Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 62
Текст из файла (страница 62)
16) 400 пгост!ынствщзнля злдлчл о движвзии телл !гл ч!! В втой системе осей формулы (9.20) примут вид К, =а!У„; Кт =азУК; К, =а!У,, !9.23) а уравнения (9.19) будут: Р У ° — ра,У» =.-О; У, — разУт =О; У, — разУ, =О. (9.24) В общем случае, когда а,', а' и а' все отличны друг от друга, возможны три значения для р: 1~= —. Рз= 1 1 1 (9.25) "! "3 'за которым соответствуют три поступательных движения в направлении главных осей поверхности (9.21). Итак, для твердого тела существуют, вообще говоря, только три взаимно перпендикулярных направления, по которым оно может совершать поступательное инерционное движение.
ГЛАВА ВОСЬМАЯ ВОЛНОВЫЕ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ А. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ ВОЛН В 1. Различные типы волн. В настоящей главе мы будем рзссматривать волновые движения идеальной жидкости. Волновые движения характеризуются колебательным движением отдельных частиц жидкости. Яркими случаями волновых движений, наблюдаемых в природе, являются, например, морские приливы и отливы, морские волны, сейшн в озерах и т. п. У>не приведенные примеры указывают на большое разнообразие волновых движений жидкости. Волны могут быть высокими илн низкими, длинными или короткими; они могут быть стоячимн или могут перемещаться, при этом при перемещении они могут сохранять свою форму нли изменять ее; волна может быть одинокой или может бьыь целый ряд волн, следующих одна за другой, и т.
д. Причины, обусловливающие волновые движения жидкости, также могут быть разного типа. Укажем главнейшие нз таких причин. Гравитационные волны происходят под действием силы тяжести; например, если какнм-либо образом поверхность жилкости будет выведена из горизонтального положения, то сила тяжести будет стремиться вернуть эту поверхность в ее равновесное положение и заставит кз>кдую частицу. колебаться. Мелкие волны, тзк нааываемая рябь, происходят под действием капиллярных сил поверхностного натяжения жидкости. Приливные волны провсходят под действием притяжения жидкости к Солнцу и Луне. На волновые движения оказывают влияние также силы трения как внутренние, так и внешние Далее, волны могут образовываться вследствие движения твердого тела в жидкости; таким образом, например, возникают корабельные волны.
Наконец, в сжимаемых жидкостях, например в воздухе, >'огут иметь место упругие волны, состоящие в попеременном расширении и сжатии каждой частицы жидкости. Главное отличие упруво>н о> предылущнх типов волн состоит в том, что упругие воши,> и»е>г>т место во всей массе жидкости, в то время как все "рщпщунп>е >ппы волн развиваются, главным образом, на поверхнос»' жидкости и лишь отс>ода передшотся внутрь жидкости, 2б з.», >шс 402 волновые движения идеальном жидкости [гл, чпг Мы рассмотрим сначала гравитационные волны, потом приливные, а также остановимся еще на вопросе о волновом сопротивлении.
Хотя в последнее время некоторые волновые движения были изучены вполне строго и полностью, мы булем ограничиваться по большей части приближенными и потому более простыми решениями. ф 2. Основные уравнения. Рассмотрим теперь происходящие под действием сил тяжести волновые движения олнородной несжимаемой идеальной жидкости, огранвченной снизу и с боков некоторыми неподвижными поверхностями (например, дном озера и т. п.), а сверху свободной поверхностью, на которой и образуются видимые глазом волны.
Волновые движения происходят тогла, когда в начальный момент времени имеет место некоторое возмущение жидкости, т. е, некоторое отклонение состояния жилкости от состояния равновесия. При равновесии жидкости скорости всех ее частиц равны нулю, а свободная поверхность жидкости горизонтальна. Поэтому первоначальное возмущение жилкости может слагаться из лвух частей: 1) из возмущения свободной поверхности жидкости и 2) из наличия отличных от нуля скоростей различных частиц жидкости. Мы будем предполагать, что первоначальное возмущение жидкости обусловливается причинами, действующими исключительно на своболную поверхность жидкости. Если, например, мелленным погружением части твердого тела мы деформируем своболную поверхность жидкости, а потом сразу извлечем тело, то получим таким образом возмущение своболиой поверхности жидкости, причем начальные скорости всех частиц будут, конечно, равны нулю. Чтобы получить при горизонтальной свободной поверхности начальные скорости частиц жилкостн, предположим, что на поверхности жидкости, кроме обычного нормального давления, всюлу одинакового, лействовали еще добавочные давления.
Такие добавочные давления могут возникнуть, например, на поверхности воды при внезапном порыве ветра. Мы будем считать, что зти добавочные давления действовали весьма малый промежуток времени т. Интегрируя уравнения движения Эйлера (5.1) главы 1! за згот промежуток времени -. и принимая во внимание, что в начале промежутка ; было о„ = ту = о, = О, мы получим из первого уравнения Эйлера: с о +~ (и — + и — '+о — ")др = ) Хгй — — — ) рдр. дох двх дпх а /' 1 д /' х дх У ду 4 дл) ) р дх,/ о о (2.1) Если считать промежуток времени -. очень малым, но интеграл от лавления по этому промежутку времени (этот интеграл называется импульсом давления за промежуток времени т) конечным, то остальными двул1я интегралами можно пренебречь, так как онп будут 4оз ОС1ЮВНЫ11 УРАВНЕНИЯ порядка -.
