Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Задача эта является ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЪ|Х ФОРМ ПРОФИЛЕИ ЦИЛИНДРОВ 275 з |а! обратной задаче определения комплексного потенциала при обтекании цилиндрического тела заданного профиля. Мы рассмотрим здесь лишь некоторые простейшие комбинации источников н стоков. а) Источник и сток равной обильностн т, помещенные на вещественной оси в точках — а и + а прн наличии однородного поступательного потока, скорость которого в бесконечности о = У Рис. 102. направлена вдоль оси Ох (рис.
102), дают течение с комплексным потенциалом =У + — „1,'+,". (!2.1) Потенциал скорости и функция тока выразятся формулами т г, гл Ф= Ух+ — 1и — '; ф= Уу — — Р г = уг(х+а)в+уз г = )/г(х — а)в+уз и угол у=(гз, х) — (гн х) определяется соотношением сот у = соз (гн х) соз (гш х) + В!и (гн х) з!и (г,, х) = г,гт Для построения линий тока т Уу — — Х=с 2е мы можем воспользоваться известным графическим приемом Максвелла, рассматривая скалярное поле ф как результат наложения 276 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл. У! друг на друга более простых скалярных полей Ш Ф,=иу и Ф = — у. 2к линиями уровня которых служат пучок прямых, параллельных оси Ох, и пучок окружностей, проходящих через точки а и — а: Ш Огу=с, 2 — 1г=с,.
2я Построив эти линии уровня через равноотстоящие значения с, и с2 и отыскивая точки пересечения таких линий первого семейства Рис. 1ОЗ. с линиями второго, параметры которых удовлетворяют условию с, — с, = с(сопз1.), мы получим ряд точек на линии тока ф = с. Производя указанное построение, мы можем убедиться, что линия тока гл 17у — — Х = О 2я состоит из части вещественной оси, внешней по отношению к отрезку ( ~/ а2„~ +~77 а2+ ) На концах этого отрезка, являющихся критическимк точками течения, где скорость обращается в нуль, линия тока ф = О разветвляется, образуя профиль овальной формы; ордината у, при х= О, соответствует максима,чьной ширине овала и определяется как корень овтвклние нвкотоиых аоим пиоамлвп цилиндгов 277 а 12! трансцендентного уравнения Ш а иу — — агс!и — = О.
л у Таким образом, комплексный потенциал (12.1) дает картину обтекания цилиндра, ограниченного указанным овальным профилем. б) Точечный источник обильности т и систелга линейно-расггределенных стоков, суммарная обильность которой равна обильности источника. помещенные в поступательном потоке на прямой, параллельной скорости и, дают картину обтекания профиля, несимметричного относительно поперечной оси (рис. 103). Взяв упомянутую прямую за ось Г)х, поместим начало координат в источнике; пусть координаты начала и конца прямолинейного отрезка АВ, на котором непрерывно распределены стоки, будут а и гг, Тогда комплексный потенциал течения, создаваемого одними стоками, будет: Пгя = — ! П (Х вЂ” С) Й = 2я (Ь вЂ” а),) а = — ~1+ !п(я — Ь) — !п(а — а)~.
Присоединяя сюда потенциал источника лг !их 2я и потенциал однородного потока чие = иа и отбрасывая несущественное для исследования потока постоянное слагаемое, получаем суммарный потенциал тио+ ~1+ из = ил+ —," ! !па+ — !п(в — (г) — !и(» — а)~. (12.2) 2я ~ Ь вЂ” а Ь вЂ” а Выражение для комплексной скорости тг1 1 х — бт о — и+ — ' — + !и — ' 2я~» Ь вЂ” а х — а) показывает, что условие о = и удовлетворяется. Течение имеет две критические точки К и 7., лежащие на вещественной оси, в которых скорость обращается в нуль; их абсциссы х, и ха найдутся как вещественные корни трансцендентного уравнения А т и х — а — х — а и+ — )1 (Ь вЂ” а) = — 1п или Ве» =— 2»х ) 2я х — (г х — Ь' плоская зядлчл о движении талл !ГЛ. Чг где гл — иге- ! А=1 — а, В=ем ) 1.
Для оценки корней применим графический прием; построив кривые (рис. ! 04) А х — а у=Вел и у= х — в из которых последняя представляет гиперболу, мы видим, что х! < 0 и хя ) Ь. Применяя для определения вида линий тока графический прием Максвелла, можно убедиться, что линия тока ф=О будет Рис. 104. совпадать с вещественной осью вне отрезка КЕ; в точках же К и Ь зта линия разветвляется, образуя профиль указанной формы. в) Система бесконечного множества дублетов с одинаковыми моментами Л, одинаково направленными параллельно вектору — о и помещенными на прямой, перпендикулярной к и, в расстоянии а друг от друга, создает течение с комплексным потенциалом М~ 1 2л гам е — Яаг ' если взять указанное на рис. 105 расположение осей. Вспоминая известное разложение на простейшие дроби с!я в= г мы видим, что М ле М лг тв = —.с1и —.
= — с1!г— 2а! "аг 2а а Из симметрии расположения дублетов следует, что все прямые у=(2й+1) 2 (й= ..., — 3, — 2, — 1, О, 1, 2, 3...) служат линиями тока и останутся таковыми же при наложении одноРодного постУпательного потока с потенциалом твз= Уе, а поэтомУ Рис. 105 картина течения не изменится, если заменить некоторые из упомянутых линий неподвижными стенками. Суммарный потенциал такого течения выразится формулой М ял ы=юз+и2 — — Уг+ 2 сгп — ' 2а а н комплексная скорость будет: ХМ 1 О=и — — ', 2а2 2 ил' зи~— а откуда видно, что о = У.
