Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Л) д )а1 Л!рз 4ч д= (, г / 4я()~р'+ еа)з (3.!5) (3.! 6) 24 Зчч иге 4 з) ахикция токА для осесимметгичного тгчения 369 370 пРОстРАнстВеннАя ВАдАЯА О дВижении телА 1гл щг 'Р=О. «+ 1 1 (4 1 4з ( У(« — а)'+ р' )У («+ а)'+ р' ) а функция тока 1 у 1' «+а « — а 2 4ч (~ 3~"(«+а)ь+рь 1' (« — а)ь+рь ) 1 4 Р о + (соз Ть — соз Те) 2 " 4я (4.2) где 7, — угол, образованный с осью О«радиусом-вектором г,, проведенным в данную точку Р поля из источника, а 7 =(«, г ), где г — радиус-вектор, проведенный из стока (рис. 147).
Для построе. ния поверхностей тока ф=сопз1, можно применить известный графический прием Максвелла сложения скалярных полей, описанный нами в й 12 предыдущей главы. Поверхность тока ф = О будет состоять из внешних отрезков оси 0«и некоторой замкнутой поверхности, получаемой вращением овала К)1(ул,у вокруг оси О«. Критические точки К и У., где течение рааветвляется и скорость обращается в нуль, определятся условием (~ ) =е или вследствие (4.1) (4.3) 5 4. Метод источников н стоков.
Этот метод был применен впервые Ранкином к пространственной задаче об обтекании тела и состоит в аамене обтекаемого тела такой системой источников и стоков, чтобы поверхность тела служила одной нз поверхностей тона; при этом, очевидно, необходимо должна равняться нулю алгебраическая сумма обильностей источкиков, вводимых внутрь границ тела для построения нужной картины течения. Подбор упомянутой системы источников и стоков по заданной наперед форме поверхности обтекаемого тела представляет большие трудности. Рассмотрим на ряде простейших случаев обратную задачу разыскания тех форм поверхностей, которые могут быть взяты за границы обтекаемого тела при наперед заданном расположении источников.
а) Источник и сток равной обильности, внесенные в однородный поступательный поток. Считая, что скорость О однородного потока направлена по оси Ог, поместим источник обильности д на ось Ог в точку « = — а, а сток в точку « = а той же осн. Тогда результирующее течение будет осесимметричным, и по принципу наложения потенциал у течения выразится формулой 3П МВТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ 2 4) При р=О и г) а > О будет г,=д-+а, ге=я — а, и уравнение (4.3) принимает вид критическое значение л=гз, соответствующее точке 7.. определится как вещественный положительный корень уравнения ио (г2 — а2)' — а4гг = О. (4.5) Если же р = 0 и г < — а ( О, то г, = — (г + а).
гз — — — (г — а), и уравнение (4.3) получит вид о 1 1 ° + 4ч ~ (а — а)4 (а+ а)' 1 =О. Полагая г= — г', имеем уравнение для а'. 1 1 + 4я ((г'+а)4 (л' — а)4 ~ тождественное с уравнением (4.4). Таким образом, критической точке К будет соответствовать значение я = — гз. Поперечник ! чд 3 Рис. 147. ЯМ=2Ре обтекаемой поверхности определится, если в уравнении этой поверхности (4=0 положить х=О, что приводит к уравнению шестой степени иэо2 (а2+ р2) р4 — аз~72, б) Аублаа с моментом М, направленным против однородного поступательного течения, дает внакомую уже нам картину обтекания шара. 24" ПРОСТРЛНСТВЕННЛЯ ЗЛДЛЧЛ О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА пл /н В атом случае ,1!а 2 ' Р + 4ягс' где г — '1/ с2+ р2 Радиус гс обтекаемого шара определится пз условия ф = Вч Если М выразить через )С, то предыдущие выражения для р и ф примут вид (4.б) (4.7) в) Одиночный источник обильиости 7, внесенный в однородный поступательный поток, дает картину обтекания полубесконечиого Рнс.
148. 7 1 17=О а — р йк Р аь-)- р' ф= — —,Р'и. + —,— — +— 2 4. ) 22+22 4. (4.8) (4Я) тела вращения (рис. !48). Этот случай можно трактовать как частный случай источника и стока, когда сток удаляется в бесконечность. Взяв источник в начале координат, мы из формул (4.!) и (4.2) непосредственно получаем: 373 МГТОД ИСТОЧНИКОВ И СТОКОВ 5 4) форма поверхности обтекаемого полубесконечного телз определяется уравнением ф= — — рви + ч ~ +1) — О, (4.10) Критическая точка г=г„определится условием о, =0 при р=О Имеем: о= — =о + — — =О, дт 4» д» аа 4» га где г=)/'гз+ря. Отсюда заключаем, что гр — — — г ( О, но тогда прн будет г = г', и предыдущее уравнение примет вид о — — =О, 4 Ю а 4л»е откуда г ~/ — 2У 1. у + .,у- 2 У/ ли, Уравнение (4.10) при »=+со дает: / д (4.1 1) 1 У' гу(~) д; ~р= о г — — у 4л )/(» — ()'+ ра о (4.12) и функцией тока а а Ф= — — о.,р + — у 1 з 1 Г (» — ()д(уди(, 1 à — — у,у(() Ж.
2 4 / )/(» — ч)'+ ~~ 4 и о о (4.1 3) Если алгебраическая сумма обильностей линейно-распределенных источников равна нулю, то последний интеграл исчезает, и поверхность тока ф=О будет состоять ив отрезков оси Ог и некоторой замкнутой поверхности а 4л / )'(» — ь)'+рн 2 — ) ( ~/ч(~/~~ — 1 о р =О (р>О), (4.14) о Это означает, что при возрастании г поверхность обтекаемого тела приближается асимптотически к круговому цилиндру.
