Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Как мы увидим во второй части курса, даже при малой вязкости жидкости нельзя пренебрегать действием сил вязкости вблизи стенок, в данном случае вблизи контура С. В результате действия этих снл в тонком, прилегающем к контуру С слое жидкости образуются вихри, которые срываются затем с контура внутрь жидкости. Если теперь рассмотреть два контура 7., и 7. (рис. 96) и обознзчи ь через — Г' циркуляцию по контуру ).ш то Рнс. 96 ясно, что циркуляция по кон- туруу Г и охватывающему контур С, булет равна Г', так как циркуляция по всему контуру 7. =- ~, +Ц, как мы видели выше, равна нулю (этот контур целиком лежит внутри жилкости, тле действием малых сил вязкости мы мозкем пренебречь). Процесс срыва вихрей с преобладанием вихрей одного знака будет прололжаться до тех пор, пока циркуляция Г' не достигнет такого значения Г, при котором скорость в задней кромке контура С будет конечной.
Сорвавшиеся с контура вихри при движении контура останутся далеко позади него. Таким образом объясняется установление опрелеленного значения циркуляции при поступательном равномерном движении контура С. Очевидно, то же самое, рассуждение применимо и к задаче об обтекании контура С. Опрелелим теперь, исходя из гипотезы Жуковского, значение циркуляции Г для контура С, имеющего острую кромку А. Пусть точке А соответствует в плоскости 1 точка А' круга К: ~, = )эем„ (7.8) Если касательные к контуру С з точке А образуют угол 3 (рис. 95), то в точке А' преобразование перестанет быть конформным; так как угол между двумя касательными к кругу К а точке А' равен —,, 5 71 ПРИА!ЕНЕННЕ МЕТОДА КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ 261 а внешний угол между касательными к контуру С в точке А равен 2в — Ь, то с точностью до малых высшего порядка преобразование области Ь в область с) вблизи точки А' дается формулой яа-а е — гд — Л4 (1 — (,) отсюда ясно, что при о < и в точке А' По правилу дифференцирования сложных функций а!йг а!ге Да ~к~ лл с~С ' Иными словами, точка А' должна быть одной из критических точек фиктивного течения в плоскости 1, Подставив в равенство ЛР' — /ге )7а à — = НΠ— + —.
их (а 2а14 (7.9) значение (7.8) и приравняв результат нулю, без труда найдем: Г=2я!я!С(О Е-Л, О Еаза) (7. 10) Воспользовавшись, наконец, тригонометрическим представлением !Ег и !О !Е™ получим: (а=2П!7е)7(О ~(ем*-е! — е Па-ва1)= — 4яй)7(О !Б1п(а — Оо). (7.1!) Итак, для контура с острой кромкой циркуляция Г определяется по формуле Р = 4 яйся ( О, ~ з! п (0е — в). (7.1 2) Как видим, вся трудность в решении задачи о безотрывном обтекании контура поступательным потоком сводится к отысканию конформного отображения области 72 на внешность круга. Прежде чем переходить к примерам, вернемся к вопросу о вычислении сил, дсйствуюших на нонтур С. В точке А' первый множитель справа остается ограниченным по молчлю, а второй, как только что установлено, обрашается в нуль, следовательно, плоскАя 3АдАчА 0 движении телА !гл.
щ $8. Реакции на контур. Хы будем исходить из общих формул Чаплыгина — Блазиуса для сил, действующих на контур С при обтекании его потенциальным потоком я-х — л-А(~ — '„,)'~*: с=ь( — ~ф*( — '„;)'ш~. ОО с 1. с Так как функция Не/дл голоморфна вне контура С, то интегрирование в предыдущих формулах можно производить по любому контуру, охватывающему контур С.
