Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 52
Текст из файла (страница 52)
В функцию (13.1) входят 2л -ч- 3 независимых между собой параметров: а [гл ш плОскАя зАдАИА О дВижении телА вещественных чисел 1Н Ц..., 1г, п — 1 из л чисел йи ан ..., а„, связанных известной из геометрии зависимостью аг+ аз+ ... +и„= (и — 2) ел и по два параметра в каждом из комплексных постоянных А и В, Так как вид и положение многоугольника вполне определяются заданием 2Л координат его вершин, то мы заключаем, что при пользовании формулой Шварца — Кристоффеля можно по произволу располагать тремя параметрами, задавая, например, наперед 1и 1з, ':,, что вполне согласуется со сказанным выше о полной определенности конформного отображения при задании соответствия трех контурных точек. В нашем случае в вершинах треугольника ВВ'А имеем углы г й т 2 ' я й 2' из=0. причем вершинам В, В', А соответствуют в плоскости ! точки Но в случае, ко~да 1„= со, формула Шварца — Кристоффеля принимает вид г 1 г — ! Л А / (! — 1,)" 1г — 1з)" ...
(г — 1~-1) ' ~+ ( ) Применяя ее к нашему случаю и замечая, что л =О при 1=0, получим: г г:=К ) =Кагсз!п1. й:г: у'~ — г о Так как в точке В при 1=! должно быть г.= — 1а, то легко находим, что 21а К= —— и, следовательно 2ы л = — — агс ейп1. Присоединяя сюда уравнение те= — — 1п!, Р (1В.З) (! ВА) мы получаем решение задачи в параметрической форме. Исключая 1, мы можем получить соотношение между тв н л в явной форме, но для всех расчетов удобнее пользоваться полученными формулами. метод жукОВскОГΠ— митчеля В ~з1 так что 2а аз В = — — агс з1п 1, ! = — з!п —. 2а ' Из формулы (18.4) получим: С> У ..01 ге=а = — — 1п ~ — з)п — '~, 2а / ' так как О=О на ВС.
Наконец, обшая формула а'2 с — = ел ла~ приводит в данном случае к соотношению 1 м г!2 = — е" г!чь с и, так как с!2 = с!х+-! с!у, с!'0 = — — с!8 — ггО, 2а 2а то получаем: г!х = — соз 0 Х с = — — соз В с!и — с!В; 1 ав с 2ас 2а е . с!у= — з)п 0 с!га = — — вйп Ос!д — НО. 2ас 2а Интегрируя вти соотношения и замечая, что в точке В при В = — а имеем х = О, у = Ь, получаем окончательные уравнения струи ВС: в в х= — — ~ созбс!и — 89; у=Ь вЂ” — с! з)~ОС!и — с!О. (18.б) аз чг / . аз 2ас,/ 2а ' 2ас ,! 2а -а а Так как ширина струи на бесконечности есть 2Ьг, то у-ьЬ' при О-УО, и мы получаем соотношение о Ь'=Ь вЂ” — у з1п Ос!8 — г!В.
с> р ав 2« / 2а Комбинируя его с равенством 2Ь'с = !',г, находим для с значение а с= — 1+ — г з1п 0 с!8 — ~!О () 1 / . аз 20 ~ «.! 2а в !18. О) Найдем, например, уравнение струн ВС. Здесь ! меняется от О до 1, и мы получаем из (!8.3): с 2Ы Х+ Й' =1п — + !О = — — агс з!и Г, !о! = а 1гл ш ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕ,ЛА н для сжатия струи величину (18,7) 2Ьс 1 1+— а а чз Мп 3 с!я — ла 2а о а а= —.
2' Формулы сильно упрощаются в частном случае, когда Рис. 125. Рис. 124. В этом случае стенки служат продолжением друг друга (рис. 124). Из предыдущих Формул без труда получим для сжатия струи величину Р и Ь 2+а — — 0,61, а для скорости на бесконечности 0 (я+ 2) 2аЬ В предельном случае а = -„ л получается истечение из насадка, бесконечно заглубленного в жидкость (рис.
