Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе - Теоретическая гидромеханика, Ч. 1 (1123853), страница 68
Текст из файла (страница 68)
В 11. Волны при конечной глубине жидкости. Предположим теперь, что глубина жидкости конечна и равна й, Ограничимся для эгого случая выводом формул для стоячих и прогрессивных волн. Опять имеем формулу (5.1) ф (х, г) = Р (г) в[п й (х — «), где (см. (5.3)1 Р (г) = С,ее'+ С,е — А'. Дно жидкости, которое мы предполагаем гориаонтальным и уравнение которого г= — й, служит неподвижной границей. Поэтому по уравнени[о (4,3) должно быгь дФ дг — =О прн г= — й илн С,йе - 'е — Сзйеел = О.
Поэтому можем принять С, = — Сее", Сг = — Се-ел, 1 1 2 т. е. Р(г) = — С (е" ['е[ц+ е-" [а.[е[1 = — С с1[ й (г+ й). 1 2 Итак, мы имеем в данном случае стоячие волны, причем потенциал скорости равен [[[(х, г, г)=Се([й(г-+й)ьйпй(х — «)соз(а[ +е). (11.1) Остается удовлетворить уравнению (4.4): дФ а' — = — [й при г=О, дг л которое дает соотношение йв1[йй= — с([йй. г Это соотношение определяет величину а и, следовательно, период колебаний ":.
а угй[ййй Г гШ 2ей Вид свободной поверхности определится формулой 1 дт(х,о, [) Са — — = — с([ йй в(п й(х — «) з(п (аг+ е). дг ВОЛНЫ ПРИ КОНЕЧНОИ ГЛУБИНЕ ЖИДКОСТИ а 1Н Введем обозначение — сйлй=а; (11,3) й тогда получим следующие выражения для потенциала скорости и профиля волны с (для простоты предполагаем с = е .= О): — з!пйхсозаг, ь=аяпахз!па(.
(11.4) ал сна( +л) а С!1 ЙЛ Проекции скорости частиц на оси координат определяются по формулам ах ду ала с11 л (2+ Л) о.= =- — = — — — — соз1ехсозаг, дт дх а сп а!1 о = — =. — = — 3!п 1ех соз аг, дт а~lг з(1 л (2+ 11) М дл а си ад а следовательно, уравнения движения какой-либо частицы будут (после интегрирования заменяем аз по формуле (11.2)1: х= ха+а й'„сов 1ехз!паг, сп л (2а+ Л) 2 = 2 +- а — яп 1ех яп аг. з" 2 (ха+ ") зыгл Рассмотрим теперь прогрессивные волны, перемещающиеся, например, в направлении положительной оси Ох.
)тля этого нужно образовать разность потенциала (11,4) и потенциала лл сь А(2+ д) — соз /гх яп аг, сь ал т. е. рассмотреть движение с потенциалом скорости т" = ад сп а (2+ Ь) а Спад з1п (Ах — а(). Уравнение профиля волны в этом случае будет: — — — = а с05 (ах — аг). де Таким образом, профиль волны, имеющий вид кос шусоиды, пере- мещается со скоростью 438 волновьш движвиия идвлльнон жидкости 1гл.ши Интересно отметить два граничных случая. Если глубина жидкости й очень велика (вернее, если отношение й!) очень велико), то 1Ийй можно принять равным 1 н, следовательно; с=ф' ~~ =ф' (1 1.6) с= 1' а"7г, (1!.7) т.
е. в случае малой глубины жидкости скорость распространения волн не зависит от их длины, Дадим тзблицу, позволяющую вычислять скорости распространения и периоды волн различной длины. Эта табличка была вычислена при помощи формул (11.2) и (11.5): 0,5 1,0 3,0 5,0 10 30 50 100 со 0 й 0,941 0,993 0,997 0,999 1,000 = — 0,000 с )г лй 0,399 0,681 0,823 0,282 0,399 0,399 0,399 )г вот 0,368 0,298 0,181 0,141 0,100 0,000 0,393 100,! , 'со 4,41 6,08 10,6 30,2 50,1 О,ООО 1,77 2,51 2,5! 2,51 2,51 2,54 2,72 3,36 5,52 7,09 10,01 Найдем траектории частиц для случая прогрессивных волн; имеем: о = ~ ( + ) сов(йх — а1), к а сийй о алй ви й(к+ й) в!п (йх — аг), сн йй следовательно: х=х — а ' в!п(йхо — а1), сЫг (ко+ й) — о вага а = з -+ а — ' — сов (йх — а1).
