Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 48

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 48)

с(1 — 2 саРи, са, . / а-[-2 (15,8) — а а для коэффициента Аэ найдем: а с 2 2 А, = — 1 Гс (Д) [С аэ — Еэ 51С вЂ” —, (15. 9) -а Для вычисления проекций Х и и нз оси координат главного вектора сил, действующих на контур, и момента 1. этих сил э 1о! ТОНКОЕ КРЫЛО В качестве перно| о примера рассмотрим случай плоской пластинки, для чего достаточно положить Г (х) = .О; мы непосредственно получаем выражения для пи ркуляшш и сил: Г= — 2па)га; Л = — 2п а)гззз; )'=кра)гэоп! Е= — поаз)гза. (15.12) В ф 11 задача об обтекании пластинки была решена точно, и о ювндно, что полученные сейчас результаты соглзсуются с получающимися пз точных формул при малом угле атаки а.

Комплексная скорость в рассматриваемом случае дается вытекающим из (!5.7) выражением а гйе Мл l е — а 1" 1 / а+! (15. 13) гтз чг Г' в+а,l $ — е т а — ," -л г ( )=1Г'+ голоморфна во всей плоскости, разрезанной по отрезку АВ оси Ох, и обращается на бесконечности в нуль. Поэтому опять применима формула (15.6). Стягивая контур 1. к дважды пробегаемому отрезку АВ, будем иметь па верхней с~ороне этого отрезка .г(: 4 10) = —. 1,г -, '— 1 = — 11à — ', — 1, з на нижней / л поэтому из формулы (15.6) получим: )Г:- — ! =- —,) -' .

- д= -+ л 1 /' Д(е+ го) — Г'(: — 10) з а ол( .1 ; — е -а = —,'. ~11::,':. откуда ~ / -~:- а), ~1,Г=+ Итак, в случае движения плоской пластинки со скоростью !д под )злом атаки а для комплексной скорости имеем: Лм . ' /т — а) =Л:з(1 — т (15. 16) г а+а )' ,15.14) Стоюцпй справа интеграл без труда вычисляется. В самом деле, Ф) нкпия 304 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1ГЛ У! Найдем предельное знзчение комплексной скорости при подходе к точкам отрезка АВ сверху: оа(.", +О) — Со (1, +0) =!Их (! — !'туг а '-~ =(га туг а —.+((ух, / так что ( + 0) 1 а тк' от ( + О) 1 а При подходе снизу будет: О (1, — О)= — ргав/ е, О (1, — О)= — ИХ. Интенсивность ((1) тех вихрей, распределенных по отрезку АВ, которыми можно заменить контур с тем, чтобы получить рассматриваемое течение, определяется разрывом касательной составляющей скорости '((.") =о,(1, — 0) — о,(1, +0) и, следовательно, Га — ч 1(".) = — 2(га ау У а+ (15.16) Полная интенсивность всех этих вихрей и определяет, очевидно, величину циркуляции а О р — / .((.) Щ= — 21 а ~ )/ — —,ГЛ=- — 21'хпа.

(15.17) Интенсивность вихрей обращается в нуль на заднем конце крыла, где скорость остается конечной, к переднему же краю крыла интенсивность вихрей беспредельно растет, с этим связано наличие бесконечной скорости вблизи переднего края крыла, а также наличие подсасывающей силы, о чем шла речь в 9 11.

В качестве второго примера возьмем дужку в форме параболы (15.18) Исходя из (15.10), без труда получим: Циркуляция и подъемная силз обращаются в нуль при а = — И/а, следовательно, критической осью служит прямая, проходящая через А = — 2па(Г(х+ — ); 1' = 2кра(Г2 (х + — ); Х =- — 2пра1гзх (а + — ) 1 Ит 1 (15. 19) 2та1Г2ц2а 300 плоскля злдлчл о двнжгнпи талл (гл.

ч! получим для точек отреака ЛВ представление х=асоз0, у=О. (15. 25) Комплексный потенциал те(з) =о(х, у)+(ф(х, у) удобнее отыскивать в плоскости С. Для мнимой части его мы имеем представление (15.3) ф(х, О) = ['[зх — Г(х)[ при [х [.( а. Введем обозначение Г (а соз 0) = ау (0); (15.

