Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 54
Текст из файла (страница 54)
— 1 и +1 (рис. 137) и чтобы при этом сохранилось соответствие верхних полуплоскостей ! и В и точек Г = ОО и Г' = со. Искомое преобразование, очевидно, будет: — ~ ['.+ ' ~ или В = — ' ' . (19.2) )~и~ +!' а~, ! а~ — ! ае, 2à — (! а, — Уа,) 2 2 1'а, +Раз Введем вместо параметров а, и аз удобные для дальнейшего рассмотрения параметры а и ае при помощи соотношений а = "" +)' —" > О; с..., = " — "'; (19.3) тогда преобразование (19.2) примет вид [= а(['+ соз ее); В = — — сов ее. (19. 4) а Отобразим, наконец, верхнюю полуплоскость В на внутренность верхнего полукруга единичного радиуса с центром в начале координат плоскости новой переменной ч прн помощи известного пре- образования 1~, 1) (19.5) При этом отрезкам В,В, вещественной оси плоскости В будет отвечать дуга ВЗАВ[ окружности (рнс.
138), а внешним частяи той же оси от ['=+! до В=+СО и от г= — 1 до В= — со будут отвечать радиусы окружности В,О и ВЗО; точка А на плоскости В с абсциссой В= — созеа пеРейдет в точкУ [ч=егч, лежащУю на окружности в плоскости ч; точке В = ОО будет отвечать точка ч = О. Если известны параметры а, и аз или, что то же, а и е, то формулы преобразований (! 9.1), (! 9.4) и (19.3) устанавливают 345 МЕТОД ЛЕВИ ЧИВИТА взаимно однозначное соответствие всех точек разрезанной плоскости та и точек плоскости ч, лежащих на указанной полуокружности и внутри нее. Этого достаточно для построения картины линий тока ф = с в плоскости ч, но для полного решения задачи об обтекании остается еще разыскание преобразования, конформио отображающего область течения l плоскости в на плоскость та или, что эквивалентно, на внутренность упомянутой полуокружности плоскости ч.
Чтобы построить кзртину линий плоскости "., отвечающих линиям ~ока, заметим, что уравнение любой .шнии тока плоскости в может бып написано в виде ф (х, у) = 2 г, (19.61 тле та= т'(х, У)+Рт'(х, У)1 та= 7(х, у) — 12(х, у), Далее, вследствие формул (19.1) и (1 9.4) га = аг(1'+сов ае)-', Р . 188. та = аг (1' + соз а„)', где У' есть величина, сопряженная с С'. уравнение линий тока (19.6) для плоскости 1' преобразуется поэтому к виду (1' — 1') (1'-1-1'+ 2 соз ае) = —, = И = — сопзб (19.7) 2сю' О аг Переходя, наконец, к переменной ". = 1+ 14 по формуле (19.5), получаем уравнение искомых линий в плоскости ч: т1г (",г+ г)г+ 1) — 2 сов ао(Р+ т)г)) ((г+ те 1) Ь((г+ та)г (19 8) Линии этого семейства кривых шестого порядка, заключенные внутри упомянутой полуокружностн, отвечают семейству линий тока области течения ! плоскости з.
При этом линии тока ф = О, идущей из точки в = — ОО нз оси Ох и разветвляющейся в точке в --= О, соответствуют в плоскости ч куски: кривой третьего порядка Е (Р+ тг.+ 1) — 2 соз а (гг+ тг) = О, единичной окружности г 1,12 1 О 1гл. чг плоская задача о движпнии тялл вещественной оси 0=О, заключенные в пределах верхней полуокружности. Кубическая кривая касается мнимой оси в начале координат и за пределами полуокружности приближается к асимптоте 0=2созае, Внутри полуокружности эта кубическая кривая разделяет семейство линий (19,8) на два пучка замкнутых линий, отвечающих линиям тока в областях У' и Ул течения плоскости з. 11ля решения основной задачи отображения области течения г на плоскость ', Леви-Чивита предложил рассматривать вместо переменной Кирхгоффа 1/и и переменной Жуковского !п= комплекс- ную переменную (19.9) м=Е!пп.
