Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Г!реобразуем эти выражения по формуле Гаусса; так как функция з может быть многозначной, следует пронести разрез от контура С к контуру К, как показано на рис. 114, и за границу. области О следует взять контур Е, состоящий из контуров С, К и дважды пробегаемого разреза АВ; направление обхода этого контура показано на рисунке.
Мы будем тогда иметь, применяя формулу Гаусса и затем формулу интегрирования по частям: К,=Р ~уау= — Р сутр; л е К = — — о ~ ~1х= — Р ~ хгй~, г. л плн в комплексной форме: К--=К,+ГК, = =- — р~ 1у — 1л10~=1р ~ л 1р. в е Так как на двух сторонах раз- Рис. 114.
реза АВ значения ~у различаются Ва постоянную величину Г, то в последнем интеграле части, происходящие от двух сторон разреза АВ, взаимно уничтожатся, и мы можем написатьс К= рабату — 1р~ причем интегрирование по контуру С производим, как обычно, против часовой стрелки. По закону количеств движения производная по времени от количества движения той части жидкости, которая находится в области О, равна главному вектору сил давления, приложенных к жидкости вдоль контуров С и К.
312 пл чг плоскля злдлчл о движении талл На элемент дг контура К действует сила давления ГРдг, поэтому главный вектор этих сил давления есть ~ Рва » Обозначив еще через 12=1 ~ Рда с главный вектор сил давления, действующих на контур С со стороны жидкости, и замечая, что на жидкость будут действовать силы прямо противоположные, можем написать закон количеств движения в виде ИК . д и г㻠— гс = = (р — — / ссср — гр — / д6р дГ »У,/ 'дт./ илп д Р .
и Р (г — 1р — г лдр=)гк — (р — / адлер дг,/ ' дг,/ (16.6) дт ре' Р= — р — — —.+РЮ дг 2 поэтому ла от,уа. Рде гр ./ дг 2 ./ далее, гг(:р=- / — — г(р+ / аг( — = / (и +Ыт)сЬр — / — да= дг ,~ ./ и ./ и ./ - ,/ (г » » = / (о„+Рп )~,гй — / — „ Р дт и так как У дз / отдл+ / (о +Го )о да » » В результате получаем: й» вЂ” 12 — г пьр = 12, —" и'г — (р (о + Ы ) о, г(г, к » » с » Докзжем, что правая часть стремится к нулю при неограниченном возрастании а. Для определения давления р мы имеем формулу Лагранжа — Коши А !6] неустАнОВиВшееся дВижение плОскОГО контуРА 818 и так как скорость о на бесконечности стремится к нулю, имея на контуре /(' порядок 1/а, то оба интеграла в правой части имеют порядок 1/а и стремятся к нулю при а — ьею. Левая часть равенства (16.6), будучи сколь угодно малой и не зависящей от радиуса а окружности К, полонна тождественно равняться нулю, откуда /с =(р — / аде.
/' С (1 6.7) Совершенно аналогично вычисляется главный момент относительно точки О спл давления, приложенных к контуру С: /- = / р ( 'х и'- у ну) = / р г( — * с с Момент количеств движения жидкости, находящейся в области О, есть 1= р / / (хо — уо„) г(х г(у = р / / ~х — ~ — у — -)1 г(х г(у = дт де 1 ду дх/ о О .=. о / / ~ — —" — -) дх г(у =- — р / ~р(хг/х+ у ~/у) —. /'гд(хт) д(ут) т ,/1 ду ' дх ) и с г' / г' / гг / ге = — р ~> г( — = + р —, о(ср = + р — г(~р — о -.
