Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 57
Текст из файла (страница 57)
2) на поверхности зллипсоида, Равенство (2.3) выражает условие безотрывного обтекания н в развернутой форме принимает вид дв дт ' дт †с(н, х)+ — соз(и, у)+ — соз(н, ») = 0 дх ' ду ' д» или х дт у дт г дт — — + — — + — — = О. аг дх+Ь' ду еь дг (2.4) Чтобы подобрать искомое решение уравнения Лапласа, возьмем за исходный пункт известное выражение для ньютоноеа потенциала притяжения однородным зллипсоидом (2.1) внешней точки (х, у, »): 1'е (х' у») = =паде 1 хг ь гь йи (2.5) ° ( аь+ и Ь'+ и се+ и/)'(а'+ и) (Ь'+ и) (е'+ и) где ) есть положительный корень уравнения х' уь гь аь„( А+ Ьг(д+ сь.(ь (2.6) из нее видно, что распределение давления относительно зкваториальной плоскости 0 = к)2, перпендикулярной к направлению потока на бесконечности, симметрично. А тогда ясно, что давления, приложенные к поверхности шара, взаимно уравновешиваются.
Таким образом шар при равномерном поступательном движении не испытывает никакого сопротивления со стороны жидкости. Этот результат, резко противоречащий данным опыта, носит название парадокса Эйлера— Даламбера. Он объясняется тем, что в действительности безотрывное безвихревое обтекание шара не имеет места, с поверхности шара срываются вихри, которые видоизменяют как картину течении, так и распределение давления по поверхности шара. ф 2. Обтекание вллипсоида, Пусть рассматривается обтекание трехосного эллипсоида х' у' г' а + +с аь Ьг сг $2! ОБТЕКАНИЕ ЭЛЛИПСОИДА Если точка (х, у, г) лежит внутри зллипсоида, то теория притяжения дает для ньютонова потенпиала выражение 1',(х, у.
г)= о . (2.7) Вводя для краткости обозначения: А (х, у, г) = аЬс (аз + и)~Г(аз -1- и) (Ьз + и) (сз + и) ОЭ В(х, у, х)=аде (Ьз+и) )'(аз+и) (Ь'+ и) (с'+ и) С(х, у, г)=аде (сг + и) )/ (аз + и) (Ьз+ и) (се + и) (2.8) 7)(х, у, х) = аде ии (аз+ и) (Ьз+ и) (се+ и) мы перепишем предыдущие выражения для Лее и )е, в виде Ъ', = к (Е) — Ахз — Вуз — Сиз); З~з — — и (Е)о Аохз — Воуз Согз), где А,, В,, С,, Оо суть значения А, В, С, й при Л=О. Отсюда найдутся для компонентов силы притяжения на внешнюю точку (х, у, г) следующие выражения: д (ее дм дЛ Х= — д ' — — 2кАх — — Л' д — — 22'Ах, дх (2.9) так как дд('з (' хз уз 1 — ' = ладе(1 — — о дЛ ( аз+ Л Ьз+Л сз+Л/ (аз+ )(Ьз+Л)(сз+Л) вследствие уравнения (2.6). Аналогично найдутся 1'=2кВу; а=2кСг.
Во всех внешних точках 1',, а значит, и Х, У, с удовлетвоРяют уравнению Лапласа. Будем теперь искать решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее пограничным условиям (2,2) и (2А) в форме у=Ух+АХ(х, у, х)=2кААх+()х, (2.10) Зб4 ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА !ГЛ»Г!! где и — некоторая постоянная, подлежащая дальнейшему определению. Вычисляя д»Р)дх, имеем: (2.11) На поверхности эллипсондд Л = О, и тогда дА 1 дЛ а' Далее, дифференцируя по х уравнение (2.6), находим: 2х Г хз у 1 )дЛ а»+3»„(а'+Л)1 + (Ь'+Л)1 + (с*.+Л)' ) дх откуда при Л=-О дЛ 2х дх а11»Г где х» у» хЗ р' =- — + — + —. а» Ь» с4 Таким образом для поверхности эллипсоида ~~ = 2ЯИ(А — —,)+ У и аналогично дт — = — 2кд 2хх дх а'с'р1 — = — 2яд —; дт 2ух ду ' а»Ь'р» ' Внося эти выражения в пограничное условие (2А), получаем уравнение х х 2х lхз уз 2пДА — +и — — 2, Л вЂ” ( — +--+ — ) =О е а» аз ' азра 'Л а4 Ь» или 2тй (А — 2) + (I = О, откуда 2з (2 — Ао) Таким образом, (2.12) При этом легко видеть, что при удалении точки (х, у, г) в бес- дА дА дА конечность каждая из производных —, —, — стремится к нулю, дх' ду ' дх как 1/гз, где г= )Гхз+уз+-гз, а само А — как 1/гз, что обеспечивает выполнение условий (2.2).
