Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Обтекание эллиптического цилиндра. а) Продольное обаекание. Для того чтобы найти комплексный потенциал ш(в)=Р+Ы, установившимся поступательным потоком, скорость которого в бесконечности У направлена по большой оси цилиндра, попытаемся найти Рис. 98. такое конформное преобразование плоскости г в плоскость новой комплексной переменной ч а=у (г.), чтобы контур эллиптического цилиндра в плоскости в перешел в контур круга некоторого радиуса в плоскости Г с центром в точке г = 0 где г= х+уг, и построить картину течения прн обтекании цилиндра (рис. 98) х' у' —,+ —,=1 (а > Ь) (10. 1) плоская задача о движении тела !гл. ш и чтобы точка а = со соответствовала точке г.
= оо: при этом внешняя часть плоскости г по отношению к цилиндру (10.!) будет соответствовать внешней же части плоскости ч по отношению к круговому цилиндру. Построив по известным уже формулам компдексный потенциал ш(Г) течения при обтекании кругового цилиндра в плоскости ь и совершив обратный переход ь=Р(г), мы получим искомый потенциал ш(Р(д)1 течения в плоскости х. для указанной цели произведем прежде всего пресбразование подобия з=сг', (10.2) где с = у' па†Ьэ есть линейный эксцентриситет данного эллипса.
Тогда эллипсу (!0.1) будет соответствовать в плоскости в' эллипс х ы,т — — — 1 а' Ь' ,2+ 3 где а, Ь а'= — и Ь'=— с с линейный эксцентриситет которого равен 1. При этом, очевидно, точкам г = 0 и г = со будут соответствовать точки г' = 0 и а' = оо. Из теории конформных преобразований известно, что подстановка (10.4) преобразует эллипс на плоскости з' 2 3 У (1О.б) с эксцентриситетом 1 в окружность на плоскости ь радиуса Й с центром в с=О; причем если )с) 1, то внешняя часть эллипса (10.5) переходит во внешнюю же часть окружности, так что сохранится соответствие точек г'= со и с= со. Подберем радиус )г так, чтобы отождествить эллипсы (10.3) и (10.5): —,(й + — ) = а'=,; — (й — — ) = Ь' = ()с > 1).
Эти уравнения не независимы, и можно было бы ограничиться одним из них. Складывая, находим: ОВТЕКЛНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА Ебй а >01 Таким образом искомое преобразование будет: а=~ (1+ — ) ° (10.7) Взяв известное выражение комплексного потенциала течения в плоскости " прн обтекании кругового цилиндра потоком, скорость которого а в бесконечности параллельна вещественной оси: и> = и (Г.
+- — „-) = а (0 + —, — ), (10.8) — (а Ф 1/з2 с2) с но требование )с ) 1 делает его однозначным, В самом деле, для точки а= а мы имеем: 1 и так как эта точка Г. должна лежать на окружности радиуса / а+Ь Й= 1/ ., б, то мы должны взять верхний знак ч = — (а + 1/ аз — са). (10.9) При этом мы подразумеваем под 1/аз — с' то значение этого корня, которое при с ) с поло>кительно. Комплексный потенциал (10.8) вследствие (10.9) преобразуется к виду в = —, ~а+ ')/гз — сз+ + (а — 1/а2 — с')1 = , (" — )"' — ") 2и Вычисляя комплексную скорость, имеем: йп> йи бс о= — = 1ав Дз с(и — б) > )/с' — с') откуда видно, что при г=сх> о, а следовательно, и О=У, вещественно и притом (/=- 2и/с.
мы должны еще скорость а при Г,=ОС выбрать так, чтобы получить в плоскости а при а=со скорость (/; кроме того, надлежит проверить допущенную неявно параллельность в бесконечности течений в плоскости г и ч, Преобразование, обратное преобразованию (10.7), будет неодно- значно 27О ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл и| Таким образом искомый комплексный потенциал при обтекании эллиптического цилиндра (10.1) поступательным потоком, параллельным в а = со большой оси цилиндра, будет: ю = — (ал — Ь )/'га — с2). с/ (10Л0) Легко проверить, что при Ь-+ а после раскрытия неопределен- О ности вида — мы получим найденное раньше выражение для круго- О вого цилиндра.