! 25). В этом случае сжатие струи достигает своего предельного значения Ь' 1 Ь 2' Рис, 126 В качестве второго примера рассмотрим задачу о прямом ударе струн конечной ширины в пластинку, перпендикулярную к струе и симметрично относительно нее расположенную (рис. 126). Толщину струи на бесконечности обозначим через 2Ь, длину пластинки через 21, а расход струи через (З, так что скорость струи на бесконечности я 1з1 меГОд жукОВскОГΠ— митчеля будет равна расположим оси координат, как ;З=О на линии тока, упирающейся ветвляюшейся затем на ОАВ и ОА'В'„тогла на верхней границе струи СВ буает ф = ф2, а на нижней С'В' будет О=.— О(2.
Принимая еще, что в точке О значение потенциала О равно нулю, получим отобра;кение области течения на плоскость комплексного потенциалз тв в виде симметричной относительно вещественной оси полосы ширины О, разрезанной по положительной вещественно точек А и А' лягут в олпу и ту же разреза. На плоскости показано на рис. 126. Пусть в середину пластинки О и раз- У Е Рнс. 12?. й оси грие. 127). Отображения точкУ в = Ое ) О с двУх стоРон с=с — === — е м ггпу е )е1 (рпс. 128) верхней половине пластинки ОЛ, на которой 6 = т!2, будет соответствовать верхняя часть чисто мнимой оси, идущая из бесконечности до точки ч = й 4 внутренней границе струи ЛВ, на которой ~о~ = с, булет соответствовать луга АВ окружности единичного радиуса с центром в точке ~ = О, идущая от точки Г =1 ло точки ч = е', где т есть угол, под которым наклонено к первоначальному направлению струи направление скоРости в кажлой из двух струй, на которые разбивается струя вследствие удара; наконец, на внешней границе струи СВ тоже булет ~о~ = с, а угол 9 меняется от лг в точке В до 0 в точке С, поэтому ВС "ерейдет па плоскости ~ч в дугу ВС единичной окружности, заключекную между точками ",=е'ж и ч=1.
!гл ш плОскАя зАдАИА О дВижении телА или тв = — 1п 0 (г2 1)2 (18. 9) 2ч (Се — емм) (ы е — м™) Положим: л. =!п Г, = 1п — + !8, ( = ее; !и! тогда можно написать: ("е — е )(Сз — е ) езе — 2 сов 2ги+а еа с!12У вЂ” сов 2т ел 2+ -гл з»' г+ з!в н' г и, следовательно, формулу (18.9) можно виде: СН 2з — 1 мп' т мв' ж =!— + вне 2 мв'!л представить в следующем ев = — — !и 1 —, (18.10) 2в а!и' (З вЂ” !1п !о!) который будет использован при изучении газовых струй.
Проводя эти рассуждения, нетрудно убедиться, что область течения перейдет на плоскости ч в правую полуплоскость за вычетом полукруга, ограниченного полуокружностью АВСВ'А' (рис. 128). Чтобы найти конформное отображение друг на друга двух областей, полученных нами в плоскостях тв и ч, представим себе на время, что плоскость ч представляет плоскость некоторого фиктивного течения, а гв есть комплексный потенциал этого течения. Все линии тока идут, как видно из рис. 128, из точки С либо в точку В, либо в точку В'.
Провода эти линии на плоскости "., мы можем заключить, что в нашем фиктивном течении точка С представляет источник, а точки В и В' — стоки. Чтобы линии ОА и ОА' были линиями тока, необходимо поместить в точках В" и В"', симметричных с точками В и В' относительно оси и, стоки той же интенсивности, .то в точках В н В', а в точке С", симметричной с С, — источник той же интенсивности, что и в точке С. Тогда получится картина течения, изображенная на рис. 128. Очевидно, что в точках С и С" нужно поместить источники с интенсивностью 2О, так как только половина этого расхода будет исходить из точки С в первоначальную область течения, ограниченную линией ОАВСВ'А'О.
