Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Решетки имеют важное применение в теории турбин; к задаче о решетке сво- ~ >У и дится валача о движении крыла в трубе, задача об уларе о волу в канале, ограниченном параллельными стенками, и некоторые другие. Ю В дальнейшем будем направлять Рис. 110. ось к по хорде профиля решетки. Угол р, образованный с осью х направлением, по которому надо сместить профиль решетки па шаг Е, чтобы получить соседний профвль, называется еыносо,н решетки.
Величина Ееи есть период решетка. Рассмотрим обтекание решетки потенциальным по~оком, имеющим в бесконечности слева от решетки скорость он направленную под углом в> к оси к. Лалеко аа решеткой вправо установится, вообще ~оворя, лругая скорость оз, наклоненная под углом а к оси х. Естественно считать, что поток, обтекающий решетку, будет пернодичен и иметь период Ге'". Таким образом, то(в+ Се'З) = — ев(г). Выделим около каждого профиля две линии тока, уходящие своими концами на бесконечность справа и слева, между которыми находится профиль, и получающиеся олна пз лругой смещением на шаг решетки. Линии этн будут конгруэнтны.
Введем вспомогательную плоскость ", и .е © совершим конформное преобразование внешности решеток профилей на многолистную ри- С' р' манову поверхность в плоскости г. внутри л д системы концентрических окружностей радиуса единицы (рис.
111), Мы получим многозначное соответствие между (, и в. Каждой точке внутри единичного круга плоскости ч отвечает Рис. 111. бесчисленное множество конгруэнтпых точек плоскости г. Пусть точка в=+ос перейдет в точку ч=+в (в— действительная. положительная величина, меньшая единицы), а точка 19" ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВНЖЕННН ТЕЛА 292 !гл кг г = — сс ПЕрЕйДет В (. = — е. Если мы обойдем по кругу малого радиуса точку ч = — з, то в плоскости ( мы придем в ту же точку; напротив, в плоскост~ з мы придем при этом в ближайшую конгруэнтную точку. То же можно сказать про обход вокруг точки 2 = + е. Таким образом, ны имеем дело с отображением каждой полосы между двумя конгруэнтными кривыми АВ и С/) (рис.
110) и контуром профиля на внутренность кругз )(! ( 1 с разрезом между точками " = где: при этом контур профиля переходит в контур окружности, а конгруэнтные кривые — в разрез Л'В' (он же С'О') между (. = — е и (.=+в Предположим, что мы знаем функцию, дающую наше конформное отображение. Пусть это будет (1 4.!) Тогда дальше, при решении задачи, мы могли бы рассуждать следующим образом. Обозначим ы ! г(()! = (е'(5) = Ф+ ГЧг. Вид функции г(Ю'/г(( мы можем сразу определить по ее особенностям. Именно, мы можем рассматривать (е' как комплексный потенциал некоторого фиктивного течения внутри единичного круга плоскости ч.
Жидкость вытекает из точки (= — з и втекает в точку с.=+е; кроме того, обход по малым кругам около точек ( = + е приводит к новым значениям (е'. Следовательно, в точке ч = — — е мы имеем вихрь и источник, а в точке ( =+е — вихрь и сток. Это значит, что И(е/с(ч имеет простые полюсы в точках(.= +в. Далее, на круге !г!=! будут находиться две точки Е и В, назовем их аргументы й, и нз (пусть йа > л,), отвечающие критическим точкам профиля в плоскости г.
Положение этих точек заранее не известно, но мы знаем, что в этих точках с(%'/с(ч должно обращаться в нуль. Наконец, так как Чг=сопз!. На круге (г,)= 1, то мы можем продолжить дВ'/с(( на всю плоскость комплек- 1 сного переменного ч, помещая в точках (.= + — (преобразование инверсии) еще два простых полюса. Регулярность (е' приводит к тому, что при (,=-Оо с!И'/сь". будет иметь нуль второго порядка.