Обозначим еще, как в й 7 главы 1Н, где было подробно рассмотрено действие мгновенных сил на жидкость, через и импульс мгновенных давлений: п=~рд1; е !2 2) дх(Р)' оу= д,( — )' е'г= — д ( — ) 125) Итак, движение, возникакпцее вследствие действия на свободной поверхности жидкости импульсивных давлений, имеет потенциал скорости, п, следовательно, вихри в таком движении отсутствуют. Отметим, что в формуле 12.3) функция к зависит от всех трех координат х, у, г, в то время как нз вышесказанного следует, что считать заданной ее можно только на поверхности жидкости. О том, как найти функцию и во всякой точке жидкости, будет сказано в й 21. Как указывалось в $ 7 главы 1Н, какое бы безвихревое движение мы ни имели: о.= — — '-; о .= — '; о = — ' о —..Етаде, его .колено счищать возникшим под действием мгновенных сил давлений, имеющих импульс Р!Ро.
12.4) Так как жидкость идеальна и несжимаема, а сила тяжести имеет потенциал, то происходящее движение, будучи безвихревым в начальный момент времени, будет по теореме Лагранжа безвихревым все время. Потенциал скорости обозначим через !Р, так что дт Ф к — дх' ду и У ду о,= д ' о=йтад9. дт к дк' !'2. 5) уравнение неразрывности дек деу дек д1! о= — + — + — =О дх ду дк дает для определения функции Р уравнение Лапласа д'т д'у дат бу= — + —,-+ —, =О. дх! ду' дк! тогда мы получим, что проекции скорости, вызываемой импул сом давления, действующим на свободную поверхность жидкости, определяются формуламн 404 ВОлнОВые дВижения идвлльно!! жидкости !Тл шн Основные уравнения гидродинамики для безвихревого двнжюшя упрошаются, как мы знаем из $ 2 главы 17, и принимают внд Р дт 1,г 1+р(т) р дт 2 (2 у) где Ъ' обозвачает потенциал внешних сил.
Если ось О= направить вертикально вверх, то потенциал сил!я тя кесп!, денствуюгцей яа единицу массы, определяется формулой ибо д(т — = — К. дл (2.8) д!г — — =О; дх — = — О; д!7 ду Мы будем предполагать происходянтее лвижение настолько медленным, чтобы в формуле (2.7) можно было пренебречь членом ! --О- и, следовательно, иапнсатгп — = — — — да+ Р (1).
р дт дт (2.9) Добавочную функцию тг(1) можно пе писать, ибо вместо е можно ввести функцию чгг=чг — ) т-(т)дт, для которой +' = — — 1-'(1). д! дг Значок 1 у функции е! в дальнейшем для простота! мы отбросим н напишем таким образом: (2.! О) дв — = О. дп (2. 11) Свободную поверхность в положении равновесия мы примем за плоскость Оху, поместив начало коорлинат в некоторой точке этой поверхности. На свободной поверхности жидкости давление р имеет формулы (2.5), (2,6) и (2.10), где о является решением уравнения (2.6).
н служат для решения задачи. Однако уравнение Лапласа имеет много решений, и чтобы выбрать из них то единственное, которое нам нужно, надо обратиться к граничным н начальныл! условиям. Граница жидкости состоит из неподвижной поверхности (дна) и свободной поверхности. Вблизи неподвижной поверхности жидкость течет параллельно тако!! поверхности, следовательно, па неподвижной поверхности нормальная составляющая скорости жидкости О„ равна нулю, Вли так как о„ = де,'дп, то на неподвижной поверхности ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ а е1 постоянную величину Р,, равную давлению газа над >кпдкостыо (атмосферное давление воздуха), так как давление должно меняться непрерывно при переходе из газа в жидкость.
Поэтому на свободной поверхности Ро дт дт Для простоты мы включим Р/о в ду/д/, введя вместо функции»р функцию „-а=у+ — !, для которой — -= — — —. Значок 2 Ро дт дто ра дт дт у функции ут мы опять отбросим, и таким образом уравнение (2.10) напишем окончательно в влае Р Ро дт дг = — — — Д'3. (2.12) Пусть уравнение свободной поверхности к моменту времени имеет впд г=((х, у, /), (2.1 3) логда из уравнения (2.12) и того условия, что на свободной поверхности Р =- Ро, заключаем, что пРи г = ч(х, У, /) выполнЯетсЯ Условие (2.1 4) ду(ху оф (2.15) илп 1 ду (х, у, О, г) дг (2.1 6) Проднфференцируем уравнение (2.!6) по й д» 1 дот (х, у, О, т) (2.!7! дг д дго Но легко видеть, что д /дг мало отличается от оо, В самом деле, возьллем какую-нибудь частицу свободной поверхности с коордипатамп х, у, х =" (х, у, Г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