Если обозначить через л величину вектора скорости течения и, через 0 угол наклона скорости к оси Ох и ввести для краткости обозначение !и ~ и ~ = !п и = т, тзк что !и и = !п л — ю'6 = т — !6. зо а=6+!т (19.10) и, обратно, из 119.9) и = е-"'.
(19.11) В силу допущений, положенных в основу теории обтекагшя со срывом струй, можно наперед укааать поведение переменной м на границзх области плоскости ь, отвечающей области течения У плоскости я. Так, точке 1,, = е'", отвечающей точке разветвления я = О, где и = О, соответствует значение м = со. При следовании вдоль дуг АВ, и АВз единичной окружности, отвечающих участкам обтекаемого контура от угловой точки А до точек срыва струй В, и Вм угол наклона вектора скорости 0, т. е.
вещественная часть переменной кь должен получить известную последовательность значений. определяемую формой контура. При следовании вдоль радиусов В,О и ВзО, отвечающих свободным струям, где величина скорости течения постоянна и равна 1, переменная м будет получать вещественные значения, причем точкам Г = 1, Г.= О, ( = — 1 будут соответствовать значения м = 0п м = О, м = 0п где 6, и Оз — углы, которые образует с осью Ох касательная к контуру в точках срыва струй. Нетрудно теперь видеть, что задача конформного отображения области течения У плоскости г на внутренность верхней полуокруж- МЕТОД ЛЕВИ.ЧИВИТА 9 19! ности плоскости г, сводится к разысканию функции 99 (г,), регулярной внутри полуокружности и удовлетворяющей указанным граничным условиям. В самом деле, из (19,1!) имеем: — =е-'"П! или с(л =е'"!с! г(ш, л19 (!9.!2) лл но вследствие преобразований (19.1), (19.4) и (19.5) г(тв = 2! Ж = 2па (!'+ соз ае) Ш' = = — аз ~Г+ — — 2соза ~1т! — — )гГ., (19.13) 1а 2 А С 03~ с2) Подставляя это выражение в (19.12) и интегрируя в пределах от значения се=-е'", при котором в =О, до некоторого ', заключенного внутри полуокружности, мы получаем искомое преобразование в форме г= — а / е' !О(ч+ — — 2 сов ее)(~ — — 1 —, (19,14) 7/ г для разыскания функции м(г) применим известный принцип симметрии Римана — 11!варца.
Так как функция ы(Г) внутри верхней полуокружности регулярна, а на горизонтальном диаметре В,ЛТ вещественна и непрерывна в каждой его точке, то функцию м(с) можно аналитически продолжить на нижнюю полуокружность по принципу симметрии, т. е. определить значения функции для каждой точки с=ге-', сопряженной с точкой с=ге" нижней полуокружности, как ге (г,) = 0 (г, и) — !Т(г, е). Продолженная таким образом функция м (Г) будет регулярна внутри всей единичной окружности !9+99=1, а на самой окружности имеет две сопряженные особые точки "-.„= е' ~ н (9= е нвх При этом, как указывалось выше, вещественная часть искомой (продолженной) функции 0(г, е) зависит от формы обтекаемого контура, причем эффективное определение этой функции представляет большие трудности.
Рассматривая обратную задачу, можно считать 0(1, е) заданной функцией Ф(е) параметра а, остающейся кроме того конечной при всяком а, как это следует из физического смысла 0, представляющего угол. Заметив, что функции 0(г, а) и т(г, а) являются гармоническими внутри всей единичной окружности, мы можем построить 0(г,а) по ее значениям на окружности нри помощи известного интеграла Пуассона 0(г,а)= — ( Ф(г) 9 Жж (!9.!О) 1 1 — г' 9 348 плоскАя 3АдАчА О дВРРженгн! телА [ГЛ. Ч! По построенной гармонической функции может быть всегда найдена сопряженная с ней гармоническая функция; по известной формуле из теории функций комплексной переменной имеем; !. О причем Р(0, 0) =-О.