Теперь мы можем сразу написать г(1ее/А в виде нк' (С вЂ” енч) (г — ени) — С (1 4.2) (ь + е) (ч е) ( + †) (б — †) где С вЂ” некоторое комплексное число. Параметры С, йн и,, е определяются геометрическими свойствами профилей и условиями обтекания. Заметим, что С просто связано с циркуляцией Г по контуру каждого профили в плоскости г. Действительно, циркуляция Г по контуру профиля в плоскости г, взятая в направлении против часовой стрелки, будет равна циркуляции по кругу )(,! = 1, взятой по ОБТЕКАНИЕ РЕШЕТКИ гчз часовой стрелке, последняя же находится через сумму вычетов у полюсов Г =+ е: ~( — - — е")( — е-ес') (е — е<«)(е-ег«)1 — 2Е (е~ — —,) 2Е (е' — — ) Е =- — 2п1С (ег«+ е'«).
1 — е' Так как «;.«, . «,-«, . «;Р«,,«,-«, . «, с-сс, с « — А е'«+е'«с=е е е '- +е з е '- =2е ' соя — '- — ', 2 то мы можем нанисатги С < —.' ' А,— «с Г = — 4псее е е соя — ' — '. 1 — е' 2 Так как циркуляция Г должна быть действительной, то величину с— сСе ' мы будем считать действительной. Введем вместо С новую, . «,с«, но уже действительную величину А из равенства А = — ЕСЕ тогда (14.2) примет вид где А, е, лп /ее действительны. При этом Г = 4ПЛ вЂ” сов —,—.
(14.4) Е «е — «с 1 — ее 2 На примере обтекания решетки плоских пластинок покажем, как можно довести решение задачи до конца. Прежде всего получим выражение функции г = Г(ь), дающей конформное отображение плон<ости с надрезами (рис. 112) на внутренность круга )<,! = 1. Чтобы получить функцию у(<), воспольауемся пРиемом гндромеханикн — сравнением простейших течений в той и другой плоскости. Именно, рассмотрим новое, простейшее течение в плоск<с<и е со скоростью, параллельной профилям, т. е.
бесциркулпционпое обтекание решетки; скорость этого течения примем рав ой <линице. Комплексный потенциал ю, этого простейшего течения будет: (14.5) плОскАя зАЛАНА О дзпженин телА 294 !гл ш й = 122+ и. (1 4.6) Обозначим для этого случая 12, через 22, а постоянную, стоящую теперь множителем в (14.3) — через Аа. Итак, (2 2НН вЂ” А е-2ла (22 е )(ч 22 (14,7) где Ае, )22, е — действительные постоянные. Интегрируя (14.7) и принимая в расчет (14.б), получим: Ас'е 2 (! — а') (ЕШЛ. аг) 1П вЂ” (ЕгЕ'гвч — 1) !П ~+$ (14. 8) Удобно ввести вместо параметров Ае и 222 два новых параметра г и 3 из равенств А,ае нн 222 2 ге2" 24 з2 21 2Š— 22 о' (е2еъь 1), (14 9) Тогда функция у(;), дающая наше конформпое отображение, примет вид 1 ( — $ Е у(ч)= — —.
еы!п — е-ш!п — . (14.10) 2е! С+2 1 Нетрудно видеть, что 1е"а будет периодом нашей решетки в плоскости а. Действительно, обход по часовой стрелке по малой окружности около точки Г = е приведет к изменению аргумента !. — а на — 2п1, и, таким образом, после обхода мы получим вместо У(ч) = з величину у(ч)=а+ге'а. Решетка в плоскости з будет определена, если будет задан ее период Ееы и еще ширина 1 каждой из пластинок. Свяжем теперь третий параметр, входящий в (14.10), — параметр е — с шириной пластинок, составляющих решетку. Задняя кромка пластинки отвечает значению ч = ег"', передняя кромка переходит в точку = е' !2 ""! = — егь . 1)оэтому ширина пластинки должна быть определена по формуле 1= — у (е'А ) — у'( — е'"'). Какое течение будет отвечать этому бесциркуляциопному течению в плоскости ч? Чтобы ответить на этот вопрос, мы можем воспользоваться формулой (14.3), подобрав в нсй прежде всего параметры так, чтобы полушть 1'=-О. Согласно (14.4) эта будет означать, по Овтаклнив Решетки з 44! Г!о (14.! О) ('' ЕЕЕе — е е'"!п .