Если мы возьмем в плоскости л окружность Г. с центром в начале координат, целиком содержащую внутри себя контур С, то иа Г. и вне 7 мы должны иметь разложение в ряд Лорана вида — = Ае+ — + — + ига А, А~ л2 так как на бесконечности комплексная скорость имеет значение о, то Ао= о Для определения коэффициента А, заметим, что мы имеем соот- ношение 2л(А, = ~ — „газ = ~ гйе; ы с ПРавые части этих двух формул тождественны, следовательно, Г А = —, и, значит, Нм Г Ая — + —.+ — '+ Не ~ 2лее (8.2) Составляем ГЯ Теперь без труда получим, применяя теорему о вычетах: ) Фг = 2л$ —, = 21Ъ г( г ) пх=2л1~(2о Ая — 4 ')' если 7.' есть преобразование Г. в плоскости ч, то из (7.9) ясно, что мы имеем также 263 РБАкции нА контуР $ з1 и по формулам (8.1): )7 = Х вЂ” 1Г = трго„; Ь = )те ( — 2яро Азг).
(8.3) (8.4) Первая из этих формул есть уже известная нам формула Кутта— Жуковского, доказанная теперь для общего случая. Переходя к сопряженным значениям, получим: 77 = Л'+ 1'г' = — 1рГо, (8.6) т. е. сила, действующая на контур, ранна произведению из плотности, циркуляции скорости и скорости на бесконечности Р=М~О „,~ь (8.6) (8.7) Для определения момента относительно начала координат действующих на контур сил достаточно найти коэффициент А, в разложении (8.2) комплексной скорости.
Ио Л гГ1Р Лб 7 —, Г Ло„771 1 гК лт. ла 'А ' 2яГс га ! ал ' воспользовавшись формулой (7.3) и значениями коэффициентов (7.4), получим: 6=1~+1~+ —,' + О Лэ~ — — — + = — + — +. !л Е'Р ''' л а' 1 Аа поэтому после простых вычислений найдем: Итак, Аа — -- )з)его — )гайто + -л4-. а ее направление получается из направления скорости на бесконечности путем поворота последнего на прямой угол навстречу циркуляции Если контур С имеет острую кромку, то циркуляция Г определится по формуле (7.12), и мы получим из (8.6): Р= 4ярй)7)о (т(а1п(Оо — я)(.
ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА !ГЛ. У! Подставляя это значение в формулу (8.4), найдем; Ь = ссе ( — 2я/р/с/е,ю' — ррп /се). (8.8) Рассмотрим теперь более подробно случай, когда контур С имеет острую кромку А. Рассмотрим формулу конформного преобразовзния =й~+й,+ — ",с+ — "„~+ ... Точку плоскости з, имеющую координату /ае, обозначим через СВ I и назовем ионфорлсным центром и!нанести (рис.
97). Так кзк йи= —,„. ~ з —, 1 ис к то, полагая /7е!! получим; 2с л к т. е. угол атаки по отношению к критической оси контура, перепишем формулу (8.7) в зиле /з= 4прйР)п )а~ з)п ~(„. следовательно, точка С„ является центром тяжести для контура С, по которому распределены массы, так что на элемент дз контура С Рис. 97. приходится масса /7 д0, равная величине соответствующего элемента дути окружности К. Отсюда ясно, что точка СВ занимает одно и то же положение по отношению к контуру С при любом полом!енин последнего в плоскости л. Проведем через точку СВ прямую Свl под углом 0В к оси Ох и назовем ее критической ила первой осью контура. Если поток па бесконечности параллелен критической оси, то и =- 0, и по формуле (8.7) подъемная сила обрашается в нуль, поэтому критическая ось може~ быть также названа осью нулевой подъел!ной силы.
Введя в рассмотрение угол — О, ПАРАВОЛА УСТОЙЧИВОСТИ 265 тогда получим: Ь =- — 2кр)г/о„/ейе 11(lг, — 'кейеге ) е-"а + 1ке)1е-ге ) (8 9) Перемещая контур С в плоскости г параллельно самому себе так, чтобы конформный центр тяжести Се попал в точку л к„= — в- -се, й (8.!0) обозначим через Р и назовем фокусом контура ту точку, твердо связанную с контуром С, которая будет теперь находиться в начале координат.
