Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 64
Текст из файла (страница 64)
будем рассма- тривать движение с потенциалом скорости а(х, г, г)=Се~*а(плхсоза1. (5.8) Найдем прежде всего вид свободной поверхности, Для этого нужно воспользоваться формулой (2.16) 1 дт(х, О, !) дг 411 стоячие волны которая лает: .= — з!плх з!па1, Са А' Обозначим лля простоты Са — =а; й (5.9) зогла будем иметь: 'т" (х, х, г) =- — ею з!п йх соз Ф, (. = а 51п а! 5!п лх. (5,1 0) ь = А 5!п Йх. Эта синусоила пересекает ось Ох в точках с координатами х= — (т= — О, -1, +2, ...). л Эти точки называются узлами. Посредине между лвумя сосегничи узлами лежат пучности волны; последним отвечают попеременно зребни волн (В', В", ...) и подошвы (С', ...). Расстояние между дв>мя соседними узлами равно, очевидно, я/й, расстояние же между двумя соселними гребнями будет в два раза больше; обозначим его через Л: 2я Л= — ' л й Х и назовем длиной волны.
Итак: 2я й= —. Л Рнс. 156. Расстояние от гребня волны до оси Ох равно численному значению А, т. е. равно !аз!пЫ~ и колеблется между 0 в (а(. Мы "азовем ~а ~ амплитудой волны. Профиль волны представляет синусоиду, высота которой меняется по гармоническому закону А=аяпай В определенный момент времени сечение поверхности жидкости плоскостью, параллельной плоскости Охг, представляет, таким образом, синусоилу (рис. 156). Обозначим на время а з!п а( = А, тогда уравнение синусоиды примет вид 412 волновыс дВижения иделльнои ж!идкостн !Гл ч!!! Таким образом, профиль волны колеблется между двумя крайними положениями 1 и И (рис.
156). Период этого колебания, очевидно, будет -.—.= 2п/о; мы назовем -. периодом волны. Обратное число 1(т представляет число колебаний в единицу времени; его мы назовем частотой колебаний, очевидно, 1 а 2х ' абежьу длиной волны ), и периодом " существует тесная связь, выражаемая формулой (5.7), которая может быть перепнсана следующим образом: Г2еа . дч! 2п (5. 11) Перейдем теперь к рассмотрению скоростей и траекторий различпык частиц жидкости. Определим прежде всего проекции скорости по форму.там и =- — —.— - — е совйхсоье(; сье абай дх ч или, так как уй= — ез, ох =- аоел' сов кх сов ец о, = аое ' в!п Ах сов ог. (5.!2) Напишем дифференциальное уравнение линий тока: дх йе йх Иг — — ИЛИ тц сов х» в!а хх Здесь переменные рааделяются: вьз ахах — = гга, соз лх и уравнение легко интегрируется 1п ! сов йх ~ + йг = С. (5.13) дф йт = — иееюз1п Ах сово(; — = — '~-= авеле сов йх сов а(; йх йх дф значит, г1ф = — 'ах д-', дх д' + — Ид = аз сов М ( — е"*в1п йл Их+ е»' сов Ал г(а~ = дх г((есасовйх); Тот же результат легко получить путем отыскания функции тока О; как мы знаем, 413 СТОЯЧИЕ ВОЛНЫ о 5! поэтому е соь йх, аа соз ае (5.
14) и уравнение какой-лпбо линия тока есть й ее» сов йх.= С1 илп е~»сов йх =- С", (5.15) что равносильно (5.13). Как видно из уравнения (5.13), семейство линий тока получается пз определенной линии тока перемещением ее параллельно оси Ол на пронзволы1ую вели щну. Внд 1 этих кривых указан на рис. 1О7.
1 1 Так ьак этн линии тона ие 1 х1еияются с течением времени, то они служат н траекториями частиц 1кидкости. Однако частицы жид- д 1Т 1Д Зл ей Гл 1и Г 11 кости совершают по этим траекториям колебательные движения, причем путь, проходимый каждой частицей в одну сторону, на- ! столько мал, что его мои<но счи!ать прямолинейным путем. Покажом это, исходя непосредственно из уравнений (5.12]. В самом Рнс. 157. деле, вследствие предположения о том, что котебания весьма малы (что сводится к предположению, Оо амплитуда а весьма мала в сравнении с длиной волны )), мы ма>кем в формулах (5.12) заменить в правых частях х и г га те :щачения х и зо, ко~орые частица имела в равновесном своем поло- о женин. Тогда, вспоминая, что 1гх а'е — о ».,11»,ГГ мы найдем: — — -аае~ сов йхо соза7; — — =.— ааег» яп йхо сов ой ЛТ' »» ...«Е е» Эгн уравнения легко интегрир)ются и лают: х.== аееы соь йхоып а7+ с; г = аее-' ян йх„з!п а(+ со Зтп уравнения представляют колебания часы!цы около ее среди 1о положенил, кооРдннаты котоРо1о (ги св).
