Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 55
Текст из файла (страница 55)
ности, равен ( е-' 1пс(те, взятому по нижней полуокружности против часовой стрелки. А тогда ясно, что Р = — —:~ е - '" и1 г(ы = 2 т = — — ь е-г" РЗ1ч+ — — 2созо ~110 — — 1 —,—, причем интеграл взят по контуру единичной окружности в положительном направлении. А так как функция ы(г) имеет внутри единичной окружностк единственную особенность в точке ( = О, в окрестности которой го оо е ' К1 = 1 — ('".~о'(О) — — ',- ~йоо (О) + го' (О)1 )в 'г- то, применяя теорему вычетов и переходя к комплексно-сопряженным величинам, легко находим формулу Леви-Чивита: Р= — пг г оо' (О)+!™ Г2созеооо'(0) — — ао(0)~, (19.22) 4 В качестве примера на применение метода Леви-Чнвпта рассмотрим случай косого обтекания пластинки (рис.
139), образующей угол р с о . Здесь для линии тока ф = 0 имеем: на участке АВ, 3, = (о, на участке АВЗ 3з=~~ — и, 351 зттод леви-чивитл б я! и функция Ф(г) будет иметь значения: Ф (г) = !3 — к, если 0 < г < о, Ф(г) = ан» аз < г < тн Условие [ Ф(г)с!г=О а даст ([! — т) ач + г (к — оз) = О, откупа аз=р Для построения преобразующей функции ы(ч) находим интеграл и тогда 1 /' Рз а о [1 (ао) 1(0)] + — ~ [1 (и) — 1 (аз)[. Так как 1(0) =О, то е-! а! ы(0) = — 1(оз) + — ' 1(п) = — !1и ! е~'0,.
) + — '1п( — 1) = я „ ч — е /с — е = — 11п ~е' — — г) — аз= — !!и ~ ег о ,. ). Отделяя вещественную часть от мнимой, имеем для точек полу- окружности, где ч=е'*: !« "+' и е-'!'! = 2 ;в ао а ( ад — а з!в— 2 с(о) = !п оо+ а з!в— 2 после чего по формуле (19.20) вычисляем: [Фз[=4азяпз ' я[пас/а 2 и, интегрируя в пределах от 0 до ае и от оз ло и, определяем длины Ьз и Ь, участков пластинки АВз и АВ;. /г, = аз [2 + 2 сов о + 2 соя аз япз оз+ (к — аз) яп аз[, Лз = аз(2 — 2 совая+ 2 соз аз з!ивов+ аз яп аз). 352 плоская злдлчл о двпжшшн тглл ггл ю Из условия /г = — /й+ йз получаем значение параметра а: л л аз= 4+вв1пчь 4+взшР ' Для вычисления сопротивления по формуле Леви-Чивита имеем: откуда ы' (О) = — 2 згп ае; в ч (0) = — — 2 згп 2е„, и, подставляя в (19.'22), находим: Р= — при з1п ее(зшае — /созаз), откуда получаем формулу рэлея: чад Мп чч паа э1п / 1Р~ = ей ' ~1 о 4+выпча 4+вэгвр Р— --Р = — ~ рсоэ(и, х)г/3.= в,вв,АВ| р соз (и, х) вгз— в,лв, — / рсоа(и, х) г/з.
Рнс. 140. в,вв, и обозначая через й расстояние 82' имеем' Замечая, что соя (и, х) г/з = игу между точками срыва струй В, и А а причем 1 = ! ф 20. Давление при обтекании со срывом струй и при обтекании с циркуляцией. Если происходит обтекание со срывом струй некоторого контура, обладаю- У шего осью симметрии, ориентированной в потоке параллельно скорости в бесконечности и (рис. !40), то очевидно, что резугп тпруюшее давление потока на такой контур направлено по вектору о и моягет быть выражено формулой йбт ЛАВЛГИИУ ПГИ ОВТГКАИИИ СО СРЫВОМ СТРУП я ем так как р =- сопап во всей зоне застоя. Применяя, далее, интеграл Бернулли — Коши, получаем: 1 р ~ з оя~,(у (20.!) откуда приходим к простому неравенству, подмеченному впервые С. Л.