— е-'а !п ЕГЕе + е 1 + йе ЕОЕ Ле+ е 1 — 24 соз Ла + ее СОЗ (1 аГС!ьее 2*ею ад е 1 — ее г' /. = — (5!и (!4.11) ВыРазим ееце не чеРез е и !2. ДлЯ этого замсиш, что, УмножаЯ пеР- вое нз равенств (14.9) на е' и вычитая второе, мы получим: Азее-гее = —; (азеге — е Ы).
(14.12 яе так что Ае — — — )е 1+ е4 2з2 соз 2~, !ьл == — — — ', !Кр, (14 13) Теперь по (14.! 1) можно представить ! в анде ) 1 — 24' соз 2Р-+ 44+ 2е е!а 3 1 — -.. з!п(1 !п !Д! — 2ее сое 2Р + 44 — 2= юн Р +2созР агс!ч . '==1. (14.!4) 1~! — 2ее соз 24+ е' 1 Формула (14.14) позволяет выразить е через 1, ! и р, Формулами (14.10), (14.14) полностью определена функция, дающая конформное отображение внешности решетки пластвнок на внутренность круга (Г)= — !.
Вернемся теперь к нашей залаче обтекания. Комплексный потенциал (ет удовлетворяет уравнению типа (14.3). Интегрируя это уравнение по С, мы получим (к' в функциях от ".. С лругой стороны, по (14.1) и (14.10) мы получим соответствие между 0 и г. Таким образом, остается лишь выбрать параметры, зхолягцие в (14.3). Параметр е характеризует геометрическую сторону обтекания; он уже определен по (14.14). Чтобы найти параметры А, йн !42, привлечем велишшу и направление скорости на бесконечности перел пластинкой и условие конечности скорости на '-'адней кромке пластинки.
Для определения скорости в плоскости г имеем равенство . lг,ьм — 2ее (г ееа~) (, ееее) Ае 1 — е'ы Чтобы получить конечную скорость на задней кромке (ч=ееже), мы должны будем принять гег = ееа ) Значит, е з= — ("+1)зш"; Азеапда — — (ет — 1)соя~, плоская злдлчл о дви кении тслл !гЛ 12! Итак, 24 и 4!Ел !А — 4 —" .(,424 — = — — е г ьв А ы, (14,16) Отсюда (1+4 )Мо, 224 24о '22 ~е . Ле + ЛО 2 " 2 А и! соз а!— (14.17) 1 — 22 соз де+ 22 (! — е') сое Ле — Л! 2 1 — 22 соз !22+ 22 А и я!па = —— -42 (! 4.
! 8) Из этих двух равенств мы можем найти Л и 722! обтекание будет полностью определено. Найдем егпе ииркуляпиа Г. По (14Л), используя равенство (14.!8), в котором А, заменено по (14.12), мы получим: е! )' ! — 222 сое 22+ 24 (1+ 22 — 22 сое 14 ) (! Е2) (! — Е4) ' о з(па. (14.19) ! 1' Отметим, что случай обтекания одной пластинки мы получим предельным переходом при е — ьО, Так как по (!4.14) для малых е мы я имеем е — 42, то !пп е| = — 1, и (14.! 9) перейдет в равенство я ', о 4 (Г) „= — и(о! я!п ин что согласуется с формулой (11,4) этой главы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