26) тогда предыдущее условие может быть запзсано в виде ф = а1~ [з сов 0 — у (О)] при О = — е". н=а тогда ф= — аЪ'[Аз+(А,— а)соз0+Азсоз20+...[ при ч=-ега. (15.28) Но ведь комплексный потенциал те должен в плоскости ч разлагаться в ряд вида О у ч;з с„+!с„ подставляя в этот рял и отделяя вещественную и мнимую части, получим: !!! 2- 0+ сз+ ~т [си сов а0+ ~л з!и гз0)' ![! =с +~~'! [с соза0 — с 5!пп0) н=! при !. = е". Сравнение с (15.28) показывает, что с'= — а[гЛ,, с" = — аЬ" (А, — а), с = — а~'А о ч 1 с,' =- О (и = 1, 2, ...); (а=2, 3, ...), кроме того, не нарушая общности, можно положить са = О.

Разложим четную функцию у (О) в тригонометрический ряд: У(0) =,~~~ А„соза0; (15.27) ТОНКОЕ КРЫЛО заменяя здесь 8 через х по формуле (15,25), получим значения потенциала !0 на отрезке АВ оси Ох. Найдем теперь касательные составля!ощие скорости на верхней и нижней сторонах профиля. На верхней стороне отрезка АВ угол 8 меняется от О до и; принимая еще во внимание, что г(х = — а з1п 8 г(8, получим: «у «0 1 кт ол(х, + 0) л=! Чтобы в правом конце дужки, которому соответствует 8 = О, скорость оставалась конечной, необходимо принять Г=2 ( — у ч-ух А,). л-! (15.31) позтому будем окончательно иметь: аЬ'(1 — сел 0) лат 1 — соз лз з!в 0 (15.32) л=! На нижней стороне профиля скорость переменит свой знак тл(х, — 0) =- — о„(х, + 0). Для интенсивности вихрей у(х)=о (х, — 0) — сл(х, +О) = — — 2о (х, +0) получим следующее тригонометрическое представление: ((Х) = — 2а(г ф 2+ 21 «и лАл 0 .

(15.33) л=! Иногда удобно исходить из тригонометрического ряда ! (х) 2 + ~к~и Влсозл8. л-! (15. 34) В результате приходим к следующему представлению потенциала 8! на круге К: = — 8-+а1гиз(п8 — аГ ~ Алмпп81 (15.29) Г л ! плоскля злллчл О движении телл (гл. ч( Вследствие (15.26) и (15,27) имеем: — — с' (а соз 0) а з1п 0 =- ау' (О) = — а ~ иАп жп и0, и=( поэтому получаем тождество — -!- 7 Впсозиз з1п0= у лА зши0, п=1 и=! и так как 7(х) = — 2а1'1п 2 + И т (Вп ( — Вп+() = — 2ик 18 2+! Во .

0 — +1 ~~Вп и 1 и окончательно 1 — соз лз пш 0 соз (и — 1) 0 — соз (л+ 1) 0 зш 0 7(х) = 20' (-~ — а) 1д У+ 2И У Воз|и и0. (15. 36) Например, в случае параболической дужки (15.18) 2йх 20 30 Е'(х) = — — 0- -— — — сов 0; В1= — —, В„=О (и Ф 1), и мы сразу получаем формулу (15,24). Имея распределение вихрей, мы сразу можем написать выражение для комплексной скорости — и (15.37) Так как вследствие (15.35) ~~0 иАп ~(Во+В() 1 и--1 то для циркуляции Г, пользуясь (15.31), получим: тв,„+в, Г = 2яа ч' 1(- -""-,' — ' — о), (15,38) 2 соз и0 01П 0 = з1п (и + 1) 0 .— з1п (и — 1) 0, то между Вп и А„будут существовать соотношения иАп = 2-(Вп, — В„е,) (и = — 1, 2....).