ПРинимаа, что это ср»днес положение совпадает как раз с равновесным положением часты1цы. получим окончательно для координат частицы в момент т! х= хо+пеев совйхов1пе(, в=го+пел» я)п йхоз1пой (5.16) 414 эолновыг. движения идвлльноп жидкости Шл шц Траекторией частицы служит прямая г — ге = (х — хе) !(( (вехе), наклоненная к осп Ох под углом лх„. Таким образом, в пучностях колебания частиц происходят в вертикальном направлении, в узлах— в горизонтальном (рнс. 158). При этом амплитуда колебаний равна аееп и, следовательно, тем меньше, чем глубже раса положепз рассматриваемая частица. Надо отметить, что уменьшение амплитуды колебаний про- о исходит весьма быстро.
На глубине, равной длине Рис. 158. волны (ге = — 2п/л), амплитуда будет ае-э", т. е. уменьшится в е" 535 раз по сравнению с амплитудой коле- баний поверхностных частиц. Это показывает, что явление волн в тех случаях, когда глубина велика в сравнении с длиной волны, носит ярко выраженный поверхностный характер, На этом мы кончаем исследование стоячих волн и переходим к изучению прогрессивных волн.
ф 6. Прогрессивные волны. Наряду с (5.8) рассмотрим движе- ние, определяемое потенциалом скорости: о = Се э1п 1е ~х — —" /соз!те!+ — ' / 2Л/ 'т ' 2! или э = Се "~ соэ (ех я!п е!. (6.1) ~В = Се"'(а!и Ах соэ а(+ сов )ех з!и аг) су = Се"* э(п ((ах+ е!). или (6.2) Этот потенциал определяет некоторое безвихревое волновое движение, ибо сумма двух решений системы (2.6), (2.11) н (2.19) вследствие линейности этих уравнений также будет решением сястемы. Это движение представляет собою стоячие волны, отлнчаюп!неся от предыдуших, во-первых, тем, что там, где были пучности, теперь будут узлы, и обратно, и, во-вторых, тем, что фазы колебаний в теперешнем и предыдущем дввжении отличаются на четверть периода, так что когда частицы в предыдущем движении находятся в крайнем своем положении, в теперешнем движении частицы будут в равновесном положении, и обратно. Сложим теперь оба потенциала (5.8) и (6.1): 4!б ПРОГРЕССИВНЫЕ ВОЛНЫ Поставим опять те же вопросы: каков вид свободной поверхности, каковы скорости и траектории отдельных частиц? Внд свободной поверхности определяется по формуле (2.!6): — — — — — соз (Йх+ ег); 1 дт(х, о, г) се е 61 д (6.3) Се введем опять обозначение — = а, тогда уравнения (6.2) н (6.3) К перепишутся соответственно следующим образом: Г,= — а сов(ах+ а!), ~? = — ~ е"'з(п()гх+ а!).
(6,4) е Мы видим, что все гребни волны, а с ними и вся волна, перемешаются в направлении отрицательной осн Ох со скоростью С= — ° а' (6 6) Так как 2в 2з Г 2яЛ дт' а= )гуй, а= —, т= — '= у — ', Х= — (6.6) Л ' е У у ' 2е то для скорости распространения волн можно дать такие выражения: /е /ах Луч (6.7) Отметим еще раз, что перемещается только форма свободной поверхности, салги же частицы жидкости совершают лишь малые колебания около положений равновесия.
Скорости отдельных частиц будут определяться по формулам тг„= — т = аеее'соз(Ах+а!), тг = — т=ааее'а!п(Ах+в!). де (6.8) Получаем профиль волны в виде косинусоиды, причем амплитуда волны опять будет !а), длина волны опять будет Л= 2я17г. Однако коренное отличие этого случая от стоячих волн ааключается в том, что вид свободной поверхности будет теперь, оставаясь неизменным по форме, перемещаться в определенную сторону.
В самом деле, гребни и подошвы профиля волны (6.4) находятся в тех точках, для которых Ах+ а!= ля(и=О, + 1, Й 2, ...), т. е. в разные моменты времени они будут находиться в различных точках х, а именно: 416 ВолнОВые дВижения нделльнон !кнлкостн !гл тн! Уравнение линий тока проще всего найти, составив функцию тока ф. Потенциалом (5,8) и (6.1) отвечают функции тока: ач ф! = -- ею соз /гх соз а/, аа а, / я1 / лв ф = — е соз/г~х — — /!соа!а/+ —,' 1= — — е япйхяпа/, поэтому искомая функция тока: ф = ф, + Оз = — еа' сов (/гх + а/), а н значит, уравнение линий тока есть: е ' соз (/гх+ а/) = сопа1.
Таким образом, линии тока имеют тот же вид, что в случае стоячих волн. Однако в силу наличия в уравнениях линий тока времени / линии тока не будут стацнонарнымн и, значит, траектории частиц жидкости не булут совпадать с линнямя тока. ь!тобы вывести приближенные траектории этих частиц, поступим, как выше, т, е. в формулах (6.8) поло!ким х и г равными тем значениям хы ге, которые эти переменные имеют для равновесного положении частицы. Итак: ах — == аае "соз(/зх -+с/); — = аае "яп(/!хе+а/), лт е после интегрирования этих уравнений получим: х= хе+ае"" яп(/!хе+а/); г=я,— ае'"соз(/!хе+а/), (6.9) Чтобы получить уравнение траектории частицы, исключим время /! (х — х1,)'+. (е — хе)з = азезюк (6.10) х — х =леве яп9, г — ге= — ае"' соз9, (6.1 1) Итак, приближенными траекториями частиц жидкости являются окружности, радиус которых равен ае"'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
