Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Направим оси, как показано на рис. 129, и будем считать жидкость бесконечно глубокой. Кзк и в первом примере, возьмем верхнюю полуплоскость вспомогательного переменного 1 и отобразим на нее области изменения ') Эта часть параграфа подготовлена М. И. Гуревичем. ') Подсчеты показывают (см. ниже), что действие воды иа пластинку сосредоточивается почти исключительно йз отрезке АЕ. метОд жуковсКОГΠ— мнт~!еля ь 13! функций тв и л,=!и и., где !'= (о ~.
Соответствие точек видно на рис. 130. Положим вдаль ОАВЕС ф= 0; тогда вдоль СЕВ будет ф=(г3, где 3 — толщина струйки на бесконечности. Область изменения тв изображена на рис. 131. разветвленной линии тока ВС и ВАВ соответствует на рис. 131 разрез вдоль действительной оси. Отображающую Рис. 130 функцию тв(Г) можно получить Ф при помощи формулы, аналогичной (1 8.2). Именно точке О (рис.
131) соответствует нз С рис. 130 точка !з = ж, Точки В В Ф д и С отображаются в точки Ркс. 131. !1 =Ь и Ц= 1 соответственно. Внутренние углы в зтих точках будут равны а,=2п, аз=0, откуда та= А (1 — Ь)(1 — !) И = А(1 — Ь)+ А(1 — Ь)1п —. (18.14) 1+а ' от линии тока ВЕС к линии токз ЙС ф полуто из (18,14) следует, !в 1 'у'з 1 п(1 — Ь) ' т Так как прн переходе чает приращение (г3, что 'С сама функ- Ю ® ПО Г1 !г Впоследствии нам понадобится не ция я, а только ее производная Лю 'у'З г' — Ь ЛГ г.(1-Ь) 1-1 ' (18,15) Рнс. 132. Область изменения с =т+ !В изображена на рис. !32. Ее легко построить, если проследить за изменением л вдоль граничных линий тока. Для нахождения Е(1) мы должны в соответствии с рис. 130 и 132 положить, в согласии с (18.1): !Гл.
ч! ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА Чтобы при переходе от АВ к ВС скачок л равнялся пд надо счи- тать множитель А= — ! 'у' 1 — Ь2. Тогда мы будем иметь: Л= — у'! — Ь2 ! ! +~( )( ) 18!6 =- '-" У~ 2( .)-" г — б откуда у * 1 — '-~-3"Π— ТЧЗ вЂ” 'Ч (18. 17) Выразим теперь Ь через угол атаки 8. Так как в бесконечности И вЂ” =е-Ы'-З1, то и'з и'гв е — гм — з! — Ь ! ~/~ Ьз (при Ь 1 'у'1 — !2= — — ! у 7~ — 1, в чем нетрудно убедиться, следя эа аргументом вектора ! — ! при обходе точки ! = 1), откуда Ь = совр.
Из (18.15) и (18.17) получаем: па З 1 — Гспз Ь+ап Зуг! — Гз лг .(! — . а) 1 — г (18.18) или, интегрируя от ! = — — 1 до Ь, получим: г=, !Соз!2(1+!) — (1 — совр)!п + 3 г 1 — с + з!п р ~ — + агсгйп ! — 'у' 1 — Р)1. (18.19) Для нахождения «длины пластинки» ! нам нужно, очевидно, вычислить действнтельную часть г в точке В (рис. 130).
Значение ! в точке Р находим из того условия, что в этой точке скорость должна быть перпендикулярна к пластинке, т. е. г!афти должна быть мнимой величиной. Но из (18.17) следует тогда, что (!)„= 1/Совр. Подставляя (!)л в (18.19), находим: З ! 1+спер + Мпр +! 2созп «(! — созЯ ' 1 — созр 1 — соьр1' так как 1 я 1 згсз!п — = — ' — ! аг с!2 —. соз Ь 2 спз а Формула (18.20) дает зависимость 8 от ! и р. Сопротивление и под.ьемную силу пластинки легче всего найти, используя закон количества движения. Проведем в качестве контрольных поверхностей две «вертикальные» плоскости, расположенные одна далеко слева, 341 4 1З! МЕТОД ЖУКОВСКОГΠ— МНТЧВЛЯ другая далеко справа, и еще плоскость, перпендикулярную к пластинке и пересекающую струйку.
Разность между количеством движения, входящим за время гг! через левую плоскость, и количеством движения, выходящим за тот же промежуток времени через правую плоскость, будет, очевидно, рУ ЗЪ'Н. К этому надо прибавить приращение количества движения за счет течения в струйке. Проекция на горизонталь этой величины будет: 911 Ы'о!совр. Если Р†давление на пластинку, то горизонтальная проекция импульса сил за время 1гг будет Р з(п р Ф. Итак, сопротивление будет: Р з)п р = рЛЗ (1 + соз р). (! 8,21) Умножая это выражение на с!дР, получим под.ьемную силу: Р сов !1 = рЪ ~3 с!я 2 соз р.