б) Лоперечнос обтекание. Если скорость потока в бесконечности 1/ направлена в положительную сторону оси Оу (ряс. 99), то, отобразив при помощи ука- | ванного выше преобразования с = т/'ая — Ь2 внешность эллипса / 1 /Д / / / / / / плоскости г на внешность круга 12+ 2 /о2 /22 плоскости с., мы должны только для комплексного потенциала ю течения в плоскости г. взять вместо формулы (10,8) формулу Рис. 99. которую получаем из выведенной нами обшей формулы (3.13), учктывая, что в бесконечно удаленных точках плоскости ч скорость течения направлена в положительную сторону оси т), имея некоторую величину и. Возвращаясь к переменной л по формуле — . (л + 'р/ л2 с2) мы получаем: ) г 2 2 /22 (л )/' л2 с2))в с (Ьл — а )гг2 — с'), с (а — Ь) 271 овтвклннв эллиптического цилнндгл огкуда найдется комплексная скорость течения в плоскости я: 2щ ~, ая — ~",-~) быть о= — $'1, то получаем: — Мге л'в с Так как при л = оо должно и таким образои искомое выражение для комплексяого потенциала будет: = "„( — ~"' — ') (10.1! ) в) Косое обтекание.
Если скорость в бесконечности и составляет некоторый угол я с продольной осью эллипса ля у' ая ь' —,+ —,=1 (а) Ь), то, разлагая вектор о на составляющие е = У +1'гг (10.12) вследствие линейности уравнения Лапласа, которому удовлетворяет я = <я+ (ф. Вследствие отсутствия циркуляции, силы, действующие на цилиндр при косом обтекании, приводятся к одной паре, иомент которой может быть получен применением формулы (8.4): В = не ( — 2я)рн А~1, где Ав есть коэффициент при 1/г' в разложении Жв)с(г в ряд по степеням 1)г. Но в окрестности бесконечно далекой точки с' с' )~хе — се = „ву 1 — — я 2я следовательно, гв = ((à — М) г-+, (Ы/+(а)') — +, .
а+а . 1 — „, =(г — 1!' — — +2— 'Ф(1+ У')Р+" и рассматривая косое обтекание как результат сложения продольного и поперечного обтекания со скоростями У и )г в бесконечно удаленных точках, мы можем комплексный потенциал такого результирующего течения представить как сумму соответствующих потенциалов (10.10) и (10.11): ~ = †' ,, ((аг — б Уз' — с-') и + 1(йв — а У' ' — с ) )'~ (10,1З) !гл щ ПЛОСКАЯ ЗАДА'!А О ДВИЖЕНИИ ТЬЛА 272 Итак. Е, = — -Р (ае — Ьт) ) о )а з(п 2х. 2 (10. 15) Последнее выражение показывает, что вращающий момент реакций исчезает при продольном (а=О) и при поперечном (а=я)',) обтекании эллиптического цилиндра.
ф 11. Обтекание плоской пластинки. Формулы, выведенные для эллиптического цилиндра, непосредственно дают картину течения и величину вращающего момента реакций при обтекании бесконечной Рвс. 100. плоской полосы шириною 2а (рис. 1ОО). Для этого достаточно в предыдущих формулах положить Ь=О; в результате получим: ш = Ца — г(l ~/ге — аа, Е. = — — тграа)о )тайп 2а, 2 (11.1) (11.2) Выражение для комплексной скорости = ~~ — 1~.
