Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Найдем егде величину и направление скорости после прохождения решетки. Пусть комплексная скорость иа бесконечности справа, т. е. при '.=е, будет 2!ге "'. Тогда по (!4.16) 24-24 ! нн ы, -! — 12 — е ' е+е о е-" ' — о е-" ' = — — е г ! е + е'ЛЕ е — е'"' ) 442 — ЛЕ сое— 2 = 41 — е'22е Л .42 е' — Ег!2' Привлекая (14.4), (14.12) и (14.13), получим затем: иге " ' — и! е ' ' = — е (14. 20) Пусть скорость при г = — оо имеет величину о, и составляет угол аг с осью Х (с направлением пластинки); тогда, так как прп а= — оо будет '-= — е, мы должны написат!к 42, 2, -'2 ее — е 2 2 ТОНКОЕ КРЫЛО 297 а кй Заметим, что зависимость (14.20) может быть получена также и в случае произвольного контура профиля, обтекаемого со своей циркуляцией Г. Действительно, вспомним соотношение Г= р — ага, Р гГпг — ~2л, с где интегрирование ведется по контуру профиля С.
Выделим область, ограниченную контуром С и контуром АВСЙ (рис. 110), состоящим из отрезков двух соселних конгруэнтных линий тока АВ и С!0 и двух отрезков прямых АС и В0, параллельных периоду решетки. Внутри выделенной области функция г(я/г1г будет голоморфна; пог" г1м этому интеграл у — г(г, взятый по контуру С против часовой гГа с стрелки, булет равен со знаком минус интегралу по контуру АВСО.
взятому по часовой стрелке. Но интегралы по отрезкам ЛВ и СО, берущиеся в противоположных направлениях, пропадут из-за периодичности функции г(шгг7г. Удалим теперь отрезки АС и В0 на бесконечность, оставляя их парал.тельными самим себе. Получим окончательно: 7 гггв г гггв ГгГвгт гггвъ — Г= г — г(г+ ! — г(г=! — ) (СА ! — !т — ! (ВО)= ,/ л. — ~гг.). ~лл), „ -оэ сл во = (тг,е ' — и ек) 1ег'. (! 4.21) Таким образом (14,20) справедливо не только в случае прямолинейных контуров, но и в любом случае. Силы, действующие иа отдельные профили решетки, могут быть найдены без труда, если использовать вновь контур АВСО. Исхоля из общих формул Чаплыгина, мы получим, используя (14.2!): Х вЂ” Д' — г ~ ~ — Г7а — г (эта-тагГ П2В-2МГ) ГЕГ!— с 12Г 2 1 2 = — (и е-"+и е-").
5 16. Тонкое крыло. Как мы видели, задача об обтекании контура произвольной формы решается до конца, если известно конформное преобразование внешности контура на внешность круга. Однако отыскание явного вида этого конформного преобрааования для профиля произвольной формы представляет большие трудности.
В настоящее время существуют эффективные приближенные методы решения задачи обтекания. Из них наиболее развитым ПЛОСКАЯ ЗАДА 1А О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл, ш 293 является метод Симонова и Серебрийского'); он может быть использован для расчета обтекания любых профилей, но изложение его выходит из рамок нашей книги.
7(ругне прлблнженные методы относятся к частным видам контуров, например годятся лишь для тонких профилей. Остановимся на этом подробней. Покажем, как можно в общем виде дать приближенное решение задачи об оотеканнн произвольного топкого профиля. Мы заменяем последний кривой линией, проходящей как раз посредине между верхней и нижней частями контура, Пусть уравнение этой линии С есть (15.1) 1(ля определенности мы предположим, что оба конца дуги С лежат на оси Ох, в точках А и В, имеющих координаты ' а (рис, 113).
Мы будем с имать кривизну контурв С очень малой, а следовательно, У сам контур С мало отличающимся от прямолинейного отрезка. Итак, фушшия Р(х), заланная на отрезке( — а, а) оси Ох, обращается в нуль в концах этого отрезка н имеет непрерывную нторую в частности, тр (х, у) = г' (у сов в — х з1 и а) + ф (хй у). Контур С является линией тока лля задачи обтекания, поэтому на нем %" имеет постоянное значение, которое, не нарушая общности, ') С и м онов Л. А., Расчет обтекания крыловых профилей н построение профиля по данному распределению скоростей на его поверхности.
ПММ, т. Х1, вып. 1 — 2, 1947 Се ребр ий с к ив Я. М., Обтекание крыловых профилей произвольной формы, Инженерный сборник, т. !11, вып. 1, 1946. производную, с штаемую бесконечно малой величиной. Рис. 113. Рассмотрим теперь за- лачу об обтекании контура С гшступатсльпым потоком, имеющим на бесконечности скорость )г, наклоненную к осн Ох под углом атаки а, тоже считаемым бесконечно махой величиной, нлп, что то же, задачу о поступательном движении контура С со скоростью И в направлении, составляющем угол п с отрицательной полуосью Ох.