Следовательно, формула (2.12) н является искомым решением уравнения Лапласа. овтеклние эллппсоплл ге! 365 Для случая обтекания сферонда (а =(1 ) с) потоком, скорость которого о параллельна осп Ол, предыдущне формулы лают: а(и 2аге А=В =ага л (а'+ и)'У с'+ и (У"а' — с')з У (1+ че)ч где сг+) = (аг — с') чг. Вводя эксцентрнснтет У аг — ег е= а наледям: УТ вЂ” е' г'я ч А = В = — — гл — — агой ч — — 1. ел '(2 1+ Р)' (2. ! 4) Лпалогнчно найдется: С= а'с й'и 2а'с ! (Гч (ее+и) (се+и) У с'+и (Уаг — е')з ! (1+ чч) ч' 2У! — е' /1 г. л ее (ч 1( — + а(с!а ч — — ) .
(2,! 5) 2)' Потенциал течения для такого сплюснутого эллнпсонда вращення принимает внд 2 — С (2. 16) 2 — Со Значение для Се здесь получится нз формулы (2.1о), если для ч принять то значение, которое соответствует ),=О, а именно: с У1 — е' ч =.— У' а' — с' е тогда 2У1 — ег ! е У1 — ее я1 С, = — — ( — .+ агсга —— е' (()Г1 — ее е 2) Нетрудно, далее, впасть, что если скорость о, образует с осями обтекаемого эллапсонда углы и, р, у, то, разлагая поступательный поток на трн потока со скоростями о соэ и, о совр~ и о соз у, направленными параллельно осям эллнпсонда, мы получим для потенцнала скорости результирующего течения выражение Ах соя а э=о (хсоэа+усозэ+асоэ (+ — — + Ву сов ~( ( Се сое т '1 2 — Вч 2 — С,!' зоб ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА !ГЛ И!1 НО )гТ вЂ” е' е г 1 — е' агс!д — — = — агс!и = — агсз1п е, 2 и, значит, 2)'! — а' Г е Ср — — ~ .
— агсз!и е|. е' 1! гс1 — е' (2.17) Внося выражения для С и Ср в формулу для е, получаем: (1 в г ~ — — агсс!я ч) 9= агсз!и е — е рг1 — е' (2.1 8) 2 г'1 р= — о ггт — — агсс!3 ~), (2.1 9) где аттз=)., а ). есть положительный корень уравнения х'+ у' а'+х +р ф 3. Функция тока для осесимметричиого течения. Течение называется осесимметричным, если линии тока расположены в плоскостях, проходящих через данную ось, и в каждой такой плоскости картина распределения линий тока одинакова.
Если ось симметрии принять за ось Ог цилиндрических координат р, О, г, то из определения следует, что о„ = О, и уравнение неразрывности (13.1) главы первой для установившегося осесимметричного течения несжимаемой жидкости принимает вид д (ро,) д(рв ) д (рер) д ( — рер) + — =О или (3.1) Дифференциальное уравнение любой линии тока для осесимметричного течения, очевидно, будет: — — или о дг — о др = О.
др дг (3.2) ер ех р Соотношение (3.1) показывает, что р служит интегрнруюшим множителем уравнения (3.2), левая часть которого по умножении на р будет представлять собою полный дифференциал некоторой функции ф(р, г): г(ф =- ро, г(г — ро, с(р, (3.3) так что Р р дг ' * р др ' (3.
4) Если взять теперь с = О и, значит, е = 1, то мы получаем потенциал обтекания кругового диска радиуса а потоком, скорость которого в бесконечности направлена по оси диска ФУНКЦИЯ ТОКА ДЛЯ ОСЕСИММЕТРИЧНОГО ТЕЧЕНИЯ 367 Н=2Я[ф(р. Я) — ф(ро зо)1 = =(с — с ) 2я. (3.6) Рис. 146.
В самом деле, вычисляя поток скорости через поверхность 5. имеем: где и — орт нормали, направленной во внешнюю сторону поверх- ности 5, т. е. от оси Ог. Замечая, что и т[5=РИТ[х; Н,~75= — рг(8ЫР, так как знак и, противоположен знаку с[Р, имеем: П= / ~78 / (пер "Я О*Р~7Р)= Я ~ (~ с[а+ ~ ~7Р) = о ЛР АР = 2Я[ф(Р, г) — ф(рш ге)[. Вводя в рассмотрение функцию тока ф, мы можем еще не предполагать течение потенциальным. Вычислим составляющие вихря скорости прп наличии функции тока в рзссматриваемом осесим Функция ф (введенная в рассмотрение Стоксом) называется функцией шока.