г) Линейно-распределенные источники на отрезке оси Ог от г= О до г= а с переменной обильностью у(ч)еуч на элементе /уч, будучи внесены в однородно-поступательный поток, создают течение с потенциалом 374 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА 1ГЛ УН рсоа 0 )' Р(С)до 4а ,Р ()l ра + (л ()3)з и следовательно, компоненты скорости тр' этого течения по осям цилиндрических координат будут: соз О /' Р (() ((л — ()'-2ра) ( др 4я 1 [ргра+ (л — ()е)з о а дтР бр сов О ~Р Р(') (г — () д( 4я о) ()Гра+ (» ()а! тр е (5,2) д(р' я(п О )' Р (() (Р( р дз 4, ./ (ура + (, ()е)з о охватывающей отрезок с источниками и стоками.
Если, наоборот, задать вид поверхности (4.14), т. е. считать р известной функцией от г, то разыскакие неизвестного распределения ()(ч) источников и стоков на данном отрезке оси Оа, при котором данная поверхность обтекалась бы течением, сводится к рещению интегрального уравнения (4.14). ф 5. Поперечное обтекание осесимметричиых тел. Предыдущий метод источников и стоков можно применить к з даче обтекания тела вращения, для которого ось Ог служит осью симметрии, помещенного в поступательный поток, снорость которого в бесконечности перпендикулярна к оси Ог.
Примем плоскость, проходящую через ось Ог параллельно вектору и, за плоскость Охз, для которой азимутальиый угол 9=0, и поместим по предложению Кармана на отрезке оси Ог от х = 0 до г = а линейно-распределенные дублеты, направив их оси навстречу потоку в плоскости Охг. Считая, что ось Ох направлена по вектору и и, значит, момент дублета р(ч)с(ч, приходящийся на отрезке ср(, направлен в отрицательную сторону оси Ох, мы получим в пространстве течение, потенциал которого у' согласно формуле (3,15) выразится в аиде а 1 д 1' Р(с)(гг 4а дл,/ г — ((*'-(-р'-(- ( — (р = ~ р'-~-( — (е. Выполняя дифференцирование, находим: Однородное поступательное течение имеет потенциал 9о=о к = о р сов 9, и компоненты скорости этого течения будут: о = о соз 0, ос, = О, ос, = — о з!п 9.
Таким образом, мы получаем компоненты результирующего течения в виде о =о соа9+; о = —; о = — о юп9+ — —, дт' дт' . 1 дт' р сю др ' а дк' з "» р да Дифференциальные уравнения линий будут: дк дт — дт и соз а+ Э др дк тока результирующего течения (5. 3) 1 дт — о 51п а+ —— да Если поверхность обтекаемого тела, получаемая врещеннем определенной кривой р=р(г) вокруг оси Ог, должна являться одной из поверхностей тока, на которой будут линии из семейства (5.3), то значение др1Г(г, доставляемое уравнением меридианной кривой р = †.р(з) и не зависящее от азимутального угла 9, должно совпадать со значением о соз а+— дт' др (5,4) доставляемым уравнениями (5.3).
Подставляя сюда вместо дф'/др и ду'/дг их выражения по формулам (5.2) и замечая при этом, что условие независимости от угла 0 действительно соблюдается, мы приходим к следующему интегральному уравнению для функции р(ь); а а 1 1 3 др / Р(с) ( — с) „-+ / Р(1) (( — 1)' — 2р') д(1+ 4а~'"дк,/ г~,! ф 6. Движение твердого тела в безграничной жидкости. Рассмотрим движение жидкости, вызываемое движением тела, ограниченного поверхностью 8, в безграничной несжимаемой идеальной жидкости, покоящейся на бесконечности.
Мы будем при этом считать, что на жидкость никакие внешние силы не действуют и что движение жидкости безвихревое. Обозначим потенциал скорости В рассматриваемый момент времени Г через р(х, у, а), так что проекции скорости суть о др дк ' дт др и о Г ду ' ' дс (6.1) 4 61 ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА В БЕЗГРАНИЧНОЙ ЖИДКОСТИ 375 376 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА !ГЛ. ТН Уравнение неразрывности дв» двя до — + — + — =0 дх ду д» показывает, что функция ~2 должна удовлетворять уравнению Лапласа дат д2Т дьг д»2 + дуа + д»2 (6.2) во всей области течения, т.
е. вне поверхности 5. Мы будем считать потенциал у однозначной функцией. В каждой точке Л4 поверхности 5 лолжно выполняться граничное условие дт ил* дл (6.3) 11а — = йш — ~ = 11в — У = О, у , +., дх г.+ж ду г.+„д» (6.4) дт дт дт где г = У »2 +- у2 + »2.
Можно счвтать, что — , †', — стредх ' ду ' д» мятся к нулю при г — ь ~ как величины порядка 1/г', з ~7 — как величина порядка 1/»2. В самом деле, введем сферические координаты г, 6, )' с центром в начале координат и разложим ~Р(л, у, ») в окрестности бесконечно удаленной точки в ряд по убывающим степеням г. Отбрасывая несущественную постоянную, будем иметь рааложение вида 'Р = Г»та Гл~-1 и=1 где У„(6, 1) — сферические функции. Пусть В есть сфера радиуса /т' с центром в начале координат. Вследствие несжимаемости жидкости потон скорости через В должен равняться нулю / / — ~Е1З= О, и так как дт А '~~ (л+!) 3'„(З, Л) Га а .»12 а-1 где а, есть проекция на нормаль и к поверхности 5 скорости и точки М той же поверхности. Для определенности мы будем считать нормаль и внешней к поверхности 5, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