Зги формулы определяют искомую функцию ш(".) в виде 1 !" 1+(е ш(')= — ! Ф(в) ', г(в, 2ч ° ! — ье в чем убеждаемся проверкой. Так как по условию аналитического продолжения функция Ф (в) должна удовлетворять равенству Ф ( — в) = О (1, — в) =- О (1, в) = Ф (в), или, что то же, Ф(2п — в) = Ф(в), то после несложных выкладок мы получим лля функции ш(Г) выра- жение ~ Ф(в)с(в =О, е (19.18) позволяющее определить параметр ен Определив функцию ш((), мы без труда можем найти некоторые геометрические н динамические элементы течения.
Так, для координат любой точки !.= е" верхней полуокружности из формулы (19.14) получаем: х=2аз ~ е ".!'Рсоа О(е)(сове — сов ее)в(пес(е, (19.19) у = 2 аз ~ е- ! ! в! п О (е) (сов е — сова) в(п е г(е. Подставляя сюда значения а=О н а=к, мы получаем координаты точек срыва струй В, и Вп ш (Р) = — / Ф (в) агв. (19,17) о Как было выяснено выше, ш(О)=-0; это обстоятельство налагает на функцию Ф(в) условие меТОд леви-чивитл 349 % !В] Для длины элемента любой линни тока формула ( 1 9 .
1 2) дает: )е(г( = е "Р '>)аев( = 2азе-'н '>)созе — созез)з(пепе (19 20) и, в частности, для длины элемента свободных струй 1, н )т, где т = О, имеем: )г(г! =- )г(тв!. Для радиуса кривизны Й линий тока отсюда имеем: — = е: зч ю — — ' 1,, аа(г, ч) В )~Кю~ (19.21) Р = — 1 рп г(е — ~ рп г(е, в,лв, в,ов, где В 0В, есть задняя часть контура С, находяпгаяся в застойной области. Если давление в этой застойной области есть ре, то в области течения мы будем иметь: + 2 уз+2' ибо на линиях В,С и ВзС давление равно р„, а скорость равна 1. А тогда ясно, что )2 = — / ~)то+ Р (1 — 1о (з)~ псЬ вЂ” ~ Р„пгй = В,АВ1 В.,БВ, — — / (1 — (о(з)пе(в В,АВр Обозначая проекции силы Р на оси координат через Х и )' и замечая, что соз(п, х)е(е = г(у; соз(п, у)г(з = — срх, легко найдем, что Р=Х вЂ” юу'= — р / (1 — ~о(')(тру+(г(х)= — 2 / (1 — )о(')аг.
в,лв, Очевидно, что и и с(г имеют на В,АВ или одинаковое, или прямо противоположное направление, почему и й = о г(г, ~ о '~'аг = оз г(г и, значит, в,лв, Вычислим теперь давление )г, оказываемое потоком на тело. Мы имеем, очевидно: ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1гл.
Чг Пользуясь формулами к мы Е-Го КЬ,;ГŠ— ЕГш ЗЗ С(тв. ЛŠŠ— Гш (9 ~утв гГе получим: Р= — — ~ ~ ~ е-'о кгг(и — / е '"'юг(те~, причем, переходя к плоскости 3, мы должны брать интегралы по верхней полуокружности единичного круга. пробегаемой по часовой стрелке. Как известно, ш (ч) в комплексно- У сопряженных точках принимает го комплексные сопряженные значения; то же самое имеет место Ф и для г(те вследствие равенства а л' л (19.13). Поэтому ~ езп 10Ао, 3~ взятый по верхней полуокруж- Рис. 139.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