(15.35) 1 Подставляя это значени~ в (!5.33), после простых преобразований найдем: Х = ЯП~В = 2пар(Г~В ~ — а); гв,+в, (15.39) 'Г' = —;ГЬ'= — 2пар)лз ~ а+ ' — а) . Чтобы получить момент относительно начала координат сил, действующих на профиль, разложим (15.37) в окрестности бесконечно далекой точки а а ' —;,= — „' (-', (1л)л~-РР ) ьа)л-;- ...~. -а — а Итак, а Аа —,2ВЛ / 'Т(л) "1 1 — а (15.40) н по формуле (3.4) а 5=Я~' ~ 1Т(1)«1.

-а (15.41) Но а / сТ(1)~1= а о аэ асоз32у ~ — ' — а)13 — + 1 В,а(пвб ( — аз(п0)ггб= л-г ал л =Ъ'ат(В — 2а) /соз9(1 — соа3)гте+Ъ'азата ~ В„з(плВВ(п26М= о л=! е а'а'аа (Во 2а) аУааВл 2 2 и, следовательно, (15.42) Таким образом, для вычисления сил достаточно знать три первых козффициента разложения (15.34). й 16. Неустановившееся движение плоского контура. В 3 4 нами было рассмотрено поступательное течение, вызываемое движущимся круговым цилиндром. Рассмотрим теперь вопрос о неустано* вившемся движении произвольного плоского твердого контура С.

а Вй НЕУСТАНОВИВШЕЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА 309 после чего сразу выписываются выражения для сил ПЛОСКАЯ ЭАДА~!А О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл ч! Выбирая фиксированную точку О, твердо связзнную с контуром С, за полюс, мы можем характеризовать движение контура С проекциями и и !' скорости точки О и угловой скоростью вращения 44 контурз С около точки О. Положение последней в рассматриваемый момент примем зз начало координат. Безвихревое движение безграничной жидкости, находящейся вие контура С, определяется комплексным потенциалом тв = ф+- !'ф, причем на контуре С должно выполняться грзничное условие ф= иу — (г. — — "(х:+уз).

2 (16,1) Однако этим движение жидкости полностью еп!е не определяется; необходимо задать еще величину циркуляции Г по контуру С. Введем теперь в рассмотрение четыре комплексных потенциала шл=фа+!фл ((4=1 2 3 4) причем циркуляция пмеет величину Г, а три остальных потенциала определяют бесциркуляцпоиные течения в безграничной области, лежащей вне контура С, причем удовлетворяются граничные условия: ф, == у, ф! = — х; фз = — 2 (ха+ уз) на С. (16.3) Очевидно, что еа! и твз определяют течения, возникающие при поступательном движении контура С с единичной скоростью параллельно осям Ох и Оу, а свз определяет течение, соответствующее вращению контура С около точки О с единичной угловой скоростью.

Очевидно теперь, что если мы составим комплексный потенцпал ° =иш,+~Ъ,+ .,+Г,, то он будет удовлетворять всем постзвленным выше условиям. Итак, при неустановившемся движении контура С потенциал скорости !4 и функция тока ф лгшейно зависят от величин и, $г, ы н Г, определяющих движение контура и циркуляцию по нему: ф= иф,+Р~,+:р,+Г~;, ф= иф, +)ф,+ ф,+Гф,. (163) Рзссмотрим теперь вопрос о силах, действующих иа контур со стороны и<пакости. Будем исходить из законов количеств движения н моментов количеств движения. Обозначим через К какой-либо весьма большой контур, охватывающий контур С, например окруж- последний из которых ш4 соответствует чисто цпркуляцпониому обтеканию контура С, так что ф4=0 на С, (16.2) ИСУСТАНОВИВПЗГЕСЯ ДВИЖЕНИЕ ПЛОСКОГО КОНТУРА З11 а !б1 ность большого радиуса а с центром в точке О.

Область, расположенную между контурами С п К, обозначим через О. Проекции на оси координат количества движения жидкости, находящейся в области О, суть К,=р / / п,.гтхг1у = р / / — сГхг1у; и о К, =Р ~ / эу,тх,ту = — 0 / ~ —,',1х~Уу.

Характеристики

Список файлов книги