На каждой линии тока эта функция сохраняет постоянное значение и, следовательно, будет оставаться постоянной на поверхности, получаемой вращением данной линии тока вокруг осн симметрии. Если на одной из таких поверхностей ф = сз мы г фиксируем любую точку А(рз, е) (рис. 146), а на другой поверхности ф = с возьмем некоторую точку Р(Р. Я) и проведем поверхность 5 произвольного вида, опирающуюся на коаксиальные окружности Г и Г, лежащие на упомянутых поверхностях и проходящие через точки А и Р, то объем П жалкости, протекшей через поверхность 5 за единицу времени, выразится разностью значений функции тока, умноженной Р на 2я: 388 пространственная злдлчь о движгнии трлл )гл чн метркчном течении. Для этого достаточно общее выражение вихря в криволинейных координатах: 1 Г д (Нзоз) д (Наее) ') го1 о= — ) ' ' ' — — ' — ')е)+ НеНз ( дд2 дрз выведенное нами в первой главе, применить к цилиндрическим координатам.
Полагая )7) =р, ))з=)), г)з=г, так что Н,=1, Н,=р, 1 ду 1 дф Нз 1' а с! т), д ' т)2 т)) О' тз полтчаем: Таким образом вихрь скорости в осесимметричном течении направлен по касательной к окружности, служащей поперечным сечепием поверхности ф= — сопя). в данной точке. Если течение безвихревое, то функция тока должна удовлетворять уравнению д" ф д'ф 1 дф + — — — = — О. де' др' р др (3.7) 11отенциал мге скоростей р должен удовлетворять уравнению Лапласа, которое для осесимметричного течения в цилиндрических координатах примет вид д'т дерр 1 др — --+ —,+ — — = О.
дет др' р др (3.8) Вследствие соотношений (3.4) между потенциалом 3) и фуисцией тока ф будут иметь место зависимости др 1 дф др 1 дф др р дл' дл р др ' (3. 9) Этн зависимости позволяют определить функцию тока, если потенциал скорости известен, по формуле 1), 2) у(р, г) = р(ре, ле)+ у р — — г(г — ~р — )(р, (3.10) )р.„» ) Так, например, для однородного поступательного течения, по- стоянная скорость которого т) направлена по осн Ол, мы имеем, очевидно, ~ = Ю т.
е. (го1 я))„= О, (го1 т)), = — О, р (го1 и), = —,-+ — ', — —. (3,8) Выбирая ось Ог аа линию тока ф= 0, получаем по формуле (3.10): ф= — — рзо . 1 2 ' (3.! 1) Для источника обильности (), помещенного на осн О» в начале координат, согласно формуле (11.8) главы пятой имеем: ! д 1 4 4я г 4а )' рз+аз Линиями тока здесь служат лучи, исходя(цпе из начала координат. Выбирая ось Оз за линию тока ф=0, находим: (р, г) (р, г) ! р д7 — радр 4 ) ) дя е(р да+еле) 1 4 ° ) (ггр'+ е')з 4 ~ 'ь )'р'+ еи (Р'р'+ а')' (о, л,) .
(О,!и (ь я) 4я ) ()'р'-)-~') 4г ~ )Гр)-(-а') (3.1 2) Если течение создается несколькими источникамн или стоками, то вследствие линейности уравнений (3.7) и (3.8) будет иметь место принцип наложения полей. Так, для течения, созданного источником и стоком одинаковой обильностн (), помещенными на оси Ог в точках а= — а и г'=+а, имеем: (3.1 3) 4а ( г, г, / 4г. \ )'(а — а)' + рз )г(е + а)' + р' ) ф = — 4- ( — — ~ = ~ (соз Т) — соз (я), (3.14) 4а '()Г(е -(- а)'-+ р' )' (г — а)з+ р) / 4г (де () н Тз — Углы, обРавованные с осью Ог РадиУсами-векторами г, и г. Отсюда при переходе к пределу при а — ь0, считая, что произведение (р ° 2а стремится к конечному пределу М, получаем для течения, созданного дублетом, момент которого М направлен в отрицательную сторону оси Оз: 3! М д '1' 4ч ()' р) + е))з 4я да ~ г ~ где г = )),.з+г'-.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