Чаплыгиным: Р ~ — рнп" (20.2) В частности, это неравенство будет иметь место и при прямом ударе струи на круговую дужку, обращенную к потоку либо вы- Рнс. 112. Рис, 14!. пуклостью, либо вогнутостыо (рис. 141). Если л есть рздиус луги и 2!3 — угол, ею стягиваемый, то д=2гз!В,3 и Р(рги' з!В,Б==-Р, (20,3) Если же такая круговая дуга обтекается потопом с углом атаки а без срыва струй и прн наличии циркуляции, подобранной ири условии, чтобы скорость у заднего края дуги оставалась конечной (рис. 142), то величина подлерживающей силы выразится формулой (13.21): Р— 4пвпе г з1п — ' сйп '(и + Сравнивая с формулой (20.3), получаем, что соз —,' 2 2я ын (я+ — ) 23 зяк.
~~эе 354 плоская злдлчл о дзижвпин тялл 1гл, щ Если угол р взять таким. чтобы было соз— 2 (1, 2я мя ~а+ --) 120. 4) то Р„будет меньше Р,; при угле атаки а=О это условие дает ~) 18'22', прн а 0 для угла р получается еще меньшее значение, начиная с которого будет удовлетворяться условие 120.4). Этот вывод указывает на несостоятельность элементарного объяснения подъема аэроплана или воздушного змея действием косого удара струи. ф 21. Обтекание с кавитацией. Мы знаем, что скорость жидкости обращается в бесконечность в острых кромках профиля. В стационарном решении согласно уравнению Бернулли в острых кромках возникнут при этом бесконечно большие отрицательные давления.
Если кривизна обтекаемого профиля везде конечна, то и давление будет конечным, но оно может принимать, в математическом решении, большие по абсолютной величине отрицательные значения. В реальной жидкости отрицательные давления практически не появляются. Дело в том, что когда давление падает до определенной, зависящей от температуры жидкости малой положительной величины р„, жидкость в определенных условиях начинает испаряться; образуется область, заполненная парами жидкости, оплошность движения нарушается. Явление это называется кавитацией. При развитой кавнтации образуются целые полости — каверны, наполненные парами жидкости. На границе между такой полостью и жидкостью можно принимать давление постоянным и равным величине р„; поэтому эту границу можно рассматривать д как свободную поверхность — струю, схо- Г л ....
х дящую с обтекаемого контура. Так как 0 ю давление на бесконечности р. будет больше, чем р„, то в отличие от того, что имеет место при обычном струйном обтекании, теперь свободная поверхность Рнс. 143. не будет уходить на бесконечность, а будет стремиться замкнуться на конечном расстоянии от профиля (рис.
143). Мы можем рассмотреть следующую идеальную схему явления. Считаем, что при обтекании позади тела образуются свободные поверхности, которые смыкаются сзади тела и порождают струю, втекаюшую внутрь полости кавитации. Пренебрежем возвратом во внешний поток масс жидкости. втекавших внутрь каверны. Тогда нам придется ввести струю, направленную внутрь каверны, а само движение рассматривать на римановай поверхности, причем считать, что струя 4 и! овтеклние с клвитлциеи переходит на второй лист поверхности н там уходит на бесконечность.
Примем еще. что дзвленне вдоль поверхности кзверны всюду Равно Р„(давление невозмУщенного потока Р ) Ра) и что напРавление струн, входящей в каверну, прямо противоположно направлению скорости потока, набегающего на тело '). Метод решения задачи проиллюстрируем на примере прямого обтекания пластинки (рис. !43) с образованием за пластинкой кавитационной полости АВ,/)Вг. Требуется найти и форму границы области кавитации и все обтекание ').
Введем вспомогательную плоскость ! и представим себе, что вся внешность каверны отображена конформно на внутренность полукруга (!( = 1 с диаметром вдоль действительной оси ! (рис. 144). Пусть прн этом поверхность струи переходит в верхний полукруг, а точки В, и Вг (края пластинки) переходят в точки ! = — ! и ! = + 1 соответственно (точки В, и Вг плоскости !/. Мы уже условились втекание струйки в полость каверны представлять как переход на второй лист рнмановой поверхности. Пусть это втекание происходит в точке !). Перейдя на второй лист в точке /), струя уходит на бесконечность.
Пусть точке О отвечает на плоскости точка /)'. Так как О лежит на ст е то /У в' л' й' РУ находится на полуокружности в плоскости С Рнс. 144. причем в силу симметрии задачи точке г) отвечает точка !. Кроме критической точки А, которая переходит в А'(! =О), мы будем иметь в нашем потоке еще одну критическую точку К (положение ее заранее неизвестно) вне области кавитации. Пусть она переходит в точку К' на мнимой оси с координатой ! = И (О < л < 1). Наконец, бесконечно удаленной точке С первого листа плоскости л отвечает точка С' с координатой 1=!с(0 < с < л < 1). Пусть отображение дается функцией я=у(!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