— с( р. По закону моментов количеств движения 41 — = — А'„ дГ дГ ./ 2 р,~ 2 де+,/,й (2) р / дГ (2)о'р= к / гогдР = / ГЦи,г/У; поэтому д / г' /.=р — / — сьр — р гоп дг. дГ,/ 2 / г Х (16.8) Остается показать равенство последнего интегрзла нулю. 'г(о дгу Г 1 А, — = — „- -+ — '+ дл 2гг пбо все силы давления, приложенные к элементам окружности /(', проходят через точку О. Далее: плОскАя злдччА О движении телл !гл. и! о,= О( —,), о,=- — +-ОЯ поэтому в интеграле го,оз г!з К ! подынтегральная функция будет порядка —;, а сам интеграл по- 1 редка —.
Устремляя а к бесконечности, нз (16.8) получим: а г' (16.9) с Применим полученные формулы в первую очередь для установле- ния связи между силами, действуюшнми на контур прн наличии циркуляции Г и при отсутствии последней. Прежде все~о, вследствие (16.5) и (16.7) нмееен К= — Йз+!8à —, ! дь4о4, с где гсе означает главный вектор спл, действующих па контур С прп отсутствии циркуляции.
Если мы воспользуемся, как в 86 7 и 8, конформным отображением внешности контура С па внешность круга с центром в начале координат в плоскости (, то будем иметь: 1, 0 ~4 йе 1п 4'4 (16.1!) поэтому / г 4(~, = ! / г г)6 =- )г,, (16.12) где (е есть, как было выяснено в э 8, координата конформного центрз тяжести С контура С. Обозначая скорость этой точки чеРез 4)е, бУдем иметь: 41 4ГЛо лг= з — а 41Р с и формула (16.10) примет ввд )1 = Яе+ !р Где. (16.13) Таким образом, при наличии постоянной циркуляции к силам, действующим на контур прп отсутствии циркуляции, добавляется сила н так как для вихря радиальная составлякнцая скорости обращается н нуль, а касательная имеет значение Г/2пг, то на окружности К будем иметь'. нгмстлновнвшееся движзннв плоского контэвл З15 %!б1 Жуковского, соответствующая скорости конформного центра тяжести контура.
Чтобы найти точку приложения этой добавочной силы, надо воспользоваться уравнением моментов. Из формулы (16.9), опять-таки вследствие (16.5), получзем: д г гг Л Ле+ Г Ю / 2 агб (16. 14) гб й х'+ уг йх ду = х ( У вЂ” ш у) + у (1г + гб х) = У х + (/у, поэтому добавочный член в формуле (16.14) имеет вид г~(и Г*дг,б-г~ ггг,1=боб,~б~,ь сг.д~ с с где ое= У+1(г есть скоРость точки О. Если мы временно возьмем за начало координат конформный центр тяжести Са, то будем иметь йе=О, и, следовательно. момент добавочной силы относительно точки Се равен нулю, а сама добавочная сила должна проходить через конформный центр тяжести Се.
Итак, при наличии Иирнуляйии на нонтур деиствует дооавочная сила Жуковского фГг)б, приложенная в нонформном иентре тяжести и соогпветствуюибая скорости этой точки. Теорема эта была доказана Л. И. Седовым. Будем теперь рассматривать случай отсутствия циркуляции, так что Г=О. В этом случае скорость жидкости на бесконечности убывает как 1/ая. Поэтому живая сила всей жидкости будет в этом случае пясть конечную величину Т=-~- / / (о~э-+о„)ихсбу 2 / 9 д йэ. (16.16) ду с Вследствие уравнений Коши — римана имеем: дт дт дп дя' дт дф дв дп ' и поэтому можно также написать: 1 Т= — -р / рс(ф. 2 (16.17) Для фиксированной точки контура С функция рб с течением времени не изменяется, а 316 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл 'л Воспользуемся теперь тем, что р= (/~~+)срз+ р,; ф= Уф1+Ифа+ фз (1618) и введем обозначения Л,,= — р/' р,аф» (г, й=1, 2, 3).
