Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Проекции скорости этой частицы на оси координат будут: дл д, д". дх д + — — + --,— ° дт дт дх дл ду дт' дх ох= дг ' о ду У дт Но так как колебания жидкости предполагаются бесконечно малыми, то в уравнении (2.10) можно брать значение до/д/ прн г =-0 (Вместо г =- '.) и, следовательно, писать; 406 волновыг: движения идвлльнои жидкости 1гл.егы Последняя формула следует из того, что Жя(Ж обозначает производную по времени 1 от сложной функции г.(х, у, 1), в которой х и у тоже изменяются с течением времени (ибо частица, принадлежащая свободной поверхности, перемещается не только в вертикальном, но и в горизонтальном направлении).
Итак: д; д". дс дг+дх х+ду У' но двумя последними членами можно пренебречь, если считать, что дч1дх и дч(ду очень малы, т. е. что касательная плоскость к свободной поверхности мало отличается от горизонтальной плоскости. Итак, на свободной поверхности имеем приближенное равенство (2.1 8) 1 дат дз лдР (2.19) при а=О. Соберем теперь все полученные результаты. Безвихревые волновые движения идеальной несжимаемой жидкости, происходящие под действием силы тяжести. определяются по формулам: о =игаде, — = — — — Юг+в р дт ро дт где функция р является решением уравнения Лапласа дз,р да~ дзт "— дхе+ду +д" =' удовлетворяющим на неподвижных границах условию дт О а на свободной поверхности условию дт 1 деу д» Х дГг при а=О. и опять, как выше, можем считать это равенство выполненным прн я=О (вместо г=ч).
Вспоминая еще, что о,=дауда, можем оконча- тельно написать вместо (2.17) 407 НАЧАЛЬНЪ|В УСЛОВИЯ 5 3. Начальные условия. Кроме того, р должно удовлетворять еще начальным условиям. Эти условия легко получить, если вспомнить то, что выше было сказано о первоначальном возмущении жидкости. Пусть первоначальное возмущение свободной поверхности представляется функцней й(х, у), тогда имеем: ч(х, у, О) = й(х, у), и, следовательно, из уравнения (2.16) найдем: — т = у'(х, у) дт при 1=Она=О, где положено .г" (х, у) = — дй(х, у) = — д(.(х, у, О).
(3,1) Начальные скорости частиц мы будем считать образовавшимися вследствие действия импульсивных давлений на свободной поверхности (всякое безвихревое движение жидкости можно мысленно считать образовав|нимся таким образом). Если этот импульс давления обоаиачить через я(х, у, в), то начальный поте|щиал скорости будет по уравнению (2 4) равен 1 9о = Р Мы можем считать первоначальный импульс давлений известным только иа свободной поверхности, или, что то же (вследствие бесконечной малости рассматриваемых движений), при г = О.
Обозначим: |р (х, у, 0) = — — я(х, у, 0) =те(х, у). 1 Тогда начальные условия, которым подчинена функция р (х, у, г, 1), будут состоять в задании при г = 0 и г = О функций в и дфдС: прн а=О 1=0, ср = гт(х, у); — = у(х, у) др (6.2) при а=О, 1=0. Эти добавочные условия вполне определяют движение. В самом деле, не может быть двух различных функций ч|, и рт, удовлетворяющих всем уравнениям (2.6), (2.11), (2.19), (З.2), так как тогда функция у = р,— е, удовлетворяла бы всем этим уравнениям, причем начальные условия для р были бы |Р=О, дг — О ВОлнОВые дВижения идеАльнОЙ жидкости !ГЛ.
ВИ! Эги начальные условия указывают на полное отсутсгвие первоначального возмущения, так что жидкость в начальный момент неподвижна и ее свободная поверхность горизонтальна, но тогда, конечно, никакого лвижения и не произойдет, так что Все время булет Ф.=О и, значит, !!!! =!ум т. е. Двух различных функций я! и уя быть не может. Очень часто вместо того чтобы рассматривать, какое движение произойдет при заданных начальных условиях, стараются найти движения, периодически повторяющиеся. Для этого предполагают, что функция у имеет следующий вид; 1!(х, у, г, 1) =сов(аг+з)Ф(х, у, г). (3.3) Из формул (2.5) и (2.12) видно, что тогда скорость в кажлой точке будет меняться периодически, так же как и давление, причем колебания скорости и лавления (вернее переменной части давления) будут гармоническими.
В дальнейшем на отдельных примерах мы увидим, что часто уравнения (2.6), (2.11), (2.!9), которым полина удовлетворять функция !~, опрелеляют не только функцию Ф(х, у, л), но я число Это означает, что гармонические колебания жидкости могут быть только определенного периода (подобно тол!у, как струна может издавать чистый звук только определенного тона или его октаву и т. Л.). Эти колебания называются свободными гармоническими колебаниями жилкостн. Найдем, из каких уравнений должна определяться функция Ф (х, у, л).