вй йг (а, + й) о вЫгй о т, е. получается знакомая формула. Другой предельный случай будет тот, когда глубина И весьма мала (вернее отношение й)й мало). В этом случае !!г йй — ИИ, и значит: волны нл повьнхиости влзделл двтх жидкостяи азо р гн Исключая время г, найдем уравнения траекторий частиц: (х — ха) + (л лр) 1 (11 8) с д(ла+Л)) Г зла(ха+а) у т. е. траекториями частиц являются эллипсы с полуосями а сй а (ар+ 6) а ъЫг (ла+ Л) з1г /га и зЫга При ха= — гг движение будет совершаться только в горизонтальном направлении, ибо малая полуось обращается в нуль и эллипс переходит в отрезок прямой, лежащий на дне.
Вращение частиц по эллипсам происходит для волн, распространяющихся в положительную сторону оси Ох, по часовой стрелке. Интересно рассмотреть вопрос о групповой скорости для случая жидкости конечной глубины. Групповая скорость всегда определяется формулой (8.5) ггр и= —; гИ ' в данном случае и = — ~/дй (й и = с ~ (й и+ — — г Ал ага 2)гаркал ( ела аг! выражение х/зЬ х, имеющее при х — «О предел, равный 1, убывает все время при возрастании х и стремится к нулю при х — ь-о.
Поэтому групповая скорость всегда не меньше половины скорости распространения отдельной волны и не больше самой этой скорости, В предельном случае очень малой глубины жидкости можно положить л = О и тогда оказывается, что (г' = с, т. е. групповая скорость совпадает со скоростью распространении отдельной волны. Это и понятно, так как в рассматриваемом случае последняя скорость ие зависит от длины волны. Это показывает на особую простоту случая малых глубин, который мы подробно рассмотрим в отделе о длинных и приливных волнах. $ 12. Волны на поверхности раздела двух жидкостей. Рассмотрим в этом параграфе теорию плоских волн, происходящих под действием силы тяжести на поверхности раздела двух жидкостей разной плотности, Пусть плотность нижней жидкости равна р, плотность верхней р'.
Вели бы обе жидкости находились в равновесии, границей раздела ~~палась бы горизонтальная плоскость, Примем эту плоскость за 440 волновые движения идвлльнои жидкости !гл, нш плоскость Оху и направим ось Ог вертикально вверх (рис. 164) Предположим, что глубины обеих жидкостей конечны и равны соответственно й н Ь', нрн этом будем считать, что нижняя жидкость ограничена снизу горизонтальной плоскостью, уравнением которой, очевидно, будет г = — л, и что верхняя жидкость ограничена сверху горизонтальной плоскостью г = л'. Сверх того предположим еще, что при отсутствии волн нижняя жидкость двигается поступательно параллельно оси Ох ф ' '.
Фф, ~~ф со скоростью У, а верхняя со ней жидкости были бы соответственно:~р =. Сгх, е' =- Сг'х. Рнс. 164, При наличии волн на эти по- тенциалы надо наложить добавочные потенциалы о, и е,'. Мы будем рассматривать прогрессивные волны. Тогда для нижнеЙ жидкости надо взять по предыдущему параграфу. ~у, = С ей А (а + И) з) и (Ах — а1). Для верхней жидкости надо взвть <~', = С' с)т А (з — й') з)п (нх — ес), чтобы удовлетворить условию — =О нри г= л'. Итак: <~ =- Ух+С сн л (2+ л) 51п (Йх — е1)~ е' = У'х+ С' сн и (г — л') з)п (/гх — аС). Мы будем рассматривать волны определенной длины ь, следовательно, н=2к1)..