Докажем, что ?'г» Лт в само»~ деле, (16.19) (16. 20) р дри ? д,'~; ,/ р» т',/ т' де,/ т" дс С с = / (р, др» — р» д~')с(е, (16.21) но по формуле Гаусса / (гП ЬР» — ~Р» Ьэ;) с(х с(У = й -2 , й '2 2Т= Лп(?т+Лз»ИЕ+?азов+ 2ЛП(/)~'+ 2Лп(/ы + 2?эзЪ'ы. (16.22) Ввиду аналогии этой формулы с формулой для живой силы твердого тела, коэффициенты ?ы носят название коэффициентов гсрисоединенных ласс. Напишем теперь формулы для снл ! р г' й=Х+ср =(р — / лс(р, б =-р —.
/ — с)ф (16.23) сс./ — н) / в следующем энде: не? Х= — — '; дв, Н )с =- — — -'-; /. = — — „, (16.24) левая часть обращается в нуль, так как р,. и у» — гармонические, функции; первый же интеграл правой части есть малая величина порядка 1/а-', ибо », и р можно считать малыми порядка 1/а, а их нормальные производные малыми порядка 1/а'. Интеграл (16.21), будучи сколь угодно мал, должен тождественно равняться нул|о, что и доказывает (16.20).
Поэтому живую силу жидкости можно написать в виде: нвхстлновнвшнвся движение плоско~о контьгл 317 э нй где В„= р ~ у д22 == — р ~ 2 ду; В = — р ~ х с(22 = р ~ 22 дх; с с с с 2 Х2+ 22 /' 7= — р 7 — — др=е 27(хдх+уИу). 2 Х = — фг, х2+ у2 2 (16. 25) У =фз можем написат2н В, = — — р ~ рдфс = — 1(7 ~ 272 дФ2 — рсг ~ 27гдф2 — ры ~ эздфз = с с с с дТ =.— )ч2 У+ Л22)г + Лыы = — д)у . В результате аналогичных вычислений находим:  — Л Ц+), 1,'+), ы — — д7 (16. 26) Необходимо заметить, что коэффициенты Лы зависят от выбора системы координат и, вообще говоря, меняются с течением времени. Поэтому выгодно перейти к подвижной системе координат Оху, неизменно связанной с контуром С.
В самом деле, в этой системе координат граничные условия (16.25) для функций ч22, тг, фз будут все время одними и теми же, а следовательно, функции рз, р, 27 пе будут зависеть от времени. Поте2щиалы 272, р„222 тоже не будут 'зависеть от времени, а следовательно, коэффициенты ), тоже будут постоянными. Потенциал =(7с,+-1 р,+ ьр (! 6.27) и все другие величины будут зависеть от времени только через посредство С', '22, 22. При вычислении сил в подвижной системе Если бы мы приложили к покоящейся жидкости, находящейся вне контура С, мгновенные кмпульсы с22.2 давления, распределенные по контуру С и имеющие величину — р27, то мы получили бы рассматриваемое нами движение. Величины Вх и В можно трактовать как проекции на оси координат главного вектора этих импульсивных сил давлений, а! — как главный мол2ент их относительно начала координат.
Замечая, что на контуре С ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл. ш координат нужно учитывать то обстоятельство, что в формулы (16.24) входят абсолютные производные, Так как подвижная система координат вращается с угловой скоростью м, то между абсолютной и относительной (взятой в подвижной системе координат) производными вектора В будем иметь соотношения ДВ к ДВ» сИу ДВу — = — ' — ИВ; — '- = — У + ИВ, (16,28) ДГ ДГ У' ДГ ДГ К' последние члены в этих формулах учитывают изменение вектора В, происходящее за счет переноса его вместе с подвижной системой координат.
Точно так же, при вычислении абсолютной производной момента 7, мадо учесть то обстоятельство, что при движении контура С начало О подвижной системы перемещается; если мы в рассматриваемый момент 1 совместим неподвижную систему координат с подвижной, то через промея<уток времени кгг начало подвижной системы координат будет в точке с координатами сГЖ, *ч'ко.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