Критические точки течения определяются условием ЗЬ2 Мч а 2л2У ' нз которого видно, что течение будет обладать двумя критическими точками, лежащими на вещественной оси на равных расстояниях от начала координат. Обозначая это расстояние через 11, мы можем выразить через него величину момента дублетов М = — з'в —, 2ляУ 2 яй и л и тогда аУ я1х ял те= Уг+ — зй2 — 'с(й— я а а (12.3) Ь Ей ОБТЕКАНИЕ НЕКОТОРЫХ ФОРМ ПРОФИЛЕВ ЦИЛННДРОВ 279 плоскля зАдАчА о движении телл 1гл ш Отсюда найдется функция тока агГ П11 2ау — зна — Мп— Ф= 11у— 2ях 2яу С — — Сез— а а (1 2.4) Это выражение показывает, что линия тока ф= — О будет состоять из части вещественной оси, внешней по отношению к отрезку, соединяющему критические точки х = — Й и х = Й, в которых линия тока ф=О разветвляется, образуя овальный профиль; максимальную ширину этот овал будет иметь при х= О, так как тогда о = — — — =О; ордината +уп соответствующая максимальной У дх з ширине, найдется как наименьший положительный корень трансцендентного уравнения аСУ, ПУ1 чу О = иу — — зна — с13-' —.
я а а Если )1 мало по сравнению с а, то уз будет близко к )т и упомянутый овал будет мало отличаться от окружности. ПУГ В самом деле, полагая — =)., перепишем предыдущее уравне- ние в виде у 51п — = — 3)\~). соз — . 12 )1 2 Лу К 1 ' Я ' Разлагая обе части в ряды по степеням )ч будем иметь: у2 Л2У, ЛУУ2 12)1 ...
=)2 — — + —— 3112 + ''' 2)1 + 3 2 ~ +7)' 113.1) примененное нами при изучении обтекания эллиптического цилиндра х2 — + — =1, ат бя с2 — а2 А2 отображает окружность единичного радиуса в плоскости ". 121 г (13.2) откуда видно, что если ) мало, то уз будет близко к )сз. Таким образом, комплексный потенциал 112.3) дает картину обтекания профиля, близкого к круговому, помещенного в прямолинейный канал с твердыми стенками, если линейные размеры овала малы по сравнению с шириной канала.
и 13. Обтекание профилей Жуковского. Конформное преобра- зование 281 ОЪТЕКАНИЕ ПРОФИЛЕЙ ЖУКОВСКОГО па отрезок вещественной оси между фокусами эллипсз — с и с в плоскости г, причем этот отрезок проходится дважды в противоположных направлениях, когда соответственная точка ь пробегает окружность (13.2) один раз. Приводя формулу (13.!) к виду сз 2г = сч+— сС и вводя новые переменные г' и ч' при помощи преобразования подобия г'=2г; ь'=сь, (13.3) 2 Л мы заключаем, что преобразовзнне г' = 1'+ —, (13.4) переводит окружность радиуса с с'~ + 2)'~ = с' плоскости ч' в отрезок ( — 2с, 2с) вещественной оси плоскости г', пройденный дважды. Представив преобразование (13.4) в виде г — 2с ! à — ста =- ~,' — ), <13,3) г'+ 2с ь'+ с мы можем убедиться, что окружность К плоскости Г с центром на мнимой оси в некоторой точке И, проходящая через точки — с и с вещественной оси, пе- Рис.
106. рейдет в дугу окружности Р на плоскости г', опирающуюся нз точки — 2с и 2с вещественной оси и имеющую вершину в точке 2М на мнимой оси, при этом дуга Р проходится дважды (рнс. 106). В самом деле, непосредственно видно, что точки с и — с плоскости 1' будут соответствовать точкам 2с и — 2с плоскости г', а точки à — 1(А, У 122+ сз) пересечения окружности К с мнимой осью перейдут з одну и ту же точку на плоскости г'.
,(й+ уу+-,-2)+ ' =Ик 282 плоская задача о движении тела Ргл, нг Кроме того, из (13.5) имеем: 1п( '+2с) =21п(~,+ ). (13.6) Называя через гп г,, рн рг модули чисел з' — 2с, е'+2с, ч' — с, Р.'.+с, а через ап а, ~п 1)г их аргументьп имеем из (13.6): 1п — -'-+г'(а, — а ) = — 2!п Р' + 21(а, — рг), гг Рг откуда а — аг — — 2 (рг — рг).
(13,7) Упомянутые комплексные числа а' — 2с, е'+ 2с, Г' — с, Р'+ с выражаются векторами В'М', А'М', ВМ, АМ, и, значит, разности 0 =а — а — г 0=1) Рг выражают углы, под которыми видны отрезки А'В' и АВ соответственно из точек М' и М; а так как О=сопя(. для окружности К, то вследствие (13.7) будет и 0'=сопз1., т. е. линия А'7УВ' представляет собой дугу окружности.
Таким образом, преобразование (13А) отображает полную окружность К плоскости ч' 1" + (т)' — )с)' = Вс, )7с= 1Гсг+И, хорда которой вмещает со стороны центра угол 0 и опирается, сле- довательно, на центральный угол (рис. 106) Радиус г дуги Р найдется из треугольника ОСВ'. д' -1- сг ф гР г= (13.6) Х л 2 При этом полному обходу окружности К отвечает двзжды проходимая в противоположных направлениях дуга Р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