Обозначим в этом последнем случае комплексный потенциал возникающего абсолютного движения жидкости через ш =- ° -1- гф; для комплексного потенциала )р' = Ф -1- (гр, определяющего обтекание контура, получим: (р' =- Ге-'"г+ ш; (15.2) 299 тонков кгыло можем принять равным нулю, поэтому получаем: ф [х, Р(х)]+ ]г [Р (х)сова — х з1па] = О. Вслслствие сделанных предположений о порядке малости Р(х) и а мы можем, отбрасывая малые второго порядка и выше, заменить сова на 1, з]па нг а и ф[х, Р(х)] па ф(х, 0). В результате получим граничное условие ф(х, 0)=[г[ах — Р(х)] при ]х] (а (15.3) для комплексного потенциала п~.
Для комплексной скорости ды . дф . дф дл ' г ду + дх (15.4) граничным условием будет: о„= — И [Р'(х) — а] прп у = О, ] х] (а. (15.5) пх(х' У) = пл(х У)' оу (х' У) = ну (х' Улобнес рассматривзть комплексную скорость, так как она является однозначной функцией. Таким образом мы свели задачу к определению функции дтн]г(л, голоморфной в области, лежащей вне отрезка АВ оси Ох и удовлетворяющей на обеих сторонах этого отрезка граничному условию (15.5). Такое перенесение граничных условий с контура С на его проекцию АВ на оси Ох оказалось возможным только благодаря сделанному предполож нию о слабой изогнутости контура С н представляет сильное упрощение задачи.
Мы будем считать, что острой кромке первоначального контура соответствует задний конец В контура С, и потребуем в соответствии с этим конечности скорости в точке В. На переднем конце Л скорость полу'штся, вообще говоря, бесконечно большой; мы будем прелполагать, что вблизи точки А произведение ] и ' [г 3, где 5 — расстояние точки ло А, остается ограниченным.
В силу (15.5) составляющая о скорости не терпит разрыва на отрезке АВ оси Ох; составляющая же о может терпеть разрыв, но разрыв касательной составляющей скорости можно рассмзтрнвать как наличие вихревого слоя. Итак, рассматриваемое течение можно считать происходящим от системы вихрей, непрерывно распрелслснных по отрезку АВ оси Ох. Возьмем теперь в плоскости г две гочки Ы, и г]дз, симметричные относительно оси Ох. Очевидно, что какой-либо вихрь, лежащий на оса Ох, сообщает этим точкам скорости с одинаковыми составляющими по осп Оу и с прямо противоположными по знаку составляющими по оси Ох. То же самое будет иметь место н для всей системы вихрей, распределенных по отрезку ЛВ.
Итак, мы имеем равенства плоская злдлчл о движании тглл 1гл, ч1 Ясно, что, в частности, на отрезке АВ касательные составляющие скорости при подходе сверху и снизу будут иметь одинаковый модуль, но противоположные знаки. Рассмотрим теперь функцию ага / а+а причем при в=х) а берется положительное значение корня. Эта функции также является голоморфной во всей плоскости з, разрезанной по отрезку АВ оси Ох, и обращается на бесконечности в нуль. Обозначим через Л контур, охватывающи(1 отрезок АВ и пробегаемый по часовой стрелке, а через г точку вне этого контура; функция от ч имеет вне контура 1.
единственную особую точку ч=в с вычетом /(з); вычет этой Фтнкции в бесконечно удаленной точке равен нулю, мнтед ~ей~~ поэтому по: тйфАМ<оши получим; и /(!) (1 5.6) Стянем теперь контур Е к дважды пробегаемому отрезку АВ, Ясно, что на верхней стороне это~о отрезка надо пргпгять ч — а 1гга — ч а — ," а на нижней / с+а /г а+$ поэтому, замечая еще, что вследствие сделанных предположений интегралы по малым окружностям, охватывающим концы А и В отрезка, стремится к нулю вместе с радиусами этих окружностей, из предыдущей формулы получим: а 1 1' / а+6 п„(6, +О) — 1гх Д, (-О) /(а) = —.
/ — 1 6'з— 2 ч1,/ а —,= з — а а 1 1' / а+~ е„(6, — О) — 1е,(";, — О) 2 па,/ г а — а 4 — а -а где Ф((, + О) означает предельное значение функции Ф(":, л) при подходе к отрезку АВ сверху, Ф (е, — О) при подходе снизу. Вспоминая, что пл(";, .+-О)= — и,.(;, — О); пх(;", + 0).=-ог(';, — О) =- пт(!, О), $ с51 ТОНКОЕ КРЫЛО получим формулу Подставляя сюда значение (15.5) для О, мы и получим окончательное решение задачи в виде и -а Найдем разложение этой функциси вблизи бесконечно удаленной точки; так как у",—, =у' — —",+ ...= --,'+ 1 1 1 ч — ( 1) л а~ то без труда получим по аналогии с (8.2), что сГы Г Ас — = — + 52-+ сса 2л!Ы и где Г=-2гс ~ [гт'(1) — и] [/ ~~ сс(; а а Аэ = — -ь- [сч' (1) — и[ 'рга~ — 12 асс, л( л -а Так как а а а / р/ а+а~1 ~ а+1 А[ / ~Г~ „ла' -а -а -а то для циркуляции Г получаем выражение а Г 2[с ) Р'(1) [г —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