Прежде всего из (2.6) найдем, что Ф (х, у, г) удовлетворяет уравнению Лапласа Далее, иа (2,11) следует, что на неподвижных границах Ф (х, у, л) удовлетворяет условию дФ д— — — О. д' соя ( ! + ) Наконец, из (2.19) вследствие того, что ', = — ча соз (а1+ е), дга следует, что дФ ь! — = — Ф да л при я=О.
Отметим еще, что решение второй задачи. т. е. отыскание свободных гармонических колебаний жидкости. может помочь решить и первую задачу, т, е. отыскать движение жидкости по начальным условиям, как это будет показано далее на примерах. Поэтому мы по большей части и будем сначала отыскивать свободные гарь!Онические колебания. СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ Б, ПЛОСКИЕ ВОЛНЫ ф 4. Введение. Рассмотрим сначала случай, когла движение каждой частицы жидкости происходит параллельно плоскости Охз, причем скорость о и давление р совершенно не зависят от координаты у, т.
е. лвижение во всех плоскостях, параллельных плоскости Оха, соверше«шо одинаково, Мь«будем такие движения называть плоскими и соответственно этому будем говорить о плоской задаче. В этом случае неподвижные границы мы будем предполагать цилиндрическими поверхностями, образующими которых служат прямь«е, параллельные оси Оу. Кроме того, можно ограничить жидкость еше двумя вертикальными стенками, параллельными плоскости Охи, так что образуется род канала, движение в котором мы и будем рассматривать.
В этом случае уравнения упрошаются, а именно, если положить р(х, х, г) =сов(чт+е)Ф(х„х), то лля определения Ф(х, х) получаются уравнения (4.1) даФ д«Ф д— «-4 д — „=О, (4.2) на неподвижных границах дФ д— — — О, (4.3) при я=О дФ аг да — = — Ф. (4.4) (5.1) Ф (х, х) = Р (з) з)п «г (х — 1), гле «г и 1 означают две постоянные величины. В самом деле, так как д'Ф даФ вЂ”, =-Р (а) эапц (х — 1), —, = — Р(х)))~з)пй(х — 6), то из уравнения (4,2) получаем: Р" (х) — йзР(х) = О; (5.2) ф 5. Стоячие волны. Рассмотрим сначала самый простой случай: когда никаких границ нет (кроме вертикальных стенок, параллельных плоскости Оха, которые все равно никакой роли не играют), так что жилкость прост««рается как в обе стороны, так и вниз до бесконечности (практически это отвечает случаю очень большой глубины в сравнении с длиной волны).
В этом случае легко найти рял частных решений системы урав««ений (4.2) и (4.4) слелуюшего вида: 410 ВОЛНОВЫГ ДВИЖЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГ! ЖИДКОСтн 1ГЛ. ЧИ! решая это однородное линейное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, получим, что Р(г)=С!еа'+-Сяе "*. (5.3) Произвольную постоянную Ся нужно считать равной нулю, так как в противном случае нри очень больших по абсолютной величине г, т. е. на большой глубине, член Сзе А' был бы весьма большим (у нас ось Ог направлена вертикальйо вверх, так что нам при.
ходится рассматривать только отрицательные значения г), но тогда— как (ь так и производные а по координатам, т. е. составляющие скорости, возрастали бы до бесконечности при г-ь — сО, чего мы допустить не можем, Итак: Р(г) = Се~', (5 4) и значит Ф(х, г)=Се"'з(пл(х — 6), (5.5) !7 (х, г, 1) = Сев' зш Л (х — с) соз (аг + з). (5.6) Посмотрим теперь, что «ает уравнение (4.4). Имеем: дй (дФ1 д" — =Сне 'з1пй(х — (), ( — 1 =Сиз!пй(х — 1), Аде!е=е Ф(х, 0)=Сз!пй(х — $), следовательно, из уравнения (4А): аз = йд. (5,7) Итак, задаваясь произвольным Й, вычислим по формуле (5.7) а; тогда формула (5.6), где С есть произвольная постоянная, опреде- ляет потенциал скорости некоторого плоского волнового движения безграничной жидкости. Отметим сейчас же, что вследствие линей- ности системы основных уравнений (4.2), (4.3) и (4А) сумма любого числа решений этой системы также будет решением системы.
Мы многократно используем это замечание в дальнейшем. А именно, мы исследуем сначала движение, определяемое формулой (5.6), а после этого будем изучать движения, определяемые потенциалом скорости р, являющимся суммой двух или большего числа выражений аида (5.6), Итак, рассмотрим движение с потенциалом скорости 1!(х, г, 1)=Се~'з(пл(х — с)сов(аг+з), Мы будем считать для простоты 6=0 и в=0, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