'Г~ет — а' и, следовагельно, б = — це )и!р(а +Ь)(У вЂ” 1(т)(Ь(7-)-гаИ)) = — тгр(а' — Ье) (71'. (10.14) Заменяя у и (т их выражениями У = ) о ) соя а, И = ) о ! з1п х, получаем окончательно для момента вращающей пары: ОВТГКАНИЕ ПЛОСКОП ПЛАСТИНКИ 27З в гп показывает, что скорость обратится в нуль в двух критических точках, лежащих на пластинке. В самом деле, если г вещественно и )г~! < а, то имеем: о= (7 1- !г р а' — аа откуда заключаем, что о =О при Уа з= + = ч- асозп, )гуя ! 1аа (11.3) При этом, если критическая точка г = а созп лежит на одной стороне пластинки, то критическая точка г = — а соз и будет лежать на противоположной стороне. Нуакно заметкть, однако, что построенная идеальная картина обтекания бесконе но тонкой пластинки физически неосуществима, так как из выражения для о видно, что у краев пластинки Рнс.
101. о=со. А4ы можем добиться конечности скорости у одного из концов пластинки, например у конца я = а, если возьмем циркуляционный поток (рис. 101), Конформное преобразование 2 ~ + С)' 1 л — Ела — ла переводит внешность круга единичного радиуса в плоскости г. во внешность рассматриваемой нами пластинки в плоскости з, при этом точке г. = 1 соответствует задний край пластинки г = а. Таким образом, мы имеем в данном случае: й= —, й=О, !!=в л а 2' е ' а 2' Г = — 4пмрс( о ! з!п(а — Ов) = — 2пп (и ) з(пи, (11.4) для комплексного потенциала ав„а2а Р а — ав,, те=!го ч+- ' + —.!пч= — о (,+ —,+(а!о !з!Вп!ПГ.
(11.б) 1з зак. Изе Применяя теперь формулы й 7, сразу находим для циркуляции ско- рости значение 274 плОскАя зАЛАЯА О даиже!гии телА !гл. ч~ и для комплексной скорости аа гтгв г)2 !' и — ао„, Га ~ а„~ мп а ) !2 2" .Г ) 1'лг — а' Г» — а ) =,о, ~1соза — ! з!па гг $' +л) (1 1.6) Силз Жуковского имеет величину Р=р)Г))о (=2яар)о )з!з!па), (! 1.7) пропорциональную синусу угла атака; фокус лежит в точке Л, гз а г =)г — — е-г л 0 !» 2 т. е. отстоит от переднего края пластинки на расстоянии, равном четверти длины пластинки.
Эта точка является постоянным центром давления, так как для момента силы относительно фокуса получаем нулевое значение 7.г.— — — 2яо)з(о нКе г!й,е зги'1=-0 Скорость на переднем крае пластинки получается бесконечно большой. С этим связано одно интересное обстоятельство. А именно, составляющие силы Жуковского по осям координат имеют значения Х== рГ~ о,' з!п а= — — 2пра)н !зз!пза, (11.8) 1'= — рГ(о )сова= 2яра(о (та!пасоза. (!1.9) Но ведь все элементарные давления направлены нормально к пластинке, и возникает вопрос, откуда берется составляюгцая Х силы Жуковского, направленная вдоль пластинки. Эта составляющая носит название подсасызаюп!ей силы.
Если бы мы чуть-чуть закруглили передний край крыла, то скорости вблизи него были бы очень большими, но тогда по формуле Бернулли разность между давлением на переднем краю пластищги и давлением на бесконечности была бы большой отрицательной величиной. Наличие этих больших разрежений и приводит к появлению подсасывающей силы, предельное выражение которой дается формулой !11.8). 5 12. Обтекание некоторых форм профилей цилиндров. Если кзртина течения при обтекании кругового цилиндра чисто поступательным потоком (без циркуляции) могла быть получена внесением в поток некоторого дублета, то естественной представляется задача определить, какие формы профилей обтекания могут быть получены той или другой комбинацией источников и стоков.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