Поэтому у нас остаются пока произвольными три величины С, С' и е. Их надо определить из следующих трех условий: 1. Возьмем какую-либо частицу нижней жидкости, лежащую около самой поверхности раздела, уравнение которой: а=ч(х, 1). Так как рассматриваемая частица все время будет примыкать к поверхности раздела, то ее координаты х и г все время будут удовлетворять ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ДВУХ ЖИДКОСТЕЙ 441 только что написанному уравнению. Поэтому проекция скорости рассматриваемой частицы на вертикаль будет равна гтх д~ ггх д", ВС дх аг+дС' но с(х(гСС есть горизонтальная скорость частицы о, а главная часть последней есть ЕС, поэтому дс д." о = — СС+ — ', дх дг' или так как о, = —, то и получаем окончательное следующее дт УСЛОВИЕ: а, и," д( — = — (С+— дх дх дС при В=О.
На самом деле это условие должно выполняться при л=".(х, С), но тзк как мы рассматриваем только бесконечно малые волны, зо пренебрегая бесконечно малыми высшего порядка, получим как раз вышенаписанное условие. За уравнение поверхности раздела в данном случае естественнее всего взять (см.
предыдущий параграф): ч(х, С) = а сов (Ссх — ВС). ВычислЯЯ (до)дг), е и подставлаа в найденное УРавнение, легко полУчим: С7г зИ ай = а(е — Сссг). 2. Рассматривая какую-либо частицу верхней жидкости, лежащую около самой поверхности разрыва, получим условие дг' дс, дс — = — (С' +- — при х = — О.
дг дх дС которое дает следующее соотношение; — С'Сс ВИ аСс' = а (а — Сс(С'). 3. Обозначим давление верхней жидкости через р', давление нижней через р; так как давление при переходе через поверхность р~~рыва лолжно меняться непрерывно, то прн л=» должно выполняться условие р = Сэ ° Давление р мы определяем по формуле дв 1 , дв 1 р = †. —.— — — В па — е)г+ сопз1. =- — р- — — —, до — рдл+ сопз1., оС 2 ' ' дг 2 442 волновые движения иделльногг жидкости 1гл. шн в нашем случае т + з ~ дь) +(дт) = [У+Сй сИ й(а-+ й)соз(йх — ег))г-4- + (Сй зИ й (х + й) з!п (йх — сг)! г =- = Ут+ 2 УСй сИ й (а -1- й) сов (йх — сг) + +Сей' [сйгй(х+ й) созе(йх — Ы) + зИг й (а-+ й) гйпз(йх — а1)1. Последним членом, содержащим квадрат бесконечно малой величины С, мы можем пренебречги в предпоследнем же члене мы можем при вычислении оз для а=" заменить в на О, так как этот член содержит уже множителем бесконечно малую величину С; такое же обстоятельство будет иметь место при вычислении гвр~д1.
Поэтому (р), = Сре сИ йй соз (йх — з1) — — рез†1 2 — сГСйр сИ йй соз (йх — с1) — рда соз (йх — еЕ) + соя з14 точно так же вычислим: (р') .= — С'р'есИ йй'соз(йх — ег) — — р'У' 2 — У С йр'сИ йй' соз(йх — з~) — р да сов(йх — е~) + сопя!. Приравнивая эти два выражения, получим третье условие: Ср (а — йИ) сИ йй — рда = С'р' (а' — й У') — р'с а, к которому мы присоединим два ранее полученных; Сй зИ й й .=- а (з — й сг); — С'й зИ й й' = а (з — й сг'). Исключая С и С', получим уравнение, определяющее е: е(е — й(/)ге(И йй+р'(з — Иl )з с(И йй' = (р — р ) дй.
Найдя из это~о уравнения з, из предыдугцих уравнений определим С и С' и таким образом полностью решим задачу. Скорость распространения полученных волн определяется, как всегда, равенством з с=— внося поэтому в предыдущее уравнение вместо е его значение сй, получим уравнение, служащее для определения с: р (с — У)з с(И йй-+ р' (с — У')г с1И Иг' == 1и волны нл поиаяхностн плздалл двих жпдкостан 443 Левая часть всегда положительна, значит, р) р'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