(18.22) Очевидно, что момент гидродинамической силы относительно задней кромки пластинки будет: (18,23) где р — давление на пластинку, определяемое при помощи интеграла Бернулли. Интеграл, входящий в (!8.23), не столь элементарен, как остальные интегралы настоящего параграфа. Однако и он может быть вычислен точно '). Приведем только конечный результат: + 2(1 — соя ~) 1п 2~. (18.24) На рис. 133 приведены картины распределения давления по пластинке, полученные при помощи интеграла Бернулли и формул (18,17) и (!8,19)з).
Всюду подобрано одно и то же! (см, рис. 1ЗЗ, где р = 30'). Зги распределения давлений удовлетворительно согласуются с опытами. При малых углах атаки (р -ь О), пренебрегая в квадратных скобках правой части (18.20) членами, малыми по сравнению с 1/ря, получим: 4З (!8.25) ') Калин н н Н., О моменте давления, действующего на глиссипгющую пластинку, Ученые записки СГУ, г. 1 (Х1Ч), серия ФМИ, вып. 1, Ю33. ') йг зяпег Н., ОЬег Згозз- ппд О!е!гтогяа1пяе ап бег ОЬег!!асье гоп г!Взз1диепеп, ЗАММ, Н. 4, 1932. ПлОскАЛ ЗАдАчА О движении телА ргл.
тч Если ! конечно, то 3 является малой величиной второго порядка. Из (18,25), (18.21) и (!8.22) следует, что сопротивление Р з)п ~ — тфз, рУЧ 2 а подъемная сила Р соз 8 — п8. рузЕ 2 Момент относительно задней кромки будет равняться прн этом Зг Л1 — р — 1пр — . 2 ' 4 ' Формулы зти показывают, что при малых углах атаки подъемная сила глиссирующей пластинки равна половине подъемной силы Рнс. 1ЗЗ.
плоского крыла и что точка приложения подьемной силы у глиссирующей пластинки помещается, как и у крыла, на расстоянии з),1 от задней кромки 1см. формулу (15.12) и З 11). В нашей задаче мы предполагали жидкость бесконечной, Задача о глвсснровании с учетом дна решается при помощи эллиптических 343 метод леви.~!ивитл 4 ю! функций '). Наконец, мо>кно учесть и влияние силы тяжести. Эта задача была решена Л.
И. Седовым з), м 19. Метод Леви-Чивита. Леви-Чивита принадлежит математи- ческая постановка задачи для случая обтекания со срывом струй криволинейного контура без- У граничным во всех направле- ® пнях потоком. Допустим, что криволинейный контур ~~~~~ус Ф' У имеет угловую точку А (рис. 134), являющуюся точ- >7 77 кой разветвления линии тока ф = 0 и критической точкой течения, в которой скорость ф ~~~~~з ф обращается в пуль; В, и В, — точки схода с контура свободных струй )ч и )е, Рнс. 134. между каторымн расположена простирающаяся в бесконечность зона застоя П.
Для упроще- ния вычислений распорядимся выбором единиц так, чтобы скорость потока в бесконечности имела величину , 'и ) = 1, и, взяв точку А за начало координат, направим ось Ах параллельно вектору о, пред- полагая при етом, что зта ось не выходит из границ области 77. Тогда, как было показано в б ! 7, будет существовать взаимно однозначное соответствие между точкаъ>и области течения ! в пло- скости г и всеми точками плоскости комплексного потенциала вж разрезанной вдоль положительной части вещественной оси (рпс, 135). Рнс. 135. Рнс. 136. Отобразим разрезанную плоскость а на верхнюю полуплоскость вспомогательной переменной ! (Рис.
136) при помощи преобразования п>=та, (1 9.1) ') Гуревич М. И. н ЯмпольскийА, Р., О движении глнсснруюпшй пластинки, Техника воздушного флота, )й 10, 1933. Ч а ил ы гни Ю. С., 1 лксснрованне плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности невесомой жидкости конечной глубины, ПММ, т.
Н, вып. 11, 1941. ') Седов Л, И., Плоская задача о глиссированнн на поверхности тяжелой жидкости. Труды конференции по теории волнового сопротивления, >>зз, ЦАГИ, 1937. Числовые расчеты см, Чаплыгин Ю. С., Труды ЦАГИ, 508, 1940. 344 ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА О ДВИЖЕНИИ ТЕЛА [Гл. ш сохраняющего соответствие точек ш=о=г, ш=ОО=!. Подвергнем, далее, полуплоскость ! преобразованию подобия и параллельного переноса так, чтобы отрезок вещественной осн ВЗВ, плоскости [ длиною [т а, + )/ аз, соответствующий участку кон~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Г~~~~~~' Лг Л Л й Л„ ственной оси в плоскости второй вспомогательной переменной В между точками Рнс. 137.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