Нз предыдущей формулы найдем для момента сил относительно фокуса Р выражение Е„. = — 2прк(п '!арсе 1!к,е-г'а '1, (8. 11) не зависящее от угла атаки а. Отсюда вытекает следующая теорема С. 1А. Чаплыгина: силы давления иа контур могут бьсть приеедеиы к силе жуггоеского, прилоаеенноег е фокусе, и к паре с постоянным, пг.
е. не заеисяигим от угла атаки, моментом. 9 9. Парабола устойчивости. Повернем теперь контур С около фокуса Р так, чтобы критическая ось была параллельна осп Ох. В атом случае угол бз обращается в нуль, и формулы (7.12) и (8.7) принимают соответственно зид Г = — 4кй)с(о )з!п а, Р=4прйй(п )г(з!Ва(. Направление силы Жуковского мы знаем: оно перпендикулярно направлению скорости на бесконечности; остается найти линию действия силы. Найдем огибающую линий действия, соответствующих всевозможным углам атаки.
Уравнение линии действия пишется так: х1' — уХ = — Е„, но согласно (8 б) Х+;у (рГО = — 1рГ(о /е'", следовательно, Х=рГ!о !В)па= — 4пркй~о„Р зюга, У= — рГ(о !соза=4прМ)о !гз(засова. (9.2) таким образом сила, действующая на контур, пропорциональна синусу угла атаки по отношению к критической оси контура. Полставим теперь в выражение (8.8) для момента Е следующие апаченпя входящих туда величин: !е-еа Г 2п11г)7(п 1[ема-е) е — г(а-еа11. ГглоскАя ЗАдАчА О движении телА 1гл чг 11оэтому уравнение (9.1) принимает вил х 51п а сов и +- у 51пг а ~ в, 19.4) где ~Р 4кгйя ~ 11 19 б) Огибающая семейства прямых 19.4) получается по обычному правилу; дифференцирование по а дает: хсо52г+угйп 2и=-б.
Исключение а из полученных двух уравнений приводит к искоиой огибающей хг+уг=(23 — у)г, или хг= 43(Ь вЂ” у), 19 б) Это есть парабола с фокусом в точке Р, для которой директрисой служит прямая у = 23, параллельная осн Ох. Точка См имеющая координату ко= кп'гг (9.7) лежит очевидно на этой прямой. Таким образом директрисой параболы 19.6), которая называется параболой метацентров или параболой устойчивости, является критическая ось контура, а ее фокусом — фокус контура. Имея параболу метацентров, достаточно провести касательную к ней, перпендикулярную к направлению скорости нз бесконечности, чтобы получить линию действия силы, действующей на контур.
Ио известно, что основание перпендикуляра, опушенного нз фокуса параболы на касательную, лежит на касательной к параболе, проходящей через вершину параболы. Поэтому можно дать следующее простое правило построения линии действия силы: через середину перпендикуляра из фокуса на директрису проведем прямую, параллельную директрисе, тогда линия действия силы будет проходить через точку пересечения этой прямой с прямой, параллельной направлению скорости на бесконечности и проходяигей через фокус параболы, и будет перпендикулярна направлению скорости на бесконечности. То или другое направление силы на линии ее действия может быть определено либо по правилу Жуковского, либо из знака момента 1.. Отметим еще, что в частном случае, когда Е .= О, сила всегда проходит через фокус Г, так что в этом случае мы имеем постоянный центр давления.
Во избежание недоразумений подчеркнем егце раз, что формула 19.5) справедлива только в том частном случае, когда критическая ось параллельна оси Ох. В общем же случае произвольного расположе- ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ЦИЛИНДРА Ь ш1 267 ния контура С мы должны воспользоваться формулой (8.11), откуда следует, что 7 1И, 4ял 71)е )' 1 2ь' 1' (9. 8) полажение фокуса Р определяется в общем случае равенством л х . = 7ее -и Р— Е ибо гьс=хСБ, а из (8,10) вытекает, что — = — е-' . -е С, Р Д 19.9) $10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
