз 2( .I 2 ' 2 о гтс Лà — масса вытесненной жидкости в объеме, приходящемся на еднпипу длины цилиндра.
Полная кинетическая энергия системы из цилиндра и жидкости будет: Т+ Т' = — (М+ М') и, 1 2 где М вЂ” масса цилиндра. Применение закона живой силы приводит нас к равенсгву (М + М') и г(л = Г г(з = Ги г(г нли М вЂ” = à — М' —, лт лТ' где Р— внешняя сила, приложенная к цилиндру н действующая в направлении осп Ох. Последнее равенство показывает. что цн.тнпдр испытывает силу сопротивления М'г(и(г(г только при ускорении своего звп кснпя; при равномерном прямолинейном движении цилиндра сопротивление исчезает. Движение цилиндра пол действием внешю|х спл происходит тзк, как если бы жидкость отсутствовала, по цилиндр приобрел добавочную массу, равную массе вытесняемой зкидкостп.
$5. Общие выражения для гндродянамнческнх реакций прн установившемся течении. Формула Блазнуса — Чаплыгина. Обратимся к установлению общих формул для главного вгкторз и главного момента скл гидродинамических давлений, приложенных к неподвижному ш1лпндру произвольной формы при обтекании его установившимся потоком несжимаемой жидкости. При этом мы сначала не будем делать предположення о существований потенцнада скоростей. а а1 огщнз выялжнння для гндподимлмнческнх гьлкпнп 25ч считая лишь обтекание безотрывным. Если по аналогии с понятием комплексной скорости ввесчи в рассмогрение комплексное давление Й потока на тело, определяя Й как зеркальное отражение главного век- тораа )с сил пщродииамическнх давлений от действительной осн, то й = Х вЂ” )?' =- — ~ р 1соз(и, х) — ! соз(и, у))г)з =— с = — — ~ р (з)п О+ ! соз 0) сгз = — ! ~ реши г)г, с с где и — направление внешней нормали к контуру С те,та, а 0 — угол между элементом контура оз и осью Ох !рис.
88). Замечая, что г)а= — с)х+)г)у=г)з(соз О+! з1п О)= е" г)з, г)л=-г)х — !г!у=с!з!соз Π— ! з1п О)= — е-мг)з и применяя интеграл Бернулли р — — с — —, роч 2 ' имеющий место вдоль контура тела при безогрывном обгеканни, в предположении отсутствия массовых снл, находим: !1г г т — гз г Й= — !с ус)г+ — уотс)л= — -'- у о'г)г. 2л 22' с с Замечая далее, что г)л = е ™ г)д, получаем: Й =-- —,г (ое- ')' г)л. 2 Д' 11о при безотрывиом обтекании вектор скорости течения на контуре нзправлен по кзсательной к контуру, н, следовательно, ое-и —. о соз 0 — !о з)п 9.= о — -!о представляет собой комгпексную скорость о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