Точно так же в точках В, В', В", В"' надо поместить стоки интенсивности О. Нетрудно теперь по полученным источникам и стокам построить комплексный потенциал ев = — 1п (ч — 1)+ — - !п (ч+ 1) — — !и(( — е )— 2() ° 2О е 2в 2е 2в 2 !п(( е ) 2 !п(ч+а ) 2 !п(ч+е ), (18 8) метОд жукОВскОГΠ— митчеля 1Г(ы имеем: пользуясь (18.8), без труда получим, что еье 2йс ( ь — 1 ь+1 1 — егм ".— е и, следовательно, г = — ! 2 !п — — еен !и ' — е-'" !и — —.. (18.11) 2яе ( 1+1 с+е'м 1+е Гж ) Эта формула совместно с (!8.9) дает полное решение задачи в параметрической форме.
Остается найти значение ш. Для этого надо использовать то обстоятельство, что нам задана длина пластинки 21. Применяя формулу (18.11) к точке Л, в которой г = В. С=-1, получим: 1! = — 1 2 — — е"" !ь!п — е + 1 — '1! — Е-Гм !п — „+ 1 — 1~, н так как АВ= ЛВе = 2 з)п ! — ' — — 1 = 2 сов~ — + — 1, АВ"' = АВ' = 2 з!и ! — '+ — ~1, Й 2)' то получим следующую связь между 1 и ды 1= — )я(1 — соэ гл)+ 2 з!и лГ !и !8 ~ — "+ — д. (18.12) ф г Г . ля аз 2яс 1" (а 2Д' Фуикпия от т, стоящая в правой части, монотонно возрастает от б до ОО, когда т изменяется от 0 до я/2, поэтому для всякой пластины длины 21 найдется одно и только одно соответствующее значение т.
Силу Р давления на пластинку направтенн)ю очевидно по почв жительной оси Ох, проще всего определить из закона количеств движения. Берем контрольную поверхность, пересекающую все три струи бесконечно далеко от пластинки, и подсчитаем уносимую через " У поверхность составляющую количества движения жидкости по Ол. Основная струя вносит количество движения рг,Гс, каждая из двух уходящих струй уносит количество движения рОс/2, проекпия 22 л нее 1гл.
щ 338 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА которого на ось Ох равна р4) — сов т. Следовательно, искомая унос 2 синая составляющая равна р()с (соз лг — 1); эта составляющая должна по закону количеств двюкения равняться силе — Р воздействия со стороны пластинки на жидкость, так как на всей контрольной поверхности давление одинаково и имеет нулевой главный вектор. Итак, (18.13) Р = р~с (1 — соз пг), В качестве третьего примера возьмем глпссирующую пластинку '). Рассмотрим плоскую пластинку, уходящую на бесконечность и подведенную под углом р к свободной поверхности горизонтального потока несжимаемой жидкости (рис. 129).
Поток раздваивается в кри- тической точке В на пла- С стинке, и вдоль пластинки вверх отбрасывается тонкая струйка жидкости. д Скорость на свободной поверхности по величине р постоянна. Эта схема изо- Ф бражает относительное 2) течение, порождаемое пластинкой, злнссирующей (скользящей) с большой скоростью по поверхности воды. ПредпоРнс. 129. лагается, что скорость движения настолько велика, что можно пренебречь в законе Бернулли ускорением силы тяжести н считать жидкость невесомой. В действительности весомость, в частности, сказывается еше в том. что отбрасываемая струйка не >ходит в бесконечность, а стекает в воду. Проведем нормаль ЕР к пластинке так; чтобы она являлась касательной к свободной поверхности. Отрезок 1 = ЕА условно называется длиной глиссируюшей пластинки з).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